2023年7月27日发(作者：)

／／／　变系数广义ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的精确类孤子解　包永梅　．　高娃　（内蒙古财经学院统计与数学学院，呼和浩特０１００５１）　摘要：利用一种函数变换将变系数广义ＫｄＶ－Ｂｕｒｇｅｒｓ方程约化为非线性常微分方程（ＮＬＯＤＥ），　并由此ＮＬＯＤＥ出发获得变系数广义ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的若干精确类孤子解。由此可见，　用这种方法还可以求解一大类变系数非线性演化方程。　关键词：变系数；广义ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程；函数变换；类孤子解　１　ＫｄＶ方程的求解　在研究液体内含有气泡流动以及弹性管内液体流　动等问题时．人们把控制方程归结为如下的常系数　ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程：　ｕｔ＋ｕｕ，＋ａｕ＝＋ｂｕ￣＝０　（１）　讨论是很有意义的。　对变系数的广义ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程（３），设其解的　形式如下：　ｕ（ｘ，ｔ）　ｔ）Ｈ（　）＋ｇ（￡）日　（　），ｃｔ＝ｐ（ｔ）　＋ｇ（￡）　（４）　其中　（　，，（　），ｇ（　），Ｐ（ｆ），ｑ（ｔ）：ＹＪ待定函数。由（４）　式易得：　亏　（　）＋　ｔ）Ｈ　（　）（ｐ　ｘ＋ｑ　）　ｑ　）　其中口，ｂ≠０．分别为耗散项和色散项系数。该方　程不仅在流体力学中得到了广泛的应用，而且在固体　物理学、等离子体物理学等学科中。也都很好地解释了　许多重要的物理现象【”　如果考虑更多的实际物理条件　时．会得到许多具有变系数的非线性演化方程。例如变　系数非均匀变系数ＫｄＶ方程［２１：　０（　）＋ｇ（￡）Ⅳ”（　）（Ｐ　＋　ｒ（ｆ）ｐ（　）日　（　）＋苫（ｔ）ｐ（￡）日”（０ｃ）　（　）日　（　）＋ｇ（　（￡）　（　）　（　）　”（　）＋ｇ（　）ｐ　（　）　（　）　（２）　（ｔ）（　＋６　）＋４　１（ｆ）　一　２（　）（２　＋靓　）　ｌｔＵ　（　）ｐ（ｔ）Ｈ（ｃｔ）Ｈ　（　）＋，（ｔ）ｇ（ｔ　（ｔ）Ｈ（ａ）Ｈ”（　）　ｔ）ｇ　（　）ｐ（ｔ）Ｈ佗（　）　（￡）ｐ（￡）Ｈ　（　）日，，（　）　它的双孤子解可定性地解释液体中非传播孤子的　相互作用　将以上各式代人（３）式，得：　＋＾ｌ（　）（　＋６　）＋４　２（ｔ）ｕ，－ｈ３（ｔ）（２ｕ＋　￡　）＋　４（￡）￡￡　＝　一２　改进算法　本文求解了比方程（２）更实际的具有变系数的广义　ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程：　＋　１（　）（ｕ　＋６　）＋４　２（￡）ｚ　—ｈ３（ｔ）（２Ｍ＋　）＋　４（ｔ）“　＝Ｏ　（３）　２　（ｔ　日＋　－ｈ３（ｔ　］Ｈ　ｘ＋［ｇｐ　－ｈ３（ｔ）印］　＋嗡　屺＋４　２　－２ｈ３（￡）ｇ］Ｈ　＋［阴　＋４ｈ２（ｔ）ｇｐ＋　４（　］　＋［　ｌ（ｆ　。＋ｋ（￡）　（　］　＋＾　（　）［　３Ｈ＂　＋　删，＋　０　日”＋　日　＋６ｇ　日　］＝　（５）　其中ｈｉ（　１，２，３，４）为ｔ的任意函数，即扩散系数、　色散系数以及对流项系数等仅随时间而变化。显然方　为了求解方程（５），设：　ｆ，－２ｈ３（ｔ）　Ｏ　－（６）　程（３）综合了方程（１）和方程（２）中的各物理因素，更具　有实际意义和广泛的应用空间．因此对其解的构造和　ｈ３（ｔ）ｆｐ＝Ｏ　（７）　（８）　印　－ｈ３（ｔ）ｇｐ＝Ｏ　收稿日期：２０１１—０８－２９　修稿日期：２０１１－０９－１５　作者简介：包永梅（１９８２一），女，内蒙古通辽人，讲师，硕士，研究方向为孤立子与可积系统　，　．　……，、●　＼＼＼．　！　．　＋　＋４＾２（ｔ）ｆｐ－２ｈ３（ｔ）ｇ＝Ｄ￣ｏＳｈｌ（ｔ）　（９）　ｌ　＋　４（￡）蜀Ｐ。＝Ｄｌｆｐ３ｈ１（￡）　（１０）　ｃ十４ｈｚ（ｔ）印＋ｈ　（￡　２：Ｄ０　）＋（ＤＩ－１）孚ｈｉ（　）（１１）　其中　，Ｄ　为任意常数，由（６），（７）式易得：　，（ｆ）　－ｅｘｐ［ＩＪ　ａ　　２ｈ３（ｒ）ｄＴ］　（１２）　Ｐ（￡）；Ａ　３ｅｘｐ［ｆ，Ｉ　ｈ３（　ｒ）ｄｒ］　（１３）　其中Ａ　，Ａ，为积分常数，再由（９）式得：　４（ｔ　：（Ｄ１—１）　ｌ（￡）　（１４）　ｇ　将（１４）式代人（１１）式得：　ｑ，＋４ｈ２（ｔ）ｐ＝Ｄｏｐ３ｈｌ（ｔ）　（１５）　再将（１５）式代／２（９）式得：　一２ｈｓ（￡）ｇ＝０　（１６）　由（１６）式易得：　ｇ（ｔ）＝Ａ　２ｅｘｐ［Ｉ　２ｈ３（Ｔ）ｄｚ］　（１７）　其中　：为积分常数。由（１５）式得：　ｇ（￡）：ｆ　［８　Ｄ０　（ｔ）ｅ　ｐ［ｆａ‘　３　３（ｒ）ｄｚ］－４Ａ￣：（￡）ｅｘｐ［ｆＪ　ａ　（ｒ）ｄｒ］］ｄｔ＋Ｂ　（１８）　其中Ｂ为积分常数。　将（１２），（１３），（１７）式代入（１４）式，得：　Ａ　（￡）；ＡＩＡ　３（Ｄ－－１）　。（ｔ）ｅｘｐ［Ｉ　，【　（　）打］　（１９）　Ｊ　ａ　将（６）～（１１）代人（５）式，并用　）≠０，ｐ（　）≠０得：　Ｄｏ　Ａｌ　Ｈ＋。　＋ｔ　Ｈ　Ｄｌ瓮Ｈ”娟　ＨＨ，＋６　ｍｒ，，＋６　Ⅳ，２＋６￣－Ｈ，Ｈｔｔ：０　（２０）　Ａ　３　Ａ　３　Ａ　对方程（２０）两边积分，并令积分常数为零，得：　Ｄｏ　ＤｏＨ＇＋（Ｄｌ－１）　Ｈ＋。、　ｍ　删＇＋６Ａ￣２　ＨＨ，＋３　日ｔ２＝Ｏ　（２１）　Ａ　３　Ａ　３　Ａ　设（２１）式有如下形式的解：　Ｈｌ（ａ）＝１＋ｔａｎｈ（　）　（２２）　ｎ　苗　ｎ＾＾－Ｊ＾＾　将（２２）式代人（２１）式，借助Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，令ｔａｎｈ　（０［）（ｉ＝０，１，２，３，４）的系数为零，得：　．ｚ一　＋　＋　＋　＋Ｄ０＋业＋　－０，　Ａ　２　Ａ　２Ａ　３　Ａ　３　Ａ　３　Ａ　２　Ａ　２　＋皇　＋　一　堕：ｏ，　Ａ　２Ａ　３　Ａ　３　Ａ　２　Ａ　２　ｓ４＋Ａ　２　善一Ａ　２Ａ　３　　一Ａ　３　　Ａ　３　Ａ　２　：ｏ，　一　＋丝　：０．　Ａ：　Ａ　２　—６＋　：０　Ａ：　求解方程组（２３）得：　Ｄ１＝６，　丝，Ａ。一４．４，，Ａ　２＝２Ａ；　（２４）　Ａ　３　３　Ｄ。：６，Ｄ　，　。：　，Ａ：：２Ａ　（２５）　一６＋　３　－６＋５Ａ　３　将（２２），（２４），（２５）式和（１２），（１３），（１７），（１８）式　一起代入（４）得到方程（３）的精确类孤子解：　“ｌ（　，￡）＝［一４Ａ　２３—４Ａ　３２ｔａｎ　（ｐ（￡）　＋ｇ（ｔ））＋２Ａ　２３　ｅｃｈ　（ｐ（￡）　＋ｇ　（ｔ））］ｅｘｐ［Ｉ　，　ｔ　２ｈ，（ｚ）ｄｒ］　Ｊ　ａ　冥中约束条件为：　，【　ｒ　ｌ　ｈ４（￡）一ｌＱＡ　３ｈｌ（ｔ）ｅｘｐ［ＩＪ　ａ　ｈ３（Ｊｒ）打］，且Ｐ（ｆ）＝Ａ　３ｅｘｐ［ｆ。ａ　（ｒ）ｄｒ］，　ｇ（　）＝Ｊ　，ｔ　［２４Ａ￣一　ｈ－（￡）ｅｘｐ［Ｊｒ　３ｔ　ｈ（ｆ）ｄｒ］－４Ａ￣２（ｔ）ｅｘｐ［Ｊ，　ｈＩ　（ｚ）ｄｒ］］　柏。　（　，ｔ）：［　＋　ｔ　（ｐ（ｔ）　（ｔ））＋２Ａ，２　。。＾：（ｐ　：６—５Ａ　３　６—５Ａ　（ｚ　（￡））］ｅｘｐ［Ｊ　（ｒ）打］　其中约束条件为．　三　ｔ‘　１　，ｔ　ｒＩ　，．／ｑ（￡）＝Ｉ［，ａ　２４Ａ　ｈｉ（ｔ）ｅｘｐ［ＩＪ　ａ　３ｈ（ｒ）ｄｒ］－－４Ａ￣２（ｔ）ｅｘｐ［ｆ　ａ　ｈ　ｋ（ｆ）：　（ｒ）ｄｒ］，　＾。（￡）。　ｐ［ｆｔ　（ｆ）打］，且ｐ（ｆ）　，ｅ　ｐ［ｆｔ　６—５Ａ．　（７）打］］ｄｔ＋Ｂ。　３　３　ｇ（　）＝』［—　－。（ｔ）ｅｘｐ［』　３＾（ｒ）ｄｒ］－４Ａ￣　（ｔ）ｅｘｐ［』　（　，ｔ）：［　＋　。。ｔｈ（ｐ（ｆ）　＋ｇ（ｔ））一２Ａ　。　ｃ　：（ｐ　６—５Ａ　３　６—５Ａ　６　＋５Ａ　ｈ（ｒ）ｄｚ］］ｄｔ＋Ｂ。　设（２１）式有如下形式的解：　Ｈ２（ａ）＝ｌ＋ｅｏｔｈ（　）　（２６）　将（２６）式代入（２１）式，借助Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，令ｃｏｔｈｉ　（ｏｔ）（ｉ＝０，ｌ，２，３，４）的系数为零，得：　一ｚ一　＋　＋　＋　＋Ｄ０＋业＋　＝Ｏ．　Ａ　２　Ａ　２Ａ　３　Ａ　３　Ａ　３　Ａ　２　Ａ　２　＋　＋　一　：０，　２Ａ　３　Ａ　３　Ａ　２　Ａ　２　８＋　＋　Ｉ＿一　一　一　：０，　（２７）　Ａ　２　Ａ　２Ａ　３　Ａ　３　Ａ　３　Ａ　２　６Ａ１一一＋丝堕：０，　Ａ　３　Ａ　２　—６＋呈　：０　Ａ：　求解方程组（２７）得：　Ｄｒ＝６，　，Ａ１＝－４Ａ　，Ａ　２＝２Ａ；　（２８）　Ａ　３　Ｄｌ＝６，Ｄｏ＝　，Ａ。：　，Ａ　ｚ＝２Ａ　（２９）　一６＋５Ａ　３　—６＋５Ａ　将（２６），（２８），（２９）式和（１２），（１３），（１７），（１８）式　一起代入（４）得到方程（３）的精确类孤子解。　ｕ３（　，￡）＝［—４Ａ；一４Ａ；ｃ。ｔｈ（ｐ（ｔ）　＋ｇ（￡））一２Ａ；ｃ８ｃｈ　（ｐ（￡）　＋ｇ　，【　（ｔ））］ｅｘｐ［Ｊ　２ｈ　（ｒ）ｄｒ］　Ｊ　ａ　其中约束条件为：　，ｔ　，ｔ　ｈ４（ｔ）＝－１０Ａ　３ｈｌ（ｔ）ｅｘｐ［ＩＪ　ａ　ｈ３（ｒ）　］，且Ｐ（￡）；Ａ　３ｅｘｐ［ｆＪ　ａ　　ｈ　（Ｊｒ）ｄｒ］．　（ｔ）ｘ＋ｑ（ｔ））］ｅｘｐ［Ｊ，ｌ　２ｈ３　（ｆ）打］　，ａ　兵中约束杀件为：　６　５Ａ　咖ｘｐ［』　ｔ　）打］，Ｎ　ｐ（￡）　３ｅｘｐ［　—“　（　ｒ）打］，　ｑ（ｔ）＝』［　－６　＋５Ａ．　㈣ｅｘｐ［』　ｔ３　一４Ａ拟咖ｘｐ［　。　ｈ（ｒ）ｄｒ］］ｄｔ＋Ｂ。　３　结语　利用一种函数变换将变系数广义ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方　程约化为非线性常微分方程．再利用这个常微分方程　获得了变系数广义ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的若干精确类孤　子解。将这种方法推广应用到更复杂的非线性方程，值　得进一步研究。　参考文献　［１］刘式达，刘式适．湍ｂＥ￣ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程模型［Ｊ］．中国科　学，１９９１，２１Ａ（９）：９３８￣９４６　［２］ＣＨＡＮ　Ｗ　Ｌ，ＬＩ　Ｋ　Ｓ．Ｎｏｎｐｒｏｐａｇａｔｉｎｇ　Ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｖａｒｉａｂｌｅ　Ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　Ｎｏｎｉｓｏｓｐｅｃｔｒａｌ　ＫｄＶ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ　Ｍａｔｈ　Ｐｈｙｓ，　１９８９，３０（１　１）：２５２１－２５２６　【３］洪宝剑，卢殿臣，田立新．变系数组合ｋｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的　Ａｕｔｏ—Ｂａｃｋｌｕｎｄ变换和类孤子解［Ｊ］．江西师范大学学报，　２００６，３Ｏ（１）：４７－５０　［４］王跃明，张金良，王明亮．变系数Ｂｕｙｅｒｓ方程的ＢＴ与非　线性边值一初值问题，洛阳工学院学报，２０００，２１（３）：８３　８６　【５】张金良，李向正，王明亮．变系数Ｂｕｙｅｒｓ方程的一些新精　确解【Ｊ】．河南科技大学学报，２００３，２４（１）：１０８一ｌ１０　【６］ＬＩＵ　Ｘｉ－ｑｉａｎｇ．Ｅｘａｃｔ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｖａｒｉａｂｌｅ　Ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ＫｄＶ　ａｎｄ　Ｓ－Ｇ　Ｔｙｐｅ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａ￣ｅｍａｔｉｅｓ．Ａ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ．Ｂ　１　３（１９９８）：２５—３Ｏ　（下转第２０页）　＼　　．因为回归模型本身就是要揭示变量之间长期的均衡关　系．而如果变量之间根本就不存在这种长期的均衡关　量经济学》课程讲授过程中对该门课程相关问题的几　点理解和认识．希望对在这些方面至今还比较模糊的　学习者有所帮助。　参考文献　系．我们建立模型、估计参数和对模型及参数的各种检　验都不能保证结果不出现“伪回归”的可能性　因此．协　整检验是利用时间序列变量建立回归模型之前的必须　步骤．而这也是大多数学生甚至是教师在应用和讲授　回归模型时经常容易忽略的问题　２７０～２７１　【１］庞皓．计量经济学［Ｍ】．第２版．北京：科学出版社，２０１０：　《计量经济学》被称为“现代经济学”的标志，其应　用也不断向纵深发展，有关《计量经济学》的前沿问题　也不断涌现。因此，其中一些基本但却重要而且容易使　人“迷糊”的内容．对于给学生传授该门课程的教师来　【２】王燕．应用时间序列分析［Ｍ】．第２版．北京：中国人民大学　出版社．２００８．５　讲．是首先应该彻底明白的。本文是笔者在几年的《计　Ｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｓｅｖｅｒａｌ　Ｉｓｓｕｅｓ　ｉｎ　Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃｓ　ＧＵＯ　Ｙａ—ｆａｎ　．ＤＵ　Ｊｉｎ—ｚｈｕ　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ　Ｆｉｎａｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ，０１００５１；　２．Ｏｆｉｆｃｅ　ｏｆ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ａｆｆａｉｒｓ，Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ　Ｆｉｎａｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ，０１００５　１）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｓ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｅｉｇｈｔ　ｃｏｍｍｏｎ　ｃｏｒｅ　ｅｕｒｒｉｃｕｌｕｍｓ　ｉｎ　ｈｉｇｈｅｒ　ｓｃｈｏｏｌ　ｆｏｒ　ａｌｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｃｏｎｏｍｙ　ｍａｉＯｒｓ，ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃｓ　ｂｅｃｏｍｅｓ　ｗｉｄｅｒ　ａｎｄ　ｄｅｅｐｅｒ．Ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ　ｔｅｓｔｉｎｇ，ｄｉｆ－　ｆｅｒｅｎｅｅ　ｏｎ　ｓｉｍｐｌｅ　ａｎｄ　ｍｕｈｉｐｌｅ　ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ　ｍｏｄｅｌｓ，ｗｈａｔ　ｓｈｏｕｌｄ　ｂｅ　ｐａｉｅｄ　ａｔｔｅｎｔｉｏｎ　ｔｏ　ｗｈｅｎ　ｗｅ　ｍａｋｅ　ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ　ｍｏｄｅｌｓ　ｗｉｔｈ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｄａｔａ　ａｎｄ　ＳＯ　ｏｎ．Ａｎｄ　ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｏｎ　ｔ｝Ｉｉｎｋ．　ｉｎｇ　ｆｏｒ　ｔｈｏｓｅ　ｗｈｏ　ｈａｖｅ　ａ　ｈａｚｙ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ａｂｏｖｅ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ　Ｔｅｓｔｉｎｇ；ｐ－Ｖａｌｕｅ；Ｓｉｍｐｌｅ　Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ；Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ；Ｃｏｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　（上接第５页）　Ｅｘａｃｔ　Ｓｏｌ　ｉｔｏｎ　Ｌｉ　ｋｅ　Ｓｏｌ　ｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｖａｒｉａｂｌｅ　Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ＫｄＶ－Ｂｕｒｇｅｒｓ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ＢＡＯ　Ｙｏｎｇ—ｍｅｉ，　ＧＡＯ　Ｗａ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｈａ　Ｆｉｎａｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ　ＣｏＨｅｇｅ，Ｈｕｈｈｏｔ　０１００５１）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ａ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ＫｄＶ－Ｂｕｒｇｅｒｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｒｅｄｕｃｅｄ　ｔｏ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ『ＮＬＯＤＥ）．Ｓｅｖｅｒａｌ　ｅｘａｃｔ　ｓｏｌｉｔｏｎ－ｌｉｋｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ＫｄＶ－Ｂｕｒｇｅｒｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｏｌＴｅ—　ｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｒｅｄｕｃｅｄ　ＮＬＯＤＥ．Ｆｏｒｍ　ｔｈｉｓ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｗｅ　ｃａｌｌ　ｓｅｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｃａｎ　ｂｅ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ａ　ｌａｒｇｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｖａｒｉｂｌａｅ　Ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔ；Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ＫｄＶ－Ｂｕｒｇｅｒｓ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；Ｓｏｌｉｔｏｎ—Ｌｉｋｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　．…。一…一…．