2024年4月28日发(作者：)

(完整)指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一)指数与指数函数

1．根式

(1）根式的概念

根式的概念

如果

x

n

a

,那么

x

叫做

a

的

n

次方根

当

n

为奇数时，正数的

n

次方根是一个正数，负数

的

n

次方根是一个负数

当

n

为偶数时,正数的

n

次方根有两个，它们互为

相反数

符号表示

n

备注

n1且nN



零的

n

次方根是

零

a



n

a(a0)

负数没有偶次方

根

(2)．两个重要公式

n为奇



a



数

①

n

a

n







a(a0)

；



|a|



a(a0)





n为偶

②

(

n

a)

n

a

（注意

a

必须使

n

a

有意义)。

2．有理数指数幂

（1)幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:

a

n

a

m

(a0,m、nN



,且n1)

。

②正数的负分数指数幂:

a



m

n

m

n



1

a

m

n



1

n

a

m

(a0,m、nN



,且n1)

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算.

（2）有理数指数幂的性质

①aa=a(a>0，r、s∈Q).

②（a)=a(a>0，r、s∈Q)。

③（ab）=ab（a〉0，b>0,r∈Q）。.

3．指数函数的图象与性质

1 / 9

rrs

rsrs

rsr+s

(完整)指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

y=a

图象

x

a〉1

0〈a<1

定义域

值域

性质

R

（0，+



）

（1）过定点（0，1）

（2）当x〉0时，y>1。

x〈0时,0

（2) 当x>0时，0

x<0时, y>1

（3)在（—



，+



)上是增（3）在（—



,+



)上是减函

函数

x

数

x,xx

注：如图所示，是指数函数（1）y=a,(2）y=b（3），y=c（4），y=d的图象，如何确定底数a,b，c,d

与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c〉d>1〉a>b，∴c>d〉

1>a〉b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数

1、对数的概念

（1)对数的定义

如果

a

x

N(a0且a1)

，那么数

x

叫做以

a

为底，

N

的对数，记作

xlog

a

N

,其中

a

叫做对数的底数，

N

叫

做真数。

(2）几种常见对数

对数形式

一般对数

常用对数

自然对数

2、对数的性质与运算法则

1111

特点

底数为

a

a0,且a1

底数为10

底数为e

记法

log

a

N

lgN

lnN

N

（1)对数的性质（

a0,且a1

)：①

log

a

1

0

，②

log

a

a

1

，③

a

log

a

N

，④

log

a

a

N

。

（2）对数的重要公式:

2 / 9

N