2024年5月2日发(作者：)

。

第4章 不定积分

内容概要

名称

不

定

积

分

计

算

方

法

性

质

不

定

积

分

的

概

念

设

主要内容

f(x)

，

xI

，若存在函数

F(x)

，使得对任意

xI

均有

F



(x)f(x)

f(x)dx

，则称

F(x)

为

f(x)

的一个原函数。

上的不定积分，记为

或

dF(x)

f(x)

的全部原函数称为

f(x)

在区间

I



f(x)dxF(x)C

注：（1）若（2）若

F(x),G(x)

均为

f(x)

的原函数，则

f(x)

连续，则必可积；

F(x)G(x)C

。故不定积分的表达式不唯一。

性质1：

性质2：

性质3：

第一换元

积分法

（凑微分法）

第二类

换元积

分法

d



f(x)dx



f(x)dx

；

f(x)dx



f(x)

或

d











dx



F



(x)dxF(x)C

或



dF(x)F(x)C

；



[



f(x)



g(x)]dx





f(x)dx





g(x)dx

，



,



为非零常数。

设

f(u)

的 原函数为

F(u)

，

u



(x)

可导，则有换元公式：



f(



(x))





(x)dx



f(



(x))d



(x)F(



(x))C

设

x



(t)

单调、可导且导数不为零，

则

f[



(t)]





(t)

有原函数

F(t)

，



f(x)dx



f(



(t))





(t)dtF(t)CF(



1

(x))C

分部积分法



u(x)v



(x)dx



u(x)dv(x)u(x)v(x)



v(x)du(x)

若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理

按情况确定。

有理函数积

分

本章

的地

位与

作用

在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；

后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求

解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中

起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好

坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！

课后习题全解

习题4-1

1.求下列不定积分

：

知识点：

直接积分法的练习——求不定积分的基本方法

。

思路分析：

利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分

！

。

1

。

★

(1)



x

dx

2

x

思路:

被积函数

1

x

2

x



5

2

x



5

2

，由积分表中的公式（2）可解。

解：



x

dx

2

2



2





xdxxC

3

x

1

x

)dx

3

★

(2)

3



(x

思路:

根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

3

解：



(x)dx



(xx)dx



xdx



xdxx

3

2x

2

C

4

x

3



1

1

3

1

2

1

3

1

2

4

1

★

(3)

（2



x

x

2

）dx

思路:

根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

2

x

1

3

（2x）dx



2dx



xdxxC

解：



ln23

x2x2

★

(4)





x(x3)dx

思路:

根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：

2

x(x3)dx



xdx3



xdxx

2

2x

2

C

5

3

2

1

2

53

3x

4

3x

2

1

★★

(5)



x

2

1

dx

3x

4

3x

2

11

2

3x

思路:

观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积

22

x1x1

分。

3x

4

3x

2

11

2

dx3xdxdxx

3

arctanxC

解：



22



x11x

x

2

★★

(6)



1x

2

dx

x

2

x

2

111

1

思路:

注意到

1x

2

1x

2

1x

2

，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

。

2