2023年7月24日发(作者：)

附注：定积分sinxdxπ的计算，有如下三种方法

x(1) 利用二重积分交换积分顺序

xdx20sinxsinxdx20sinxdx0exydy

x上式利用了偶函数的性质。对上式右端交换积分顺序有

20sinxdx0exydy200sinxexydxdy20dy0sinxexydx120dy

1y22arctanyπ0即

sinxxdxπ

(2) 利用傅里叶变换的对偶性，即若f(t)F(jω)，则F(jt)2πf(ω)。门函数对应的傅里叶变换为

ττsin(ωτ/2)

u(t)u(t)τ22ωτ/2根据傅里叶变换的对偶性，有

τsin(tτ/2)ττ2πu(ω)u(ω)

tτ/222ττ由于u(t)u(t)关于t是偶对称的，因此上式等价于

22τsin(tτ/2)ττ2πu(ω)u(ω)

tτ/222令τ = 2，有2sin(t)2πu(ω1)u(ω1)，根据傅里叶变换的定义得

t上式令ω = 0，即得

sin(t)jωteπu(ω1)u(ω1)

txdxπ

(3) 利用留数定理。用留数计算定积分，是一个有效的方法，可以参看有关复变函数的教科书，如复变函数(西安交通大学高等数学教研室编，高等教育出版社，1996年第4版)，这里不赘述。

sinx