2023年7月24日发(作者：)

§6 Mathematica求定积分以及相关应用问

6. 1用Mathematica求定积分

1 定积分的运算

在不定积分中加入积分的上下限便成为定积分(definite integral)。

Mathematica的定积分命令和不定积分的命令相同，但必须指定积分变量的上下

(1) Integrate[f, {x,下限，上限}]

(2) J ?

f(x)dx

例6.1计算定积分

解

Zn[l]:= J,

Out[1]=4-2ArcTan[2]

和不定积分一样，除了我们指定的积分变量之外，其它所有符号都被作常数处理.

2 数值积分

如果Mathematica无法解出积分的符号表达式或者定积分的结果过于冗长 而失去意义时，我们就可以用数值积分求解。数值积分只能进行定积分的运算， 即必须指定上、下限。用Mathematica求解数值积分有两种形式：

(1)

(2)

NIntegrateEf, {x, a, b}]

N[J力(x)心]

x

从d

到b，做/(x)的数值积分。

求定积分表达式的数值

例

6. 3

求定积分

J f sin(sin

x)dx。

解 用Integrate命令无法求sin(sin x)的定积分,用NIntegrate命令即可 求得其数值积分。

In[l]:=NIntegrate[Sin[Sin[x]], {x, 0, Pi/3}]

Out[l]=O. 466185

求定积分表达式的数值，也能得到与上式相同的结果。

In[2] := N|J ^3Sin[Siii[A]]dx]

0ut[2]=0. 466185 例6. 4求定积分J詁的近似值。

解被积函数的原函数不能被等函数表示，我们可以计算它的数值积分。

In[3]:=NIntegrate[Exp[~x~2], {x, 0, 1}J

Out[3]二0. 746824

3 近似值积分

用Mathematica计算定积分的近似值还有矩形法、梯形法和抛物线法用分 点a

间长度为

人

b-a

=b将区间[a,方]分成"个长度相等的小区间，每个小区

(b-a)i b-ax/+1 =

x{ ------

5=——

n

矩形法公式：

「、

=a + ——

n儿=/(x)

n

[^f{x)dx « 上上(旳+

y i

+ …+ 儿-)

J

n

f

afMdx «

J

^-(>'1 + 乃…+ 儿)

n

梯形法公式：

f

afWdx Q

[；(〉'o + 儿)+〉'l +〉'2 + …+

y,i- ]

J

n 2

抛物线法公式：

f

a f(x)dx « —^[(JO +

儿)+

2(〉，2 +〉'4 + …+

yn-2 ) + 4(” +『3 + …+

yn- )1

J 3/7

例6. 5分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分Jh?必。

解为了便于比较，首先计算积分的精确值：

In[l]:=Clear[x];

y[x_]=x"2;

Integrate[y[xJ, {x, 0, 1}]

0ut[l] = l

3

(1) 矩形法

In[2]:二Clearly, x, si, n, b, aZ ;

n=20;a=0;b=l;

y[x」：二x"2;

s 1= (b~a)/n*Sum[y[a+i (b-a)/n], {i, 0, nT}]//N;

s2= (b~a)/n*Sum[y[a+i (b~a)/n], {i, 1, n}]//N;

Print[ “si二”，sl” s2二”

,s2]

Out[2]=sl=0. 30875 s2=0.35875

(2) 梯形法 In[3J :=Clear[y, x, a, b, ss3, s3];

y[x_]:二x"2;

n=20;a=0;b=l; ss3=Sum[y[a+i* (b-a) /n], {i, 1, nT}]; s3=(y[a]/2+y[b]/2+ss3)*(b-a)/n //N;

Print [ "s3二”

,s3J

0ut[3]=0. 33375

(3)抛物线法

In[4] :=Clear [y,, x, a, b, s3j;

y[x」：二x"2;

n=20;a=0;b=l;m=10;

ssl=Sum[ (1+ (-1)" i) *y[a+i* (b-a) /n], {i, 1, nT}] ; (*ssl=2y2+2y.i+

+2y』)

ss2=Sum[ (1- (-1) i) *y [a+i*(b-a) /n], {i, 1, n-1}] ; (*ss2=2yi+2ys+

+2yn-i*)

s4=N[(y[al+y[b]+ssl+2ss2)*(b~a)/3/n, 20j;

Print[s4=M , s4]

0ut[4]=0. 33333333333333333333

…

山上述结果可知：抛物线法近似程度最好，矩形法近似程度最差。

6. 2用Mathematica计算相关定积分应用问题

在解有关定积分应用问题时会用到的Mathematica函数有以下儿种：

1、

Solve[{方程1,方程2}二{变量1,变量2}]：求解二元方程组。

2、

Plot[f[x], {x, a, b}]：画一元函数图形。

3、

ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, ti, t2}]:

维参数作图。

4^ Integrate{x, a, b}]:计算定积分。

5、ShowEfx, f2J：将函数组合显示。

1 利用定积分计算平面图形的面积

有连续曲线y = f(x) /U)>o,直线x = a,x = b(a

边梯形的面积为

例6. 6求由抛物线* =

2x和直线y = -x + 4所围成图形的面积。 解 首先画出函数图形，如图6-1所示

In[l] :=Plot[{Sqrt[2x], -Sqrt[2x], "x+4}> {x, 0, 9}]

Out[1]二一Graph ics- 然后求出两条曲线的交点：

In[2] ：=Solve[{y"2-2=0, y+x-4=0}, {x, y}]

0ut[2] = {{x 2, y 2}, {x &y -4}}

再以y为积分变量求面积：

In[3]:=s=Integrate[-y+4-y~2/2, {y, -4, 2}]

Out[3]=18

例6. 7求由圆r = 3cos6＞所围图形的面积。

解首先求出两条曲线的交点：

In[4] :=Solve[{r-3Cos[t]=0, r-l-Cos[t]=0}, {r, t}]

Out [4]二{{r t —＞一彳}，{厂

y))

然后画出两曲线所围成的图形，如图6-2所示

In[5]:=fl=ParametricPlot[{3Cos[t]Cos[t],3Cos[t]Sin[t]}, {t, 0,2Pi}];

f2=

ParametricPlot[{(1+Cos[t])Cos[t], (l+Cos[t])Sin[t]}, {t, 0, 2Pi}]

Show[fl, f2, AspectRatio Automatic]

Out[5]= -Graphics-

再利用定积分计算面积

In[6]:二si二Integrate[1+Cos[t], {t,0,Pi/3}]

0ut[6] = ^- + -

2

3 In[7]:=s2=Integrate[3Cos[t], {t,Pi/3,Pi/2}]

Out [7] = 3(1-^-)

In[8] :=s=2* (sl+s2)

2 利用定积分计算平面曲线的弧长

设曲线弧山参数方程：

给岀，其中在[久0]上具有连续导数，则曲线弧的弧长为

例6. 8求曲线

x=arc[^

21n(l+r)

上相应于从/ =0到心1的一段弧长。

解首先画出曲线的图形，如图6-3所示

In[l]: =ParametricPlot[{ArcTan[t], (l/2)*Log[l+t^2J), {t, -2, 2}, Aspec tRatio Automaticj

Out[1Z= -Graphics-

图6-3

In[2]:=dx=D[ArcTan[t], t]

CM2]=

In[3]:=dy=D[(l/2)Log[l+t^2],t]

再利用定积分计算曲线的弧长： Out[3] = --^

+r

In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy*2+dx^2], {t, 0,1}]//N 0ut[4]=0. 881374

3 利用定积分计算旋转体的体积

山连续曲线y = /(x),直线x = a.x = b(a

例6. 9将星形线」+)/

转体的体积。

解星形线的参数方程为

所围成的图形绕x轴旋转一周，计算所得旋

x=acos t y=aSii/t

取画出星形线的图形，如图6-4所示

In[l]:=ParametricPlot[ {(Cos[t]3), (Sin[t]"3)}, {t, 0, 2Pi}, AspectRatio

Automatic]

i利用Mathematics计算旋转体的体积:

In[2]:=x[tj:=a*Cos[t]*3;

y[t_]:=a*Sin[t]^3; dx=D[x[t], t];

V=2*Integrate[Pi*(y[t]) ^2*dx, {t, 0,Pi/2}]

32dbr

Oui[2]= 练习5.6

1.用Mathematics求解下列定积分：

⑴匸弩型如 ⑵径汕

⑶了孑斗一力；

2J 5 + 3sm

x

J

QX yja2 -x2dx ；

⑸ J：log(x)dx

2

•汁算下列积分的数值积分

J

； Jsin'(x) + ldx；

—,x>0

3.

1+x

—jco

1+”

4.

分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分迈

+ x2dx.

5.

求由两条曲线.V = X2与X = V2圉成的平面区域的面积.

6.

求半径为厂的圆的周长.

7.

求星形线JzssJ,a>o,

(0

y=asin

t

8.

求圆(x-b)2 + y2 =a2(O

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的好