2024年4月28日发(作者：)

幂函数、指数函数和对数函数

一、幂函数

1、函数

yx

k

（k为常数，

kQ

）叫做幂函数

2、单调性： 当k>0时，单调递增；当k<0时，单调递减

3、幂函数的图像都经过点（1，1）

二、指数函数

1、

ya

x

（

a0

且

a1

）叫做指数函数，定义域为R，x作为指数

（0，）

2、指数函数的值域：

3、指数函数的图像都经过点（0，1）

4、当a>1时，为增函数；当0

5、指数函

ya

数的图像：

x

a>1 0

三、对数

1、如果a(a>0,且a≠－1）的b次幂等于N，即

aN

，那么b叫做以a为底N的对

数，记作

log

a

Nb

，其中，a叫做底数，N叫做真数

2、零与负数没有对数，即N>0

3、对数恒等式：

a

log

a

N

b

N

4、(重点强调）a>0,且a≠－1，N>0

5、常用对数：以十为底的对数，记作lg N

6、自然对数：以e为底的对数，记作in N

7、对数的运算性质：如果a>0,a≠1，M>0,N>0,那么

（1）

log

a

(MN)log

a

Mlog

a

N

（2）

log

a

M

log

a

Mlog

a

N

N

1

（3）

log

a

M

n

nlog

a

M

8、对数换底公式：

log

b

N

四、反函数

1、对于函数

yf(x)

，设它的定义域为D，值域为A，如果A中任意一个值y，在D

中总有唯一确定的x值与它对应（即一个x对应一个y），且满足

yf(x)

，这样得到的x

关于y的函数叫做

yf(x)

的反函数，记作

xf

数用y表示，说以把它改写为

yf

2、反函数的定义域与值域：

定义域

值域

函数

yf(x)

D

A

1

1

1

log

a

N

(其中ao,a1，b0,b1，N0)

log

b

N

(y)

，习惯上，自变量用x表示，而函

(x)(xA)

反函数

yf

A

D

1

(x)

3、函数

yf(x)

的图像与反函数

yf

五、对数函数

(x)

的图像关于直线

yx

对称

1、函数

ylog

a

x(a0,且a1)

叫做对数函数，是指数函数的反函数

2、对数函数的图像都在y轴的右方

3、对数函数的图像都经过点（1，0）

4、当a,x范围相同时，y>0；当a,x范围不同是，y<0,（范围指的是01两个

范围）

5、对数函数

ylog

a

x(a0,且a1)

的图像

2

6、对数函数的定义域：x>0

7、对数函数的单调性：当a>1时，单调递增；当0

六、简单指数方程

指数里含有未知数的方程叫做指数方程

1、

9

x

2

5x2

81

x

2

5x2

（1）将方程化为同底数幂的形式：

99

2

x

2

5x22

解得：

x

1

0,x

2

5

（2）指对互换：

x

2

5x2log

9

812

，解得：

x

1

0,x

2

5

2、

5

2x

25

x

150

x

2

换元法：令

5t（t0)

，则原方程化为

t2t150

，解得：

t

1

5,t

2

（舍）3

5

x

5,x1

3、

5

x1

3

x1

2

2

两边同取以十为底的对数，得：

lg5

x1

lg3

x1

（x1)lg5(x1)(x1)lg3

，

(x1)(lg5xlg3lg3)0

，解得：

x1或x1

lg5

1log

3

5

lg3

七、简单对数方程

对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程（解对数方程须检验，真数＞0）

1、化为同底：

log

(x1)

(2x

2

3x5)2

log

(x1)

(2x

2

3x5)log

(x1)

(x1)

2

，

(x1)

2

2x

2

3x5

x

2

x60

，

x

1

2,x

2

3

经检验，x=2为原方程的解

2、换元：

2log

x

253log

25

x1

3

11

，所以原方程化为：

23t1

tt

2

3t

2

t20

，解得

t

1

1,t

2



3

1

当

t1

时，

log

25

x1

，

x

25

22

3

当

t

时，

log

25

x

，

x165

3

3

令

log

25

xt

，则

log

x

25

经检验，它们都是原方程的根

所以原方程的解为

x

1



2

,x

2



3

165

3

4