2024年4月28日发(作者：)
对数函数
知识点一：对数函数的概念
1．定义：函数
ylog
a
x(a0
，且
a1)
叫做对数函数.其中
x
是自变量，函数的定义域是（0，
+∞），值域为
(,)
.它是指数函数
ya
(a0且a1)
的反函数．
1
对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：
y2log
2
x
，注意： ○
x
ylog
5
x
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
5
2
两个常用对数： ○
(1)常用对数 简记为: lgN （以10为底）
(2)自然对数 简记为: lnN （以e为底）
例1、求下列函数的定义域、值域：
(1)
y2
x
2
1
2
1
2
( 2)
ylog
2
(x2x5)
4
(3)
ylog
1
(x4x5)
(4)
y
3
log
a
(x
2
x)
知识点二：对数函数的图象
方法一：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作
关于
yx
的对称图形，即可获得。
同样：也分
a1
与
0a1
两种情况归纳，以
ylog
2
x
与
ylog
1
x
为例
2
y
y=x
y=log
2
x
x
y
y=x
1
o
1
1
o
1
x
y=
log
1
x
2
方法二： ①确定定义域;
②列表;
③描点、连线。
（1）
ylog
2
x
（2）
ylog
1
x
2
１
（3）
ylog
3
x
（4）
ylog
1
x
3
思考：函数
ylog
2
x
与
ylog
1
x
及
y
=
log
3
x
与
y
=
log
1
x
的图象有什么关系？并且说明这两
23
对函数的相同性质和不同性质.
相同性质：
不同性质：
例2、作出下列对数函数的图象：
(1)
ylog
2
x
(2)
ylog
1
(x2)
2
知识点三：对数函数的性质
由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．
图象特征 函数性质
a1
0a1
a1
0a1
函数图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
函数图象都过定点（1，1）
自左向右看，
图象逐渐上升
第一象限的图象
纵坐标都大于0
第二象限的图象
纵坐标都小于0
自左向右看，
函数的定义域为（0，＋∞）
非奇非偶函数
函数的值域为R
1
1
增函数 减函数
图象逐渐下降
第一象限的图象纵坐标都大
于0
第二象限的图象纵坐标都小
于0
x1,log
a
x0
0x1,log
a
x0
0x1,log
a
x0
x1,log
a
x0
思考：底数
a
是如何影响函数
ylog
a
x
的．（学生独立思考，师生共同总结）
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
例3、比较下列各组数中两个值的大小：
２
⑴
log
2
3.4,log
2
8.5
； ⑵
log
0.3
1.8,log
0.3
2.7
； ⑶
log
a
5.1,log
a
5.9(a0,a1)
．
变式训练：（1）
若
log
m
3log
n
3
，求
m和n
的关系。
小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：
①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性；
③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．
小结2：分类讨论的思想．
对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此
需要对底数
a
进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．
知识点四：换底公式
log
a
N
两个较为常用的推论：
log
m
N
(
a
> 0 ,
a
1 )
log
m
a
1
log
a
blog
b
a1
2
log
a
m
b
n
n
log
a
b
（
a
,
b
> 0且均不为1）
m
对数常用等式： “1”的对数等于零， 即
log
a
10
底数的对数等于“1”， 即
log
a
a1
log
a
N
aN
，
log
a
a
n
对数恒等式:
n
例4、计算：（1）log
15
5log
15
45+(log
15
3) （2）
2
lg8lg125lg2lg5
lg10lg0.1
（3）
lg5
2
变式训练：
2
lg8lg51g20(lg2)
2
3
（1）已知 log
18
9 =
a
, 18 = 5 , 求 log
36
45 （用
a
,
b
表示）
（2）求
x
． (1)
log
4
x
5
b
1
3
； (2)
log
x
5
； (3)
log
x2
(x
2
2x2)0
．
2
2
跟踪练习：
1.计算：
(log
2
5log
4
0.2)(log
5
2log
25
0.5)
３
log
9
6
32(log
2
3log
4
9log
8
27log
16
81log
32
243)
2. 已知
f(x)1log
x
3
，
g(x)2log
x
2
试比较
f(x)和g(x)
的大小。
3. 求函数
ylog
1
(x3x18)
的单调区间，并用单调定义给予证明。
2
2
4. 设
x
2,8
，函数
f(x)
1
log
a
(ax)log
a
(a
2
x)
的最大值是1，最小值是
2
1
8
，求
a
的值。
４
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