2023年11月29日发(作者：诺基亚触屏老款5230)

第讲相遇问题与追及问题

1:

1

、速度的定义：

、速度的定义：

速度就是单位时间内所经过的路程。

速度就是单位时间内所经过的路程。

2

、速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量，它们的关系

如下：

如下：

路程＝速度×时间

路程＝速度×时间

速度＝路程÷时间

速度＝路程÷时间

时间＝路程÷速度

时间＝路程÷速度

3

、行程问题中常用的数量单位

、行程问题中常用的数量单位

（）常用的路程单位：米、千米。

1

）常用的路程单位：米、千米。

（）常用的时间单位：秒、分钟和小时。

2

）常用的时间单位：秒、分钟和小时。

（）常用的速度单位：米秒、米分、千米小时。

3///

小时。

【例】甲、乙两地相距千米，一辆汽车原计划用小时从甲地

13608

到乙地，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一

半路程后发生了故障，在途中停留了小时．如果按照原定的时间

1

到达乙地，汽车在后一半路程每小时应该行驶多少千米？

到达乙地，汽车在后一半路程每小时应该行驶多少千米？

【例】千米时；千米时

145/60/

详解：（）行驶路程是千米，行驶时间是小时，所以行驶速

13608

度是÷千米时；

3608=45/

时；

（）后一半路程是÷千米，行驶总时间仍然是小时，

23602=1808

前半程花了

前半程花了

4+1=53180

小时，所以后半程行驶时间是小时，后半程的速度是÷

3=60/

千米时．

时．

AB4800AB2

、两地相距米，甲、乙两人分别从、两地同时【例】

出发，相向而行如果甲每分钟走米，乙每分钟走米，请问：

60100

米，请问：

（）甲从走到需要多长时间？

1AB

需要多长时间？

（）两个人从出发到相遇需要多长时间？

2

）两个人从出发到相遇需要多长时间？

【例】（）分钟；（）分钟

2180230

分钟

详解：（）甲行驶的路程是米，行驶的速度是米分，所以

1480060/

行驶的时间是÷分钟；（）两人从出发到相遇行驶的路

480060=802

程和是米，行驶的速度和是米分，所以相遇时间

480060+100=160/

是÷分钟．

4800160=30

分钟．

1

112300025000

、墨莫练习慢跑，分钟跑了米，按照这个速度，跑

米需要多少分钟？如果墨莫每天都以这个速度跑分钟，连续跑一

10

个月天），他一共跑了多少千米？

(30

天），他一共跑了多少千米？

110075

、分钟；千米

解答墨莫跑的速度为米分，跑米需要

3000÷12=250/25000

25000÷250=10010

分钟．每天跑分钟，跑一个月，一共跑了

250×10×30=7500075

米，即千米．

2AB6000

、兔子和乌龟赛跑，从地跑到地，全程共米．兔子计

划分钟跑完全程，结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程比计划的

5

要少米．那么兔子实际跑完全程用了多长时间？

200

米．那么兔子实际跑完全程用了多长时间？

26

、分钟

分钟

简答：原计划分钟跑完米，所以原计划速度为÷

5600060005=1200

米分，实际每分钟跑－米，所以实际时间为÷

/1200200=10006000

1000=6

分钟．

分钟．

35000AB

、阿呆和阿瓜从相距米的、两地同时出发，相向而

行．如果阿呆每分钟走米，阿瓜每分钟走米，那么两人从出

150350

发到相遇需要多长时间？

发到相遇需要多长时间？

310

、分钟

分钟

简答：从出发到相遇，路程和为米，速度和为米

5000150+350=500

/5000500=10

分，所以相遇时间为÷分钟

分钟

两个运动物体在一条直线上运动，行进的方向可能相同，也可能

相反。当它们行进方向相反时，如果它们面对面地接近，我们称为“相

向而行”；如果它们背对背远离，我们就称为“相背而行”。

向而行”；如果它们背对背远离，我们就称为“相背而行”。

相遇问题关心的是两个移动物体的“速度和”以及“路程和”。

根据行程问题基本公式，我们可以类似得到相遇问题的三个基本公式：

路程和＝速度和×相遇时间

路程和＝速度和×相遇时间

相遇时间＝路程和÷速度和

相遇时间＝路程和÷速度和

速度和＝路程和÷相遇时间

速度和＝路程和÷相遇时间

使用上述公式的时候一定要注意，两个运动物体必须同时行进。如果

相遇过程中并不是同时行进的，这个公式就不能直接用了，需要分段

考虑。

考虑。

对于一些复杂的行程问题，单靠凭空想象已经无能为力了，这时

需要用一种形象的语言，把运动过程直观地表现出来，这就是我们解

行程问题的最得力的助手——线段图。

行程问题的最得力的助手——线段图。

画线段图时要特别注意：

画线段图时要特别注意：

2

(1)

专人专线：如果我们考虑的是两个或多个对象的运动，可以

把它们的运动路线并排摆放，

把它们的运动路线并排摆放，

要注意不同人的运动路线不同；

要注意不同人的运动路线不同；

(2)

同时性：如果运动时间分为几个阶段，那么应该在运动路线

上表示相应的时刻．

上表示相应的时刻．

比如上图表示汽车与汽车分别从甲地、乙地同时出发，从

AB

开始＠时刻到＠时刻两车相

开始＠时刻到＠时刻两车相

遇，从＠时刻到＠时刻表示两车相遇后各自的运动情况．这样一来，

我们就可以借助线段图把

我们就可以借助线段图把

整个行程过程看得更清楚．

整个行程过程看得更清楚．

画线段图是解行程问题最基本的方法．通过作图，可以将题目中的

条件梳理清楚，还可以

条件梳理清楚，还可以

通过对图形的观察，挖掘出很多字面上看不出来的隐藏条件，

进而找到解题的突破口．

进而找到解题的突破口．

【例】一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地出发

3350

相向而行，公共汽车每小时行千米，小轿车每小时行千米．请

4060

问：

问：

（）小时后两车相距多少千米？

12

小时后两车相距多少千米？

（）出发几小时后两车第一次相距千米？

250

千米？

（）出发几小时后两车第二次相距千米？

350

千米？

【例】（）千米；（）小时；（）小时

311502334

小时

详解：（）两车的速度和是千米时，行驶时间是小时，

140+60=100/2

所以两车的路程和是×千米，两车相距－千

l002=200350200=150

米；

米；

（）两车第一次相距千米，两车还没有相遇，两车行驶的路程和

250

是－千米，两车行驶的速度和是千米时，行

35050=30040+60=100/

驶时间是÷小时；

300100=3

小时；

（）两车相遇后继续行驶，第二次相距千米时，两车行驶的路程

350

350+50=40040+60=100/

千米时，和是千米，两车行驶的速度和是

400100=4

÷小时． 行驶时间是

小时．

【例】甲、乙两地相距千米，一辆汽车早上点从甲地出发，

43508

以每小时千米的速度开往乙地，小时后另一辆汽车以每小时

40250

千米的速度从乙地开往甲地．请问：什么时候两车在途中相遇？

千米的速度从乙地开往甲地．请问：什么时候两车在途中相遇？

3

【例】点

413

详解：画行程图，如图所示，车提前出发小时所行驶的路程

“1"2

是×千米，剩下的路程是两辆汽车在相同时间内行驶的路程

402=80

和，路程和是－千米，速度和是千米时，所以

35080=27040+50=90/

相遇时间是÷小时，车从点出发，行驶了小时，

27090=3“2"103

所以点两车在途中相遇．

13

点两车在途中相遇．

1AB400AB

、、两地相距千米，甲、乙两车分别从、两地同时出

发相向而行，甲车的速度为每小时千米，乙车的速度为每小时

6040

千米．请问：

千米．请问：

（）出发几小时后甲、乙两车第一次相距千米？

1100

千米？

（）再过多长时间两车第二次相距千米？

2100

千米？

11325

、（）小时；（）小时

小时

简答：（）两车第一次相距千米，两车还没有相遇，两车行驶

1100

的路程和是－千米，两车的速度和是千米

400100=30040+60=100/

时，行驶时间是÷小时；

300100=3

小时；

（）两车相遇后继续行驶，第二次相距千米时，两车行驶的路

2100

程和是千米，两车的速度和是千米时，行

400+100=50040+60=100/

驶时间是÷小时．

500100=5

小时．

25000

、小王和小许从相距米的各自的家里出发相向而行，小王每

分钟走米，小许每分钟走米，小王出发分钟后小许才从

20030010

家出发．那么小王走了多长时间两人才相遇？

家出发．那么小王走了多长时间两人才相遇？

216

、分钟

分钟

简答：画行程图，如图所示，小王提前出发分钟所行路程是

10200

×米，剩下的路程是两人在相同时间内行的路程和是

10=20005000

－米，速度和是米分，相遇时间是÷

2000=3000200+300=500/3000

500=610+6=16

分钟，所以小王一共走了分钟两人才相遇

分钟两人才相遇

4

【例】（）小高跑米用秒，旗鱼每小时能游千米．请

5140050120

问：谁的速度更快？

问：谁的速度更快？

（）一般情况下，成年人跑米要用秒，河马奔跑的速度是

210014

40/

千米时，河马跑得比人快吗？

时，河马跑得比人快吗？

【例】（）旗鱼快；（）河马比人快

512

）河马比人快

详解：（）小高的速度是÷米秒，单位不一样，无法比较，

140050=8/

所以把小高的速度变成米时，小时小高跑×米，速

/183600=28800

度即米时；旗鱼的速度是米时，所以旗鱼的速度更

28800/120000/

快；

快；

（）成年人秒跑米，秒跑米多；河马小时跑千米，

21410017140

1

秒跑

秒跑

11

米多，所以河马跑得比人快；或者可以统一路程比速度：河马跑

40000136004000014400=5600

米用小时即秒，而成人跑米需要×

秒，路程相同，河马用时短，所以更快．

秒，路程相同，河马用时短，所以更快．

【例】甲、乙两人分别从、两地同时出发相向而行，已知甲每

6AB

分钟走米，乙走完全程要分钟，出发分钟后，甲、乙仍相距

50183

450

米．请问：还要过多少分钟，甲、乙两人才能相遇？

米．请问：还要过多少分钟，甲、乙两人才能相遇？

【例】分钟

65

分钟

详解：甲分钟所行的路程是×米，乙距离地还有

3503=150A

150+450=60018315

米乙行全程要分钟，已经行了分钟，还需要行

分钟才能走完米，所以乙的速度是÷米分，米是

60060015=40/450

两人之后的路程和，速度和是米分，所以还要过÷

50+40=90/450

90=5

分钟，甲、乙两人才能相遇

分钟，甲、乙两人才能相遇

1.450

甲、乙两地相距千米，快车和慢车分别从甲、乙两地出发

相向而行，快车每小时

相向而行，快车每小时

行千米，慢车每小时行千米．请问：

6030

千米．请问：

5

(1)

如果两车同时出发，几小时后相遇？

如果两车同时出发，几小时后相遇？

(2)3

如果慢车比快车早出发小时，当两车相遇时快车走了多远？

小时，当两车相遇时快车走了多远？

15(2)240

、小时千米

解答如图：

（）出发时两车相距千米，每过小时，快车走千米，慢车慢车

1450160

千米，

450÷

90=53090450÷90=5

小走千米，所以两车距离每小时拉近千米．经过了

时后，两车之间的距离拉近到千米，也就是两车相遇了．

0

千米，也就是两车相遇了．

（）慢车比快车早出发小时，所以快车出发时，慢车已经行驶了

23

30×3=903=90450

30×

千米．由于甲、乙两地的距离是千米，因此当快车

千米，因此当快车

出发时，两车之间的距离是－千米．通过与类似的办

45090=360(1)

360÷

90=44360÷90=4

小时两辆车即可相遇．快车一共行驶了小法可得，再过

60×

4=24060×4=240

千米． 时，它行驶的路程为

千米．

2AB

、甲、乙两车分别从、两地同时出发相向而行，已知甲车每

小时行驶千米，两车小时后相遇，相遇后它们继续前进，又过

406

了小时，甲车到达地．问：乙车还要过多久才能到达地？

3BA

地？

29

、小时

小时

解答如图：

解答如图：

甲车每小时行千米，从地行到地的时间为小时，所以

40AC6

AC406=240CB3

、两地距离为×千米。甲车从甲车从地行到地的时间为

千米。

小时，所以、两地的距离为×千米。这也等于乙车小

CB403=1206

时走的路程，所以乙车的速度为÷千米时，乙车从地行

1206=20/B

到地的时间为÷小时，乙车已经走了小时，那

A(120+240)20=189

么还需要－小时才能到达地．

189=9A

地．

基本追及问题是指两个人在同一直线上同向而行的行程问题。

基本追及问题是指两个人在同一直线上同向而行的行程问题。

追及问题中两个移动物体是同向而行，因此我们考虑的是两个移

动物体的“速度差”以及“路程差”。仿照行程问题基本公式，我们

6

同样可以得到追及问题的三个基本公式：

同样可以得到追及问题的三个基本公式：

路程差＝速度差×追及时间

路程差＝速度差×追及时间

追及时间＝路程差÷速度差

追及时间＝路程差÷速度差

速度差＝路程差÷追及时间

速度差＝路程差÷追及时间

【例】两地相距米，甲、乙两人分别从、两地同时出

1A,B260AB

发同向而行（乙在前，甲在后），甲每秒走米，乙每秒走米．那

53

么甲出发多长时间后可以追上乙？

么甲出发多长时间后可以追上乙？

【例】秒

1130

详解：从出发到追上，甲、乙的路程差是、两地的全程即米，

AB260

速度差是－米秒，所以追及时间是（－）秒．

53=2/260÷53=130

秒．

【例】墨莫步行上学，每分钟行米．墨莫离家分钟后，爸爸

27512

发现他忘了带文具盒，马上骑自行车去追，每分钟行米．求爸

375

爸追上墨莫所需要的时间．

爸追上墨莫所需要的时间．

【例】分钟

23

分钟

详解：墨莫先出发了分钟，速度是米分，所以墨莫行的路程

1275/

是×米．所以爸爸从出发到追上墨莫，两人的路程差就是

75l2=900

90037575=300/900300=3

米，速度差是－米分，追及时间是÷分

钟．

钟．

1120

、京、津两地相距千米，客车和货车分别从北京和天津同时

出发同向而行，客车在前，货车在后．巳知客车每小时行千米，

100

货车每小时行千米．那么出发后多长时间货车追上客车？

120

千米．那么出发后多长时间货车追上客车？

16

、小时

小时

简答：从出发到追上，甲、乙的路程差是京、津两地的距离千

120

米，速度差是－千米时，所以追及时间是÷小

120100=20/12020=6

时

210030

、龟、兔赛跑龟比兔先出发分钟，龟每分钟爬米，兔每分钟

跑米．请问：兔出发后多久追上乌龟？

330

米．请问：兔出发后多久追上乌龟？

210

、分钟

分钟

简答：乌龟先出发分钟，速度是米分，所以乌龟爬行的路程

10030/

7

是×米．兔子从出发到追上乌龟，路程差就是米，

30100=30003000

速度差是－米分，追及时间是÷分钟。

33030=300/3000300=10

分钟。

【例】一辆公共汽车和一辆小轿车从相距千米的两地同时出发

3100

同向而行，公共汽车在前，每小时行千米，小轿车在后，每小时

40

行千米．请问：

60

千米．请问：

（）经过小时后两车相距多少千米？

12

小时后两车相距多少千米？

（）出发几个小时后小轿车会领先公共汽车千米？

2100

千米？

【例】（）千米；（）小时

3160210

小时

详解：（）两车的速度差是－千米时，小时内两车的路

16040=20/2

程差是×千米，此时小轿车还没有追上公车，两车相距

202=40100

－千米；

40=60

千米；

(2)100100+100=200

小轿车领先公共汽车千米，两车的路程差是千

米，两车的速度差是－千米时，追及时间是÷

6040=20/20020=10

小时．

小时．

【例】一辆公共汽车早上点从城出发，以每小时千米的速

46A40

度向城驶去，小时后一辆小轿车以每小时千米的速度也从

B375A

城出发到城，当小轿车到达城后，公共汽车离城还有千

BBB160

米．请问：小轿车什么时候到达城？

B

城？

【例】点

417

详解：公车提前出发小时，速度是千米时，所以公车行驶的路

340/

程是×千米，小轿车和公车在相同时间内所行驶的路程差

403=120

是千米（即图中实线部分的路程差）．两车的速度差

120+160=280

是－千米时，所以追及时间是÷小时，即小轿车

7540=35/28035=8

行驶了小时，小轿车是点出发，所以点到达城．

899+8=17B

城．

13

、阿呆和阿瓜沿着同一条路线跑步上学，阿呆每秒跑米，阿瓜

每秒跑米，现在阿瓜落后阿呆米．那么再过多长时间阿瓜会领

750

先阿呆米？

50

米？

8

125

、秒

简答：阿瓜从落后阿呆米到领先米，两人的路程差是

5050

50+50=10073=4/100

米，两人的速度差是－米秒，追及时间是÷

4=25

秒

2ABCDA

、高速公路上自西向东分布着、、、四个加油站，其中、

B20CD406:00

之间的距离是千米，、之间的距离是千米．上午快、

慢两车分别从、两地出发向东前进，快车的速度是每小时千

AB80

米，慢车的速度是每小时千米，当快车到达加油站的时候，慢

60D

车正好到达那么快车从到达一共行了几个小时？

C.AD

一共行了几个小时？

23

、小时

小时

简答：两车同时出发，当快车到达、慢车到达时，两车的路程

DC

差即为千米，而速度差为－千米时，所以时间为

20+40=608060=20/

6020=3

÷小时

小时

【例】甲、乙两车同时从东、西两地出发相向而行，甲车每小时行

5

36

千米，

千米，

乙车每小时行千米，两车在距离中点千米处相遇．求东、西两

309

地间的距离

地间的距离

【例】千米

5198

千米

详解：甲行驶的路程比一半的路程多千米，乙行驶的路程比一半

9

的路程少千米，所以甲、乙行驶的路程差是千米，速度差是

91836

－千米时，所以追及时间是÷小时，这也是两车的相遇

30=6/186=3

时间，速度和是千米，所以小时行驶的路程和是×

36+30=66366

3=198198

千米，即东、西两地间的距离是千米．

千米．

【例】萱萱一家开车去外地旅游，预计每小时行驶千米．实际

645

30

千米，因此比预计时上，由于高速公路堵车，汽车每小时只行驶

间晚到了小时．请问：萱萱一家在路上实际花了几个小时？

2

小时．请问：萱萱一家在路上实际花了几个小时？

【例】小时

66

小时

详解：萱萱预计和实际的路程差即实际小时所行驶的路程，实际

2

的速度是千米时，所以路程差是×千米．预计和实际的

30/302=60

速度差是－

4530=15

9

千米时，所以追及时间是÷小时所以萱萱一家在路上实际

/6015=4.

花了小时．

4+2=6

小时．

1

、甲、乙两架飞机同时从机场起飞，向同一方向飞行，甲每小时

飞行千米，乙每小时飞行千米，小时后它们相距多少千米？

3003404

这时甲提高速度打算用小时追上乙，那么甲每小时应该飞行多少

2

千米？

千米？

1160420/

、千米；千米时

解答（）两架飞机的速度分别为千米时和千米时，所以

1300/340/

两架飞机前小时飞行的路程分别

4

小时飞行的路程分别

是×千米和×千米．

3004=12003404=1360

千米．

2AB1

、甲、乙两人分别从、两地同时出发，如果相向而行，小

时后两人相遇；如果同向而行，小时后甲追上乙．问：甲的步行速

3

度是乙的几倍？

度是乙的几倍？

22

、倍

解答设、两地距离是千米，则甲、乙的速度差是÷千

AB333=1

米／时，速度和是÷千米／时。利用和差问题公式可知：甲的

31=3

速度是＋÷千米／时，乙的速度是－÷千米／时，因

(31)2=2(31)2=1

此，甲的速度就是乙的÷倍．

21=2

倍．

145

、一名长跑运动员以每秒米的速度奔跑，那么分钟后，他跑

了多少米？

了多少米？

11200

、米

简答：××米．注意单位换算

4560=1200

米．注意单位换算

2700

、甲、乙两车从相距千米的两地同时出发相向而行，甲车每

4060

千米，乙车每小时行千米．那么出发几小时后两车相小时行

遇？

遇？

27

、小时

小时

简答：相遇时间为÷小时

700(40+60)=7

小时

10

360

、甲、乙两车从两地同时出发相向而行，甲车每小时行千米，

乙车每小时行于米，出发小时后两车相遇请问：两地相距多少

752

千米？

千米？

3270

、千米

千米

简答：两地距离即为两车路程和为×千米．

(60+75)2=270

千米．

41000

、一只大老鼠和一只小老鼠分别从一根长厘米的直面条的两

端开始吃，大老鼠每秒吃厘米，小老鼠每秒吃厘米．请问：多长

31

时间后，大老鼠和小老鼠第一次相距厘米？

40

厘米？

4240

、秒

简答：第一次相距厘米，两只老鼠共同吃的面条长度和为－

401000

40=960960(3+l)=240

厘米，用时÷秒．

秒．

5580

、甲、乙两城相距千米，从甲城开往乙城的客车每小时行驶

60170

千米，客车出发小时后，货车从乙城开往甲城，每小时行千

米．请问：货车开出多少小时后两车相遇？

米．请问：货车开出多少小时后两车相遇？

54

、小时

小时

简答：客车小时行千米，货车出发时两车相距－千

l6058060=520

米，相遇时间为÷小时

520(60+70)=4

小时

所以货车开出小时后两车相遇了．

4

小时后两车相遇了．

61007

、甲、乙两镇相距千米，上午点，一辆汽车和一辆马车分别

从甲、乙两镇同时出发同向而行，马车在前，汽车在后，汽车的速

度是每小时行于米，马车的速度是每小时行千米．那么经过多

5030

长时间汽车会追上马车？

长时间汽车会追上马车？

65

、小时

小时

简答：两车的路程差是千米，速度差是－千米时，追

1005030=20/

及时间是÷小时．

10020=5

小时．

7600AB

、甲、乙两车分别从相距千米的、两地同时出发同向而行，

乙车在前，甲车在后，小时后甲车追上了乙车．已知乙车每小时

20

行千米，那么甲车每小时行多少千米？

50

千米，那么甲车每小时行多少千米？

11

780

、千米

千米

简答：甲从相距乙车千米到最后追上，用了小时，那么甲每

60020

小时追上乙÷千米，乙每小时行千米，那么甲每小时

60020=3050

行千米．

50+30=80

千米．

8A5030A

、甲从出发，每分钟走米，甲出发分钟后，乙也从出发，

去追甲，乙每分钟走米．那么乙出发多长时间后追上了甲？

80

米．那么乙出发多长时间后追上了甲？

850

、分钟

分钟

简答：甲早出发分钟，当乙出发时，甲已经走了×

303050=1500

米．乙每分钟走米，乙每分钟追上甲－米，那么经过

808050=30

150030=50

÷分钟，乙会追上甲．

分钟，乙会追上甲．

9300AB

、甲、乙两车分别从相距千米的、两地同时出发同向而行，

乙车在前，甲车在后，甲车每小时行千米，乙车每小时行千

6030

米．那么出发多长时间后，甲车会领先乙车千米？

300

千米？

920

、小时

小时

简答：甲车从落后乙车于米到领先乙车千米，两车的路程差

300300

是于米，速度差是－千米时，追及时间是÷

6006030=30/60030=20

小时

小时

10

、甲、乙两车分别从东、西两地同时出发相向而行，已知甲车较快，

每小时行千米，乙车每小时行千米．那么出发后经过多长时间，

4537

两车会在距离东、西两地中点千米处相遇？

12

千米处相遇？

103

、小时

小时

简答：两车路程差为×千米，速度差为－千米时，

122=244537=8/

时间为÷小时，即两车相遇的时间是小时．

248=33

小时．

12