2023年7月18日发(作者：)

概率论与数理统计

第一部份 习题

第一章 概率论基本概念

一、填空题

1、设A，B，C为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设P(A)0.1,P(AB)0.3，且A与B互不相容，则P(B) 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率

为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A，B为两事件，P(A)0.7,P(AB)0.3，则P(AB) 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A，B为两事件，P(A)0.5,P(AB)0.2，则P(AB) 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率

为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X和Y分别表示先后掷出的点数，AXY10

BXY，则P(B|A) 。

11、设A,B是两事件，则A,B的差事件为 。

12、设A,B,C构成一完备事件组，且P(A)0.5,P(B)0.7,则P(C) ，P(AB) 。

13、设A与B为互不相容的两事件，P(B)0,则P(A|B) 。

14、设A与B为相互独立的两事件，且P(A)0.7,P(B)0.4，则P(AB) 。

15、设A,B是两事件，P(A)0.9,P(AB)0.36,则P(AB) 。

概率论与数理统计 第1页（共57页） 16、设A,B是两个相互独立的事件，P(A)0.2,P(B)0.4,则P(AB) 。

17、设A,B是两事件，如果AB，且P(A)0.7,P(B)0.2，则P(A|B) 。

18、设P(A)111,P(B),P(AB)，则P(AB) 。

34219、假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%。从中随机取一件，结果不是三等品，则为一等品的概率为

20、将n个球随机地放入n个盒子中，则至少有一个盒子空的概率为 。

二、选择题

1、设P(AB)0，则下列成立的是( )

①

A和B不相容 ②

A和B独立 ③

P(A)0orP(B)0 ④

P(AB)P(A)

2、设A,B,C是三个两两不相容的事件，且P(A)P(B)P(C)a，则

a的最大值为

( )

① 1/2 ② 1 ③ 1/3 ④ 1/4

3、设A和B为2个随机事件，且有P(C|AB)1，则下列结论正确的是( )

①

P(C)P(A)P(B)1 ②

P(C)P(A)P(B)1

③

P(C)P(AB) ④

P(C)P(AB)

4、下列命题不成立的是 ( )

①

ABABB ②

ABAB

③ (AB)(AB) ④

ABBA

5、设A,B为两个相互独立的事件，P(A)0,P(B)0，则有 （ ）

①P(A)1P(B) ②P(A|B)0 ③P(A|B)1P(A) ④P(A|B)P(B)

6、设A,B为两个对立的事件，P(A)0,P(B)0，则不成立的是 （ ）

①P(A)1P(B) ②P(A|B)0 ③P(A|B)＝0 ④P(AB)1

7、设A,B为事件，P(AB)P(A)P(B)0，则有 （ ）

概率论与数理统计 第2页（共57页） ①

A和B不相容 ②

A和B独立 ③

A和B相互对立 ④

P(AB)P(A)

8、设A,B为两个相互独立的事件，P(A)0,P(B)0，则P(AB)为（ ）

①P(A)P(B) ②1P(A)P(B) ③1P(A)P(B) ④1P(AB)

9、设A,B为两事件，且P(A)0.3，则当下面条件（ ）成立时，有P(B)0.7

①A与B独立 ②A与B互不相容 ③A与B对立 ④A不包含B

10、设A,B为两事件，则(AB)(AB)表示（ ）

①必然事件 ②不可能事件 ③A与B恰有一个发生 ④A与B不同时发生

11、每次试验失败的概率为p(0p1)，则在3次重复试验中至少成功一次的概率为（ ）

1233①3(1p) ②(1p) ③1p ④C3(1p)p

12、10个球中有3个红球7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人一球，则最后三个分到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为（ ）

12C3C733727213①C() ②()() ③C3()() ④

31010101010C101313、设P(A)0.8,P(B)0.7,P(A|B)0.8，则下列结论成立的是（ ）

①

A与B独立 ②

A与B互不相容

③

BA ④

P(AB)P(A)P(B)

14、设A,B,C为三事件，正确的是（ ）

①

P(AB)1P(AB) ②

P(AB)P(A)P(B)1

③

P(ABC)1P(ABC) ④

P(AB)P(BA)

15、掷2颗骰子，记点数之和为3的概率为p，则p为（ ）

① 1/2 ② 1/4 ③ 1/18 ④ 1/36

16、已知A,B两事件的概率都是1/2, 则下列结论成立的是（ ）

①

P(AB)1 ②

P(AB)1 ③

P(AB)P(AB) ④P(AB)1

2 概率论与数理统计 第3页（共57页） 17、A,B,C为相互独立事件，0P(C)1，则下列4对事件中不相互独立的是（ ）

①

AB与C ②

AB与C ③

AB与C ④AC与C

18、对于两事件A,B，与ABB不等价的是（ ）

①

AB ②

AB ③

AB ④

BA

19、对于概率不为零且互不相容的两事件A,B，则下列结论正确的是（ ）

①A与B互不相容 ②A与B相容 ③P(AB)P(A)P(B) ④P(AB)P(A)

三、计算题

1、某工厂生产的一批产品共有100个，其中有5个次品。从中取30个进行检查，求次品数不多于1个的概率。

2、某人有5把形状近似的钥匙，其中有2把可以打开房门，每次抽取1把试开房门，求第三次才打开房门的概率。

3、某种灯泡使用1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000小时以后至多有1个坏的概率。

4、甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的百分比分别为45%，35%，20%。各机床加工的优质品率依次为85%，90%，88%，将加工的零件混在一起，从中随机抽取一件，求取得优质品的概率。若从中取1个进行检查，发现是优质品，问是由哪台机床加工的可能性最大。

6、某人买了A,B,C三种不同的奖券各一张，已知各种奖券中奖的概率分别为0.03,0.01,0.02；并且各种奖券中奖是相互独立的。如果只要有一种奖券中奖则此人一定赚钱，求此人赚钱的概率。

7、教师在出考题时，平时练习过的题目占60%，学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为95%，平时没有练习过的题目在考试时答对的概率为30%。求答对而平时没有练习过的概率

8、有两张电影票，3人依次抽签得票。求每个人抽到电影票的概率。

9、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票的概率。

10、一批产品的次品率为0.1，现任取3个产品，问3个产品中有几个次品的概率的可能性最大。

11、有5个除颜色外完全相同的球，其中三个白色，两个红色。从中任取两个，（1）求这两个球颜色相同的概率；（2）两球中至少有一红球的概率。

概率论与数理统计 第4页（共57页） 12、设A,B是两个事件，用文字表示下列事件：AB,AB,AB,AB。

13、从1~100这100个自然数中任取1个，求（1）取到奇数的概率；（2）取到的数能被3整除的概率；（3）取到的数能被6整除的偶数。

14、对次品率为5%的某箱灯泡进行检查，检查时，从中任取一个，如果是次品，就认为这箱灯泡不合格而拒绝接受，如果是合格品就再取一个进行检查，检查过的产品不放回，如此进行五次。如果5个灯泡都是合格品，则认为这箱灯泡合格而接受，已知每箱灯泡有100个，求这箱灯泡被接受的概率。

15、某人有5把形状近似的钥匙，其中只有1把能打开他办公室的门，如果他一把一把地用钥匙试着开门，试过的钥匙放在一边，求（1）他试了3次才能打开他办公室的门的概率；（2）他试了5次才能打开他办公室的门的概率

16、10个塑料球中有3个黑色，7个白色，今从中任取2个，求已知其中一个是黑色的条件下，另一个也是黑色的概率。

17、装有10个白球，5个黑球的罐中丢失一球，但不知是什么颜色。为了猜测丢失的球是什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都是白色球，问丢失的球是黑色球的概率。

18、 设有三只外形完全相同的盒子，Ⅰ号盒中装有14个黑球，6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球，42个白球。现从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求

（1）取到的球为黑色球的概率；

（2）如果取到的球为黑色球，求它是取自Ⅰ号盒的概率。

19、三种型号的圆珠笔杆放在一起，其中Ⅰ型的有4支，Ⅱ型的有5支，Ⅲ型的有6支；这三种型号的圆珠笔帽也放在一起，其中Ⅰ型的有5个，Ⅱ型的有7个，Ⅲ型的有8个。现在任意取一个笔杆和一个笔帽，求恰好能配套的概率。

20、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票的概率。

21、甲、乙、丙、丁4人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.7,

求此密码能译出的概率是多少。

22、袋中10个白球，5个黄球，10个红球，从中取1个，已知不是白球，求是黄球的概率。

23、设每次试验事件A发生的概率相同，已知3次试验中A至少出现一次的概率为19/27，求事件A在一次试验中出现的概率。

24、甲、乙、丙3台机床独立工作，由1个人看管，某段时间甲、乙、丙3台机床不需看管的概率分别为0.9，0.8，0.85，求在这段时间内机床因无人看管而停工的概率。

25、一批产品共有100件，对其进行检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的4件产品中至少有1件废品。如果在该批产品中有5%是废品，问该批产品被拒收的概率是多少。

26、将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的个数的最大值为2的概率。

27、甲、乙2班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女同学15名，求碰到甲班同学时，正好碰到女同学的概率。

概率论与数理统计 第5页（共57页） 28、一幢10层的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客在第二层起离开电梯。假设每位乘客在哪一层离开是等可能的，求没有2位及2位以上乘客在同一层离开的概率。

29、某种动物由出生到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现在20岁的动物活到25岁的概率为多少？

30、每门高射炮（每射一发）击中目标的概率为0.6，现有若干门高射炮同时发射（每炮射一发），欲以99%以上的概率击中目标，问至少需要配置几门高射炮？

31、电路由电池A与2个并联的电池B和C串联而成，设电池A，B，C损坏的概率分别为 0.2 ，0.3 ，0.3，求电路发生间断的概率。

32、袋中10个白球，5个黄球，从中不放回地取3次，试求取出的球为同颜色的球的概率。

33、假设目标在射程之内的概率为0.7，这时射击的命中率为0.6，试求两次独立射击至少有一次击中的概率。

34、假设某地区位于甲乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某段时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3，求（1）该时期内这地区遭受水灾的概率；

（2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。

35、 甲、乙、丙3人同向飞机射击。击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，如果有2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，如果有3人击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。

36、一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手3发子弹得到不小于29环的概率。

38、甲、乙2名乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率0.4，比赛既可采用三局两胜制，也可采用五局三胜制，问采用哪种比赛制度对甲更有利。

39、有2500人参加人寿保险，每年初每人向保险公司交付保险费12元。若在一年内死亡，则其家属可以从保险公司领取2000元。假设每人在一年内死亡的概率都是0.002，求保险公司获利不少于10000元的概率。

40、在12名学生中有8名优等生，从中任取9名，求有5名优等生的概率。

41、特色医院接待患者的比例为K型50%，L型30%，M型20%，对应治愈率为0.7，0.8，0.9，一患者已治愈，问他属于L型的概率？

42、某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5、乘轮船迟到的概率为0.2、乘飞机不会迟到。问这个人迟到的概率；又如果他迟到，问他乘轮船的概率是多少？

43、一对骰子抛掷25次，问出现双6和不出现双6的概率哪个大？

44、一副扑克（52张），从中任取13张，求至少有一张“A”的概率？

45、据以往资料表明，某三口之家，患某种传染病的概率有以下规律。孩子得病的概率为0.6，孩子得病下母亲得病的概率为 0.5，母亲及孩子得病下父亲得病的概率为0.4，求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

46、某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随机地拨号。求他拨号不超过3次的概率；若已知最后一位数字为奇数，此概率是多少？

概率论与数理统计 第6页（共57页） 47、某场战斗准备调甲、乙两部队参加，每支部队能按时赶到的概率为，若只有一支部队参加战斗，则取胜的概率为0.4；若两部队参加战斗，则必胜；若两部队未能按时赶到则必败。欲达0.9以上的概率取胜，求的最低值。

48、工人看管三台设备，在1小时内每台设备不需要看管的概率均为0.8，求

（1）三台设备均不需要看管的概率；

（2）至少有一台设备需要看管的概率；

（3）三台设备均需要看管的概率。

四、证明题

1、 假设我们掷两次骰子，并定义事件A“第一次掷得偶数点”，B“第二次掷得奇数点”，C“两次都掷奇数点或偶数点”，证明A，B，C两两独立，但A，B，C不相互独立。

2、 设每次试验A发生的概率p,(0p1)，An“n次独立重复试验中至少出现一次A”证明LimP(An)1

n3、设X~b(n,p)，证明EXnp,DXnp(1p)

4、证明，如果P(A|B)P(A)，则P(B|A)P(B)

5、当P(A)a,P(B)b时，证明：P(A|B)6、证明：P(A)0，则P(B|A)1ab1

bP(B)

P(A)7、设A,B,C三事件相互独立，则AB,AB与C相互独立。

8、设AiA，i1,2,3，则P(A)P(A1)P(A2)P(A3)2

9、已知A1,A2同时发生，则A发生，证明P(A)P(A1)P(A2)1

10、10个考签中有4个难签，3人依次抽签参加考试，证明3人抽到难签的概率相等。

11、设A，B为两事件，证明

P(BA)P(B)P(AB)

12、证明如果A与B独立，则A与B独立、A与B独立、A与B独立

13、如果P(A)0，证明A与B独立的充分必要条件是P(B|A)P(B)

概率论与数理统计 第7页（共57页）

第二章 随机变量及其分布

一、填空题

1、设随机变量X的分布律为P(Xk)akk!(k0,1,2),0，则a 。

2、设随机变量X服从参数为1/3的0—1分布，则X的分布函数为= 。

3、设随机变量X~N(1,4),P(Xa)1，则a 。

24、设随机变量X的分布律为P(Xk)a(k1,2N),0，则a 。

N25、设随机变量X服从(0,1)区间上的均匀分布，则随机变量YX的密度函数为 。

6、随机变量X的密度函数为f(x)ke(x1)28

(x)，则k 。

7、随机变量X的密度函数为X~N(1,4),则Y2X1~ 。

8、若P(Xx2)1,P(Xx1),x1x2，则P(x1Xx2) 。

9、设离散型随机变量X的分布函数为

0x1a1x2

F(x)2

a1x23abx21且P(X2)，则a ，b 。

2x2x010、设连续型随机变量X的密度函数为f(x)ke 则

x00k ，P(1X2) ，P(X2) 。

11、设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的产品

不放回，直到把2个次品都找到为止，设X为需要进行测试的次数，则P(X3) 。

12、设F(x)为离散型随机变量的分布函数为，若P(aXb)F(b)F(a)，

概率论与数理统计 第8页（共57页） 则P(Xb) 。

13、一颗均匀骰子重复掷10次，设X表示点3出现的次数，则X的分布律P(Xk) 。

14、设X为连续型随机变量，且P(X0.29)0.75，Y1X，且P(Yk)0.25，

则k 。

15、设随机变量X服从POISSON分布，且P(X1)P(X2)，则P(X1) 。

16、连续型随机变量X为f(x)16e(x24x4)2c，

f(x)dxf(x)dx，则c 。c17、设F1(x),F2(x)为分布函数，a10,a20，a1F1(x)a2F2(x)为分布函数，则

a1a2 。

x00218、若连续型随机变量的分布函数F(x)Ax0x6，则A 。

1x619、设随机变量X的概率密度f(x)21|x|e，则X的分布函数为 。

220、若随机变量X~N(1,0.5)，则2X的密度函数f(x) 。

二、选择题

1、若函数f(x)是一随机变量X的密度函数，则（ ）

①f(x)的定义域为[0,1] ②f(x)值域为[0,1] ③f(x)非负 ④f(x)在R连续

2、如果F(x)是（ ），则F(x)一定不可以为某一随机变量的分布函数。

①非负函数 ②连续函数 ③有界函数 ④单调减少函数

3、下面的数列中，能成为一随机变量的分布律的是（ ）

1e1e111(k0,1,2,) ②(k1,2,) ③k(k0,1,2,) ④k(k1,2,) ①k!k!224、下面的函数中，能成为一连续型随机变量的密度函数的是（ ）

概率论与数理统计 第9页（共57页） 3sinxx①f(x)

20其他3－sinxx ②

h(x)

2

0其他331cosxxcosxx③g(x)

2 ④

u(x)2

00其他其他5、设随机变量X~N(0,1)，(x)为其分布函数，P(Xx)，则x（ ）。

1①

(1) ②

(11) ③

1() ④

1()

22k6、设离散型随机变量X的分布律为P(Xk)b(k1,2,)，则＝（ ）。

①

0的实数 ②

b1 ③

1b1 ④

1b1

27、设随机变量X~N(,)，则增大时，P(|X|)是（ ）

① 单调增大 ② 单调减少 ③ 保持不变 ④ 增减不定

8、设随机变量X的分布密度f(x)，分布函数F(x)，f(x)为关于y轴对称，则有（ ）

①F(a)1F(a)②F(a)1F(a)③F(a)F(a)④F(a)2F(a)1

29、设F1(x),F2(x)为分布函数，a1F1(x)a2F2(x)为分布函数，则下列成立的是（ ）

32231313,a2 ②a1,a2 ③a1,a2④a1,a2

555522221cosxxG10、要使f(x)2 是密度函数，则G为（ ）

xG0①

a1①

, ②

0, ③

, ④

,2

222211、设随机变量的分布密度为f(x)1,则Y2X的密度函数为（ ）

(1x2)①

121 ② ③ ④

(4x2)(1x2)(14x2)1

12(1x)412、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，密度f(x)，则（ ）

概率论与数理统计 第10页（共57页） ①P(Xx)0②F(x)P(Xx) ③F(x)P(Xx)④f(x)P(Xx)

x0x113、设随机变量X的密度函数为f(x)2x1x2，则P(X1.5)（ ）

0其他1.51.5① 0.75 ② 0.875 ③

(2x)dx ④

(2x)dx

0114、设随机变量X~N(1,1)，分布函数为F(x)，密度f(x)，则有（ ）

①

P(X0)P(X0) ②

f(x)f(x)

③

P(X1)P(X1) ④

F(x)F(x)

三、计算题

1、10 个灯泡中有2个是坏的，从中任取3个，用随机变量描述这一试验结果，并写出这个随机变量的分布律和分布函数及所取的三个灯泡中至少有两个好灯泡的概率。

2、罐中有5 个红球，3个白球，有放回地每次任取一球，直到取得红球为止。用X表示1X3。 抽取的次数，求X的分布律，并计算P3、设随机变量X的分布律为P(Xk)4、 已知离散型随机变量X的分布律为

(1) 求P(1X1)；

（2）求YX的分布律；

（3）求X的分布函数。

5、已知离散型随机变量X的分布律为P(Xk)C4p(1p) 求p。

6、对某一目标射击，直到击中时为止。如果每次射击的命中率为p，求射击次数X的分布律。

7、已知离散型随机变量X的分布律为P(Xk)kk4kA(k1,2,)，试求A的值。

k(k1)2X

－2 －1 0 1 2

1/5 1/6 1/5 1/15 11/30

，且P(X1)5

91，其中k1,2,，

k2 概率论与数理统计 第11页（共57页） 求YSinX的分布律。

28、 设连续型随机变量X的分布函数为：F(x)ABarctanx

求：(1)常数A,B (2)X的概率密度。

A|x|12f(x)9、已知随机变量X的密度函数为

1x

|x|10求（1）系数A；

（2）X落入1,21的概率；

2 （3）X的分布函数。

10、某车间有20部同型号机床，每部机床开动的概率为0.8，若假定各机床是否开动是独立的，每部机床开动时所消耗的电能为15个单位，求这个车间消耗的电能不少于270个单位的概率。

11、 设随机变量X~U(0,2)，求YX2的分布。

12、设测量误差X的密度函数为f(x)1402e(x2)23200，求

（1） 测量误差的绝对值不超过30的概率；

（2） 测量3次，每次测量独立，求至少有1次测量误差的绝对值不超过30的概率。

13、在下列两种情形下，求方程tXt10有实根的概率。

（1）X等可能取｛1, 2，3, 4，5, 6｝；

（2）X~U(1,6)

14、设球的直径（单位：mm）X~U(10,11)，求球的体积的概率密度。

15、已知离散型随机变量X只取-1，0，1，2，相应的概率为 求a的值并计算P(|X|1|X0)

21357,,,，

2a4a8a16a 概率论与数理统计 第12页（共57页） 100x10016、设某种电子管的寿命X的密度函数f(x)x2

x1000（1） 若1个电子管在使用150小时后仍完好，那么该电子管使用时间少于200小时的概率是多少？

（2） 若1个电子系统中装有3个独立工件的这种电子管，在使用150小时后恰有1个损坏的概率是多少。

17、设钻头的寿命(即钻头直到磨损为止所钻的地层厚度，以米为单位)服从指数分布，

钻头平均寿命为1000米，现要打一口深度为2000米的井，求

(1)只需一根钻头的概率；

(2)恰好用两根钻头的概率。

18、某公共汽车站从上午7时起第15分钟发一班车，如果乘客到达此汽车站的时间X是7时至7时30分的均匀分布，试求乘客在车站等候

（1）不超过15分钟的概率；（2）超过10分钟的概率。

19、自动生产线在调整以后出现废品的概率为 0.1，生产过程中出现废品时重新进行调整，问在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少？

20、设在一段时间内进入某一商店的顾客人数服从POSSION分布，每个顾客购买某种物品的概率为p，并且各个顾客是否购买该物品是相互独立的，求进入商店的顾客购买该种物品人数的分布律。

21、设每页书上的印刷错误个数服从泊松分布，现从一本有500个印刷错误的500页的书上随机地取5页，求这5页各页上的错误都不超过2个的概率。

22、已知每天到某炼油厂的油船数X服从参数为2的泊松分布，而港口的设备一天只能为三只油船服务，如果一天中到达的油船超过三只，超出的油船必须转到另一港口。求：

（1）这一天必须有油船转走的概率；

（2）设备增加到多少，才能使每天到达港口的油船有90%可以得到服务。

（3）每天到达港口油船的最可能只数。

23、某实验室有12台电脑，各台电脑开机与关机是相互独立的，如果每台电脑开机占总工作时间的3/4，试求在工作时间任一时刻关机的电脑台数超过两台的概率以及最有可能有几台电脑同时开机。

24、设有各耗电7.5KW的车床10台，每台车床使用情况是相互独立的，且每台车床每小时平均开车12分钟，为这10台车床配电设备的容量是55KW，试求该配电设备超载的概率。

25、一台电子设备内装有5个某种类型的电子管，已知这种电子管的寿命（单位：小时）服从指数分布，且平均寿命为1000小时。如果有一个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率为95%，两个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率为70%，若两个以上电子管损坏，则设备不能正常工作。求这台电子设备在正常工作1000小时后仍能正常工作的概率(各电子管工作相互独立)。

概率论与数理统计 第13页（共57页） 26、某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm—Hg计）服从N(110,12)。在该地2100X120；区任选一18岁的女青年，测量她的血压X。（1）求PX105，P（2）确定最小的x,使PXx0.05。()0.7976,(1.645)0.95

27、将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内。调节器整定在d℃,液体的温度X是一个随机变量，且X~N(d,0.5) (1)若d=90,求X小于89的概率。（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？(2.327)0.99,(2)0.9772

256ax128、设随机变量的分布函数F(x)bxlnxcxd1xe

dxe （1）确定a,b,c,d的值；（2）P(|X|e)

2ABexx0(0) 29、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)

x00 求(1)常数A，B的值；(2)P(1X1)

30、有一个半径为2米的圆盘形靶子，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设均能中靶，如以X表示击中点与靶心的距离，求X的分布函数和密度函数。

31、设随机变量X的密度函数fx(x)32、设随机变量的分布律为

X

1|x|1x12，求YX1的密度函数。

其他0



3424

0.2 0.1 0.7

求随机变量YSinX的分布函数。

33、已知10个元件中有7个合格品和3个次品，每次随机地抽取1个测试，测试后不放回，直至将3个次品找到为止，求需测试次数X的分布律。

概率论与数理统计 第14页（共57页） 0x11231x0134、已知X的分布函数为FX(x)，求YSinX的分布函数。

20x1621x23x2135、设某产品的寿命T服从N(160,)的正态分布，若要求寿命低于120小时的概率不超过0.1，试问应控制在什么范围内，并问寿命超过210小时的概率在什么范围内？

36、某厂决定在工人中增发高产奖，并决定对每月生产额最高的5%的工人发放高产奖，已知每人每月生产额X~N(4000,60)，试问高产奖发放标准应把月生产额定为多少？

37、在长为1的线段随机地选取一点，短的一段与长的一段之比小于1/4的概率是多少？

222xx(0,)38、设X的分布密度为fX(x)2 求YSinX的密度函数。

x(0,)0

39、设X的分布密度为fX(x)求（1）YX21|x|e

2(2)Y|X|（3）Yln|X|的概率密度。

四、证明题

1、设F(x)为随机变量X的分布函数，证明：当x1x2时，有F(x1)F(x2)

2、证明：若X服从参数为的指数分布，则P(Xrs|Xs)P(Xr)

3、证明：X服从a,b上均匀分布，则YcXd也服从均匀分布。

4、设随机变量X的分布函数FX(x)为严格单调连续函数，则YFX(X)服从均匀分布。

5、设随机变量X的分布密度f(x)，分布函数F(x)，f(x)为关于y轴对称，证明：

a1对于任意正数a有

F(a)1F(a)f(x)dx

206、设随机变量X的分布密度f(x)，分布函数F(x)，f(x)为关于y轴对称，证明：

概率论与数理统计 第15页（共57页） 对于任意正数a有

P(|X|a)2F(a)1

7、设f(x),g(x)是两个随机变量的密度函数，证明：对于任意正数(01)，

有f(x)(1)g(x)是某一随机变量的密度函数。

第三章 多维随机变量及其分布

一、填空题

xy001、因为二元函数F(x,y) 不满足 ，所以F(x,y)不是某一个

xy01二维随机变量的联合分布函数。

2、设二维随机变量的联合分布律为

X

Y

1

2

1 2 3

1/16 3/8 1/16

1/12 1/6 1/4

则P(Y1|X2) 。

3、设X和Y是独立的随机变量，其分布密度函数为

0x1y0ey1

fX(x) ，fY(y)

其他y000 则(X,Y)的联合分布密度函数为 。

4、设二维随机变量的联合分布律为

X

Y

1

2

1 2 3

1/6 1/9 1/18

1/3 a b

若X和Y独立，则a= ,b= 。

概率论与数理统计 第16页（共57页） 5、设X1~N(1,2),X2~N(0,3),X3~N(2,1)，且三个随机变量相互独立，则

P(02X13X2X36) 。

6、若随机变量X~b(2,p),Y~b(4,p)，且P(X1)5，则P(Y1) 。

9ce(xy)x0,y0 7、设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y) 则c 。

其他08、设(X,Y)区域D上服从均匀分布，其中D是由x轴，y轴及直线y2x1所围成的区域，则P(X,Y181) 。

234，P(X0)P(Y0)，

779、设X和Y是两个随机变量，且P(X0,Y0)则Pmax(X,Y)0 。

10、设相互独立的X和Y具有同一分布律，且P(X0)P(X1)1，则随机变量

2ZmaxX,Y的分布律为 。

11、设相互独立的X和Y具有同一分布律，且P(X0)P(X1)1，则随机变量

2ZminX,Y的分布律为 。

12、设平面区域D由曲线y1及直线y0,x1,xe2，(X,Y)区域D上服从均x匀分布，则(X,Y)关于X的边缘密度在x2处的值为 。

13、设相互独立的X和Y具有同一分布，且X~N(0,)，则ZXY~ 。

12二、选择题

1、设随机变量X,Y相互独立，分布函数为FX(x),FY(y)，则max(X,Y)的分布函数为( )

①

max{FX(x),FY(x)} ②

min{FX(x),FY(x)}

③

FX(x)FY(x) ④

11FX(x)1FY(x)

概率论与数理统计 第17页（共57页） 2、设随机变量X,Y相互独立，且X~N(0,2),Y~N(1,4)，则下列各式成立的是( )

11 ②

P(XY0)

2211 ③

P(XY1) ④

P(XY1)

22 ①

P(XY0)3、设随机变量X，则XY的密度函数为（ ）

Y~N(0,1)，Y相互独立，X~N(0,1)，1e ①2x2y221e ②2x2y24 ③12ex24 ④

12ex24

4、设随机变量X,Y相互独立且同分布，P(X1)P(X1)0.5，则下列结论正确的是 ( )

①P(XY)0.5 ②P(XY)1 ③P(XY0)211 ④P(XY0)

4425、设随机变量X,Y相互独立，且X~N(1,),Y~N(2,)，则XY为( )

①

N(12,12) ②

N(12,12)

③

N(12,12) ④

N(12,12)

221xy16、设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y) 则X与Y为（ ）

其他022222222①独立同分布 ②独立不同分布 ③不独立同分布 ④不独立也不同分布

7、设随机变量X,Y相互独立，且均服从（0,1）均匀分布，则下列中服从均匀分布的是（ ）

①

(X,Y) ②

XY ③

X ④

XY

8、随机变量X,Y相互独立同分布，则XY和XY（ ）

① 不独立 ② 独立 ③ 不相关 ④ 相关

9、设(X,Y)的联合分布律为

Y 0 1

1/4

b

a 1/4

2X

0

1

概率论与数理统计 第18页（共57页） 已知事件X0与事件XY1相互独立，则a,b值为（ ）

①

a11311111,b ②

a,b③a,b ④a,b

63883644三、计算题

1、设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为

f(x,y)

求：(1)系数A； (2) P{(X，Y)∈D}，其中D为由直线y=x ,x=1，及x轴围成的三角形区域。

2、设随机变量X，Y相互独立，且X，Y的分布律如下表：

X

P

A(1x2)(1y2)(x,y)

－3

1/4

－2

1/4

－1

2/4

Y

P

1

2/5

2

1/5

3

1/5

求：(1) (X，Y)的联合分布律；(2) Z＝2X＋Y的分布律；(3) U＝X－Y的分布律。

3、甲、乙两人约定晚上在某处见面，但没有说好具体时间，已知甲、乙到达该处的时间分别为随机变量X和Y，且甲到达的时间均匀分布在6时至8时之间；而乙到达的时间均匀分布在7时至10时之间。已知(X，Y)的联合概率密度为：

1f(x,y)606x8,7y10其他 求先到一人等候对方不超过10分钟的概率。

4、设随机变量X和Y相互独立，且X~U(1,2),Y~U(1,3)，求方程有两个不相等的实根的概率。方程：t2XtY0

5、一口袋中有4个球，标有1，2，3，4。从中任取1个，不放回，再从袋中任取1个球，

以X和Y表示第一、二次取得的球的数字，求X、Y的联合分布。

6、设随机变量X和Y相互独立，X~N(,)，Y~U(,)，求XY的分布。

7、随机变量X和Y的联合分布函数为F(x,y)求边缘分布函数和边缘密度函数。

221arctanxarctany

222x2xy0x1,0y18、设二维随机变量X和Y的联合密度函数为f(x,y)

3其他0求（1）联合分布函数；

概率论与数理统计 第19页（共57页） （2）边缘密度函数；

（3）P(XY1)

9、甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y表示甲和乙的命中次数，求X和Y的联合分布。

10、已知随机变量X和Y的分布律为

10101

X~111

Y~11且P(XY0)1求

42422（1）X和Y的联合分布；（2）X和Y是否独立。

11、一电子仪器由两部件构成，以X和Y表示两部件的寿命，已知X和Y的联合分布函数为

1e0.5ye0.5xe0.5(xy)x0,y0

F(x,y)其他0（1）X和Y是否独立；（2）求两部件的寿命都超过100小时的概率。

12、设随机变量X和Y独立，其概率密度分别为

eyy010x1fX(x)，fY(y) 求Z2XY的分布密度。

0其他y003x0x1,0yx13、设随机变量X和Y独立联合密度为f(x,y)

0其他求P(Y11|X)

844.8y(2x)0x1,0yx14、设X和Y独立联合密度为f(x,y)

0其他求边缘密度。

cx2yx2y115、设X和Y独立联合密度为f(x,y) 求（1）c

其他0（2）边缘密度。（3）条件分布

216、设X和Y独立，且服从N(0.)，求ZX2Y2的概率密度。

概率论与数理统计 第20页（共57页） eyy0exx017、设X和Y独立，fX(x)

fY(y)

其他其他00求ZXY的概率密度

eyy0exx018、设X和Y独立，fX(x)

fY(y)

其他其他00求Zmax(X,Y)的概率密度。

eyy0exx019、设X和Y独立，fX(x)

fY(y)

其他其他00求Zmin(X,Y)的概率密度。

20、设X和Y独立联合密度为f(x,y)

4xy0x1,0y1求联合分布函数。

其他0四、证明题

1、证明：若X~(1),Y~(2)，且两随机变量独立，则XY~(12)

2、证明：若X~N(0,1),Y~N(0,1)，且两随机变量独立，则XY~N(0,2)

3、证明：若随机变量X以概率1取常数c，则它与任何随机变量Y相互独立。

第四章 随机变量的数字特征

第五章 极限定理

一、填空题

1、设随机变量X的数学期望为，均方差为0，则当a ，b 时，

2、设X与Y独立，且EXEY0,DXDY1，则E(X2Y) 。

3、设连续型随机变量X的密度函数为f(x)20x1axb1 且DX，

0其他18 概率论与数理统计 第21页（共57页） 则a ，b ，EX 。

4、一颗均匀骰子重复掷10次，则10次中点数3平均出现的次数为 ，最可能出现点数3的次数为 。

5、设随机变量X服从一区间上的均匀分布，且EX3,DX为 。P(X2) 。

6、设随机变量X~b(n,p),EX2.4,DX1.44,则n ，p 。

7、设随机变量X服从参数为2的指数分布，Y服从参数为4的指数分布，则1，则X的密度函数3E(2X23Y) 。

8、从废品率为5%的一大批产品每次取一个产品，直到取到废品为止，平均要取 个产品。

9、设随机变量X和Y独立，且X~U(0,2),Y~e(3)，则E(XY) 。

10、设X1,X2,X100相互独立，且P(Xik) 则P(11e(k0,1,2;i1,2,,100)

k!Xi1ni120) 。

11、已知随机变量X的密度函数为f(x)1ex22x1(x)，

则E(X)_______,D(X)_________。

212、设X1~U(0,6),X2~N(0,2),X3~e(3)，则D(X12X23X3) 。

13、设随机变量X和Y独立，E(X)0,E(Y)0,D(X)1,D(Y)1，则D(XY)=

1X014、设随机变量X~U(1,2)，则随机变量Y0X0，则D(Y) 。

1X0Bk(k0,1,2,)，且E(X)a，

15、若随机变量X的分布律为P(Xk)Ak!则A ，B 。

概率论与数理统计 第22页（共57页） 16、设X表示10次独立重复射击命中次数，每次命中的概率为0.4，则E(X) 。

2二、选择题

1、设X~e(1)，则E(XeX)为 ( )

① 3/2 ② 1 ③ 5/3 ④ 3/4

2、已知随机变量X，Y的方差DX,DY存在，且DX0,DY0,E(XY)(EX)(EY)，则下列一定成立的是（ ）

①X与Y一定独立 ②X与Y一定不相关

③D(XY)(DX)(DY) ④D(XY)DXDY

3、设X的分布律为P(Xxk)pk，如果（ ），则EX不一定存在。

①k1,2,n ②k1,2,,xk1kpk收敛

③k1,2,,xk0,xk1kpk收敛 ④k1,2,,xk0,xkpk收敛

k14、设随机变量X的方差DX存在，a,b为常数，则D(aXb)（ ）

①aDXb ②aDXb ③aDX ④aDX

5、设X为随机变量，D(10X)10，则DX＝（ ）

①

221 ② 1 ③ 10 ④ 100

106、已知随机变量X，Y相互独立，且都服从POISSON分布，又知EX2,EY3，

则E(XY)（ ）

① 51 ② 10 ③ 25 ④ 30

7、设随机变量X~N(,)，EX3,DX1，则P(1X1)（ ）

①2(1)1 ②(4)(2) ③(4)(2) ④(2)(4)

22 概率论与数理统计 第23页（共57页） 8、设随机变量X~N(2,2)，则D(1X)（ ）

21① 1 ② 2 ③ ④ 4

229、设随机变量X服从指数分布，且DX0.25，则X的密度函数为f(x)（ ）

xx11114x2x0x0x02e2xx04eee4①

 ②2 ③ ④4

x0x0x0x000001x1x0e10、设随机变量X 的概率密度为f(x) 则错误的是( )

x001x ①

E(X) ②

0 ③

P(1X1)1e ④ 分布函数F(X)1e

11、设随机变量X,Y满足D(XY)D(XY)，则正面正确的是 ( )

①

X,Y相互独立 ②

X,Y不相关 ③

D(Y)0 ④

D(X)D(Y)0

x00312、设随机变量X的分布函数为F(x)x

0x1 则E(X)( )

1x114314①

3xdx3xdxxdxxdx3x ② ③ ④

dx

0001013、有一群人受某种疾病感染的占20%，现从他们中随机抽取50人，则其中患病人数的数学期望与方差是 ( )

① 25和8 ② 10和 2.8 ③ 25和 64 ④ 10和 8

14、设随机变量X1,X2,X3均服从区间 ( 0 ，2 ) 上的均匀分布，则E(3X1X22X3)=

① 1 ② 3 ③ 4 ④ 12

15、设X1,X2,,Xn,为独立同分布的随机变量序列，若（ ）时，则Xn服从切贝晓夫大数定律。

①Xi的分布律的是P(Xik)1(k0,1,2,)

ek! 概率论与数理统计 第24页（共57页） ②Xi的分布律的是P(Xik)1(k1,2,)

k(k1)③Xi的密度函数为f(x)1(x)

(1x2)Ax13④Xi的密度函数为g(x)x

x1016、设X1,X2,Xn独立同分布，且服从参数为1/的指数分布，则下列结论正确的是( )

nnXnXniii1i1①

LimPx(x) ②

LimPx(x)

nnnnnnXnXniii1i1③

LimPx(x) ④

LimPx(x)

nnnn17、设X1,X2,,X1000,为独立同分布的随机变量序列，

且Xi~b(1,p)(i1,2,1000)，则下列中不正确的是（ ）

1①10001000i1Xip ②Xi~b(1000,p) ③P(aXib)(b)(a)

i1i11④

P(a

Xib)(i1b1000p1000pq)(a1000p1000pq)

三、计算题

1、设随机变量X和Y相互独立且均服从N(0,)，求|XY|的数学期望。

2、设球的直径（单位：mm）X~U(10,11)，求球的体积的数学期望。

概率论与数理统计 第25页（共57页）

12223、已知X~N(1,3),Y~N(0,4),XY0.5，设ZX3Y，求Z的数学期望和2方差及X与Z的相关系数。

4、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，今随机抽查100个索赔户，求其中被盗索赔户不少于14户但也不多于30户的概率。

5、甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束，假设每次比赛甲队获胜的概率为

0.6，求比赛场数的数学期望。

6、某城市的市民在一年内遭受交通事故的概率为千分之一。为此，一家保险公司决定在这个城市新开一种交通事故险，每个投保人每年交付保险费18元，一旦发生事故，将得到1万元的赔偿。经调查，预计有10万人购买这种险种。假设其他成本共40万元

求（1）保险公司亏本的概率是多少？（2）平均利润为多少？

7、设随机变量X有有限期望EX及方差DX，试用切贝谢夫不等式估计2PEX3XEX3的值。

|XEX|5的值。 8、设随机变量X的方差为2.5，试用切贝谢夫不等式估计概率P9、某计算机系统有120个终端，各终端使用与否相互独立，如果每个终端有20%的时间在使用，求使用终端个数在30个至50个之间的概率。

10、一系统由100个相互独立的部件组成，在系统运行期间部件损坏的概率为0.05，而系统只有在损坏的部件不多于10个时才能正常运行，求系统的可靠度。

11、某电站供应一万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，利用中心极限定理计算：

(1) 同时用电户数在9030户以上的概率；

(2) 若每户用电200瓦，问电站至少应具有多大的发电量，才能以95%的概率保证供电

12、对次品率为0.05的一批产品进行抽样检查，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不合格，那么应检查多少个产品，才能使这批产品被认为是不合格的概率(可信度)达到90%。

13、据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的和大于1920小时的概率。

x11t0e414、某厂产品的寿命服从指数分布，其概率密度为f(t)4 ，工厂规定，t00售出的产品若在一年内损坏可以调换。若工厂售出1个产品，能获利120元；调换1个产品，工厂要花费350元，试求工厂出售1个产品的平均获利。

15、一商店经销某种商品，每周进货的数量X与商品的需求量Y相互独立，且均服从均匀分布U(10,20)。商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超过进货量，商店可 概率论与数理统计 第26页（共57页） 从其他商店调剂供应，这时每单位商品可得利润500元，试计算此商店经营该各商品每周平均获利。

16、在一家保险公司有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，一年内一个人死亡的概率为0.006,其家属可获得1000元赔偿费，求

（1）保险公司没有利润的概率；（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率。

三、证明题

1、设(X,Y)在单位圆内服从均匀分布，试证X与Y不相关，但不相互独立。

2、设X~N(0,1)，则X与Y|X|不相关，但不相互独立

3、设X与Y都是0－1分布，试证X与Y不相关的充分必要条件是X与Y独立。

(ba)24、证明：取值于[a,b]区间上的随机变量X，必有D(X)

45、设A,B是两事件，X1若A出现1若B出现

Y

1若A不出现1若B不出现证明X与Y独立的充分必要条件是A,B独立。

数理统计

一、填空题

1、设X1,X2,Xn为总体X的一个样本，如果g(X1,X2,Xn) ，

则称g(X1,X2,Xn)为统计量。

2、设总体X~N(,),已知，则在求均值的区间估计时，使用的随机变量为

3、设总体X服从方差为1的正态分布，根据来自总体的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。

4、假设检验的统计思想是 。

小概率事件在一次试验中不会发生

5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个样本检验这批产品废品率是否高于5%，

此问题的原假设为 。

6、某地区的年降雨量X~N(,)，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为：

概率论与数理统计 第27页（共57页）

22 (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则的矩估计值为 。

7、设两个相互独立的样本X1,X2,,X21与Y1,,Y5分别取自正态总体N(1,2)与22222分别是两个样本的方差，令1aS1,2(ab)S2，已知N(2,1)，

S12,S222212~2(20),2~2(4)，则a_____,b_____。

8、假设随机变量X~t(n)，则1服从分布 。

X229、假设随机变量X~t(10),已知P(X)0.05，则____ 。

10、设样本X1,X2,,X16来自标准正态分布总体N(0,1)，X为样本均值，而P(X)0.01， 则____

11、假设样本X1,X2,,X16来自正态总体N(,)，令Y3分布

12、设样本X1,X2,,X10来自标准正态分布总体N(0,1)，X与S分别是样本均值和样22Xi110i4Xi，则Y的i111610X2本方差，令Y，若已知P(Y)0.01，则____ 。

S2ˆ,ˆ都是总体未知参数的估计量，13、如果称ˆ1比ˆ2有效，则满足 。

12ˆC14、假设样本X1,X2,,Xn来自正态总体N(,)，一个无偏估计量，则C_______。

22(Xi1n1i1Xi)2是2的15、假设样本X1,X2,,X9来自正态总体N(,0.81)，测得样本均值x5，则的置信度是0.95的置信区间为 。

216、假设样本X1,X2,,X100来自正态总体N(,)，与未知，测得样本均值2x5，样本方差s21，则的置信度是0.95的置信区间为 。

概率论与数理统计 第28页（共57页） 217、假设样本X1,X2,,Xn来自正态总体N(,)，与未知，则原假设

2H0：15的t检验选用的统计量为 。

二、选择题

1、下列结论不正确的是 ( )

① 设随机变量X,Y都服从标准正态分布，且相互独立，则XY~(2)

②

X,Y独立，X~(10),XY~(15)Y~(5)

③

X1,X2,Xn来自总体X~N(,)的样本，X是样本均值，

则2222222i1n(XiX)22~2(n)

2 ④

X1,X2,Xn与Y1,Y2,Yn均来自总体X~N(,)的样本，并且相互独立，X,Y分别为样本均值，则(Xi1nniX)2~F(n1,n1)

Y)2(Yi1iˆ,ˆ是参数的两个估计量，正面正确的是 ( ) 2、设12ˆ)D(ˆ)，则称ˆ为比ˆ有效的估计量 ①

D(1212ˆ)D(ˆ)，则称ˆ为比ˆ有效的估计量 ②

D(1212ˆ,ˆ是参数的两个无偏估计量，D(ˆ)D(ˆ)，则称ˆ为比ˆ有效的估计量 ③

121212ˆ,ˆ是参数的两个无偏估计量，D(ˆ)D(ˆ)，则称ˆ为比ˆ有效的估计量 ④

121212ˆ)0，则有 （ ）

ˆ是参数的估计量，且D(3、设ˆ 不是的无偏估计 ②

ˆ 是的无偏估计 ①

2222ˆ 不一定是的无偏估计 ④

ˆ 不是的估计量 ③

2222 概率论与数理统计 第29页（共57页） 4、下面不正确的是 （ ）

①

z1z ②

1(n)(n)

③

t1(n)t(n) ④

F1(n,m)221

F(m,n)5、总体均值的区间估计中，正确的是 （ ）

① 置信度1一定时，样本容量增加，则置信区间长度变长；

② 置信度1一定时，样本容量增加，则置信区间长度变短；

③ 置信度1增大，则置信区间长度变短；

④ 置信度1减少，则置信区间长度变短。

6、对于给定的正数，01，设z是标准正态分布的上侧分位数，则有（ ）

①

P(Zz)1 ②

P(|Z|z)

22③

P(Zz)1 ④

P(|Z|z)

227、某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布N(0,0),0,0为已知，现从某日生产的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量，求得样本均值和样本方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，则应提出假设 （ ）

①

H0：0

H1：0 ②

H0：0

H1：0

③

H0：222222220

H1：0 ④

H0：0

H1：0

228、设样本X1,X2,Xn抽自总体X，Y1,Y2,Ym来自总体Y，X~N(1,)

2

Y~N(2,)，则2(Xi1mi1ni1)2/n的分布为

2(Y)i2/m①

F(n,m) ②

F(n1,m1) ③

F(m,n) ④

F(m1,n1)

1n9、设x1,x2,,xn为来自X~N(,)的样本观察值，,未知，xxi

ni122 则的极大似然估计值为 （ ）

概率论与数理统计 第30页（共57页）

21n1n1n1n22(xix) ①

(xix) ②

(xix) ③

(xix) ④n1ni1ni1n1i1i11n1n2(XiX)2 10、样本X1,X2,Xn来自总体X~N(0,1)，XXi，Sni1n1i1则下列结论正确的是 （ ）

①

nX~N(0,1) ②

X~N(0,1) ③

Xi2~2(n) ④

i1nX~t(n1)

S211、假设随机变量X~N(1,2),X1,X2,,X100是来自X的样本，X为样本均值。已知

YaXb~N(0,1)，则下列成立的是（ ）

①a5,b5 ②a5,b5 ③a1,b1 ④a1,b1

5555212、设样本X1,X2,,Xn来自正态总体N(,)，X与S分别是样本均值和样本方差，2则下面结论不成立的是（ ）

①X与S相互独立 ②X与(n1)S相互独立

22③X与12(Xi1niX)相互独立 ④X与2212(Xi1ni)2相互独立

213、样本X1,X2,X3,X4,X5取自正态总体N(,)，已知，未知。则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ）

1(XX) ①

X ②

X1X22 ③ ④i2i132215(Xi15iX)2

214、设样本X1,X2,,Xn来自正态总体N(,)，X与S分别是样本均值和样本方差，则下面结论成立的是（ ）

n(X)2~F(1,n1) ①

2X2X1~N(,) ②

2S2③

S22~2(n1) ④

Xn1~t(n1)

S 概率论与数理统计 第31页（共57页） 15、设样本X1,X2,,Xn来自总体X，则下列估计量中不是总体均值的无偏估计量的是（ ）。

①X ②X1X2Xn ③0.1(6X14Xn) ④X1X2X3

16、假设样本X1,X2,,Xn来自正态总体N(,)。总体数学期望已知，则下列估计量中是总体方差的无偏估计是（ ）

221n1n1n1n222(Xi) ④(Xi)2

(XiX)③①(XiX)②ni1n1i1n1i1n1i117、假设总体X的数学期望的置信度是0.95，置信区间上下限分别为样本函数b(X1,Xn)与

a(X1,,Xn)，则该区间的意义是（ ）

①

P(ab)0.95 ②

P(aXb)0.95

③

P(aXb)0.95 ④

P(aXb)0.95

18、假设总体X服从区间[0,]上的均匀分布，样本X1,X2,,Xn来自总体X。则未知ˆ为（ ）② 参数 的极大似然估计量①

2X ②

max(X1,,Xn) ③

min(X1,,Xn) ④ 不存在

19、在假设检验中，记H0为原假设，则犯第一类错误的概率是（ ）

①

H0成立而接受H0 ②

H0成立而拒绝H0

③

H0不成立而接受H0 ④

H0不成立而拒绝H0

20、假设样本X1,X2,,Xn来自正态总体N(,)，X为样本均值，记

21n1n22S(XiX)S2(XiX)2

ni1n1i1211n1n22S(Xi)S4(Xi)2

n1i1ni123 概率论与数理统计 第32页（共57页） 则服从自由度为n1的t分布的随机变量是（ ）

①XXXXn1 ②n1 ③

n ④

n

S1S2S3S4三、计算题

1、设总体X~N(12,4)，抽取容量为5的样本，求

（1） 样本均值大于13的概率；

（2） 样本的最小值小于10的概率；

（3） 样本最大值大于15的概率。

2、假设总体X~N(10,2)，X1,X2,,X8是来自X的一个样本，X是样本均值，求2P(X11)。

23、总体X~N(10,2)，X1,X2,,X8是来自X的样本，X是样本均值，若P(Xc)0.05，试确定c的值。

4、设X1,X2,,Xn来自正态总体N(10,2)，X是样本均值，

满足P(9.02X10.98)0.95，试确定样本容量n的大小。

5、假设总体X服从正态总体N(20,3)，样本X1,X2,,X25来自总体X,计算

2516PXiXi182

i17i1226、假设新生儿体重X~N(,)，现测得10名新生儿的体重，得数据如下： 3100 3480

2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260

（1）求参数和的矩估计；

（2）求参数的一个无偏估计。

222e(x)x7、设随机变量X的概率密度函数为f(x) ，设X1,X2,,Xn来自x0总体X的一个样本，求的矩估计和极大似然估计。

概率论与数理统计 第33页（共57页） 8、在测量反应时间中，一位心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以0.95的置信度使平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，那么测量的样本容量n最小应取多少

9、设随机变量X~N(,1)，x1,x2,,x10是来自X的10个观察值，要在0.01的水平下检验

H0：0，H1：0 取拒绝域J|X|c

（1）c?

（2）若已知x1,是否可以据此推断0成立？

(0.05)

（3）如果以J|X|1.15检验H0：0的拒绝域，试求该检验的检验水平。

10、假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X（单位mm）服从正态分布N(5.2,0.16)，现在随机抽出15根纤维，测得它们的平均长度x5.4，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为5.2mm

0011、某地九月份气温X~N(,)，观察九天，得x30C，s0.9C，求

2 （1）此地九月份平均气温的置信区间； （置信度95%）

（2）能否据此样本认为该地区九月份平均气温为31.5C（检验水平0.05)

（3）从（1）与（2）可以得到什么结论？

t0.025(8)2.306

12、正常成年人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为 54 68

65 77 70 64 69 72 62 71，假设人的脉搏次数X~N(,)，试就检验水平200.05下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异？

2213、设随机变量Xi~N(i,i),i,i均未知，X1与X2相互独立。现有5个X1的观察值，样本均值x119，样本方差为s17.505，有4个X2的观察值，样本均值x218，

样本方差为s22.593，

（1）检验X1与X2的方差是否相等？0.1,F0.05(4,3)9.12,F0.05(3,4)6.59

（3） 在（1）的基础上检验X1与X2的均值是否相等。 （

220.1）

214、假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X服从正态分布N(10600,82)，现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，样本方差s6992。当显著水平为 概率论与数理统计 第34页（共57页）

20.05时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？

15、某种导线的电阻X~N(,0.005)，现从新生产的一批导线中抽取9根，

得s0.009。

（1）对于0.05，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？

（2）求总体方差的95%的置信区间

16、某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量X~N(,)，某日开工后，测得9包糖的重量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1 100.5 99.5 (单位：千克) 试求总体均值的置信区间，给定置信水平为0.95。

17、设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，X表示失眠患者服用甲药后睡眠时间的延长时数，Y表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，10人服用甲药，10人服用乙药，经计算得x2.33,s11.9;y1.75,s22.9，设22222X~N(1,2),Y~N(2,2)；求12的置信度为95%的置信区间。

18、研究由机器A和B生产的钢管的内径，随机地抽取机器A生产的管子18根，测得样本方差s10.34，抽取机器B生产的管子13根，测得样本方差s20.29，设两样本独立，且由机器A和B生产的钢管的内径服从正态分布N(1,1),N(2,2)，试求总体222212方差比2的置信度为90%的置信区间。

219、设某种材料的强度X~N(,)，,未知，现从中抽取20件进行强度测试，以kg/cm为强度单位，由20件样本得样本方差s0.0912，求和的置信度为90%的置信区间。

20、设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个，求这批产品的一级中率p的置信度为95%的置信区间。

21、一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，总体方差约为1800000，如果置信度为95%，并要使估计值处在总体均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的样本？

22、设电视机的首次故障时间X服从指数分布，EX，试导出的极大似然估计量和矩估计。

23、为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行 概率论与数理统计 第35页（共57页）

22222职员随机地安排了10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟）相应的样本均值和方差为：x122.2,x228.5;s116.63,s218.92。假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求总体平均值差的置信度为95%的区间估计。

24、某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机地调查了1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为0.18和0.14，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。

25、电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100件为样本，测得其平均寿命为1245小时。能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准？

26、某机器制造出的肥皂厚度为5cm，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块为样本，测得其平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm，试分别以0.05和0.01的显著水平检验机器性能是否良好？（假设肥皂厚度服从正态分布）

27、有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为8kg，第二种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为10kg。从两种方法生产的产品各抽取一个样本，样本容量分别为32和40，测得22x150kg,x244kg。问这两种方法生产的产品的平均抗拉强度是否有显著差别

0.05,z0.0251.96

28、一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间为26.1分钟，样本标准差为12分钟；另一组的8名工人用第二种工艺组装产品，平均所需的时间为17.6分钟，样本标准差为10.5分钟，已知用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布，且方差相等，问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短？

0.05,t0.05(16)1.7459

29、某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg，其标准差为30kg。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量为270kg。问这种化肥是否使小麦明显增产？

0.05

30、某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250kg。今从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250kg。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，该批食品能否出厂？

0.05

31、某种电子元件的寿命服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下：159 280 101 212

224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。

0.05,t0.05(15)1.7531

32、某电器经销公司在6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少 概率论与数理统计 第36页（共57页） 有很大关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户数的统计数据：

城市编号

1

2

3

4

5

6

销售量

5425

6319

6827

7743

8365

8916

户数 (万户)

189

193

197

202

206

209

要求：(1)计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数；

（2）拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线；

(3)计算判定系数R2

(4)对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验 (0.05)，并对结果作简要分析。

33、在每种温度下各做三次试验，测得其得率(%)如下：

温度

得率

A1

86

85

83

A2

86

88

87

A3

90

88

92

A4

84

83

88

检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。

34、测量9对做父子的身高，所得数据如下(单位：英

父亲身高x 60 62 64 66 67 68 70 72 74

儿子身高y 63.6 65.2 66 66.9 67.1 67.8 68.3 70.1 70

(1) 试建立了儿子身高关于父亲身高的回归直线方程

(2) 检验儿子身高关于父亲身高的回归直线方程是否显著成立？t0.025(8)2.306

（3）父亲身高为70，试对儿子身高进行置信度为95%的区间预测

35、某商店采用四种不同的方式推销商品。为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著差异随机抽取样本，得到如下数据：（0.05,F0.05(3,16)3.24）

方式1

77

86

80

88

84

方式2

95

92

82

91

89

方式3

72

77

68

82

75

方式4

80

84

79

70

82

概率论与数理统计 第37页（共57页）

计算F统计量，并以0.05的显著水平作出统计决策。

四、证明题

1、设X1,X2,,Xn(n2)来自正态总体X，总体X的数学期望及方差均存在，2ˆ1,ˆ2,ˆ3,ˆ4均是总体X的数学期望求证：的无偏估计。其中ˆ1X1,ˆ2(X1Xn)

ˆ3

1ˆ4X

(X12X23X3),6122、假设随机变量X服从分布F(n,n)时，求证：P(X1)PX10.5

3、设X1,X2,,Xn(n2)来自正态总体X，总体X的方差存在，S为样本方差，求证：S为的无偏估计。

4、假设总体X的数学期望和方差均存在，X1,X2,,Xn22222来自总体X，求证：X1n与W都是总体期望的无偏估计，且DXDW。其中XXi，ni1WaiXi,(ai1)

i1i1nn

5、已知T~t(n)，证明T

k6、设总体X的k阶矩kE(Xi)存在，X1,X2,,Xn2~F(1,n)

来自总体X,证明样本k阶矩

1nkAkXi为总体的k阶矩kE(Xik)的无偏估计。

ni1

1x1x01e7、设总体X的密度函数为f(x) 试证X是的无偏估计，而不是x0X0 概率论与数理统计 第38页（共57页） 1的无偏估计。

ˆ2X,ˆ8、设总体X~U(0,)，证明12计 （X1,X2,,Xn

nmax(X1,X2,,Xn)均是的无偏估n1来自总体X的样本）

第二部份 参考答案

第一章 概率论的基本概念

一、填空题

21C4C22231、ABCABCABC 2、0.2 3、 4、C50.70.3 5、0.3 6、0.6

3C698761 10、1/3 11、AB 12、0.2, 0 13、0

109876n!14、0.12 15、0.54 16、0.52 17、1 18、11/12 19、2/3 20、1n

n二、选择题

7、3/8 8、0.7 9、1、④ 2、③ 3、② 4、② 5、③ 6、③ 7、④ 8、② 9、③ 10、③

11、③ 12、④ 13、① 14、④ 15、③ 16、③ 17、④ 18、① 19、④

三、计算题

3041C95C95C53223120.8C0.20.81、 2、 3、

330543C1004、Bi(i1,2,3)分别表示甲、乙、丙生产的零件，A表示优质品，用Bayes公式求

P(Bi|A)分别为0.4319 , 0.3606 ,0.2014，故可认为是甲机器生产的零件

6、P(ABC)10.970.990.98＝0.058906

7、A＝“答对”，B＝“平时没练习过”，用Bayes公式求P(B|A)，答案为 12/69

8、2/3,2/3,2/3 9、Ai“第i次取得电影票”，P(A1|A2)，答案为1/2

10、0 11、A=“两个均为红色”，B＝“两个均为白色”，（1）P(A)P(B)

概率论与数理统计 第39页（共57页） 2C32C2（2）1－P(B)

P(A)2,P(B)2 12、（1）（3）至少有一个不发生，（2）（4）C5C5两个都不发生 13、(1)1/2 (2)33/100 （3）16/100

14、Ai“第i次取得合格品“，即求P(A1A2A3A4A5)＝9594939291

1、Ai“第i次打开门”，用乘法公式（1）P(A1A2A3)（2）P(A1A2A3A4A5)

16、A=“有一个为黑色”，B＝“另一个也为黑色”即求P(B|A)P(AB)答案为1/8

P(A)17、A=“丢失的为黑色”，B＝“第二次的均为白色，用Bayes公式求P(A|B)，答案为，5/13 18、 (1)用全概率公式求77/225，（2）用Bayes公式求105/154

19、用独立性，103/300 20、1/2 21、0.8992 22、5/15 23、1/3 24、0.059

4A97C9525、15 26、9/16 27、1/2 28、7 29、0.5 30、6 31、0.272 32、0.2857

9C10033、0.6636 34、(1)0.27 (2)0.15 35、0.458

A表示“飞机被击落”，Bi“击中飞机，全概率公式求P(A) 36、0.784 37、三局两胜制甲胜的概率0.648，五局三胜i次”C85制甲胜的概,0.682 38、9 39、0.3117 40、4/9

C123525,P(A)1P(B) 41、A＝“出现双6”，B“不出现双6”，P(B)253613C4842、1130.696 43、用乘法公式P(ABC)0.18

C5244、Ai“第i次拨号接通”，则求P(A1)P(A1A2)P(A1A2A3)，答：3/10，3/5

45、B0,B1,B2表示有0,1，2支部队按时赶到，A表示“取胜”，先求P(Bi)，用全概率公式表示P(A)，用P(A)0.9，解0.915

46、（1）0.512 （2）0.488 （3）0.08

概率论与数理统计 第40页（共57页）

一、填空题

第二章 随机变量及其分布

x001y(0,1)0x1 3、1 4、1 5、f(y)2y1、e 2、

F(x)2

3y(0,1)10x16、122 7、N(1,16) 8、 9、ab1,ab2115aa,b

32661110、k,P(1X2)e2e，P(X2)0

2111、设Ai“第i次取次品”X3A1A2A3A1A2A3，用乘法公式求

1k510k2 14、0.71 15、1e 16、2 17、1 18、1/36

661x1x02e12(x2)219、F(x) 20、f(x)

e1xx021e212、0 13、C10()()k

二、选择题

1、③ 2、④ 3、① 4、② 5、① 6、③ 7、③ 8、① 9、① 10、① 11、② 12、① 13、② 14、③

三、计算题

1、X表示取得好灯泡的个数，

X

P

X的分布函数为：

P{X≥2}＝P{X=2}+P{X=3}＝14/15

x101151x2

FX(x)

82x3151x3

 概率论与数理统计

1

1/15

2

7/15

3

7/15

第41页（共57页）

2、X的分布律如下表

X

1 2 3 … k

P

5/8 15/64 45/512 … (3/8)k-15/8

∴P{1

3、1 4、P(1X1)=0.2

X2

0 1 4

6/30 7/30 17/30

06x211302x1F(x)30

1x0

17

300x11x219301x2P(X1)1(1p)459解出p

6、P(Xk)(1p)k1p,k1,2,3, 7、P(Y1)P(X4m3)m1Y

－1 0 1

2/15 5/15 8/15

8、

A12,B1,f(x)1(1x2)

9、A1110x1,3,F(x)[arcSinx2]1x1 10、0.206

1x10yy0111、FY(y)20y4

f0y4Y(y)4y1y40其他

12、(1)0.54618 (2) 0.9065345 13、(1) 5/6 (2) 4/5

概率论与数理统计 第42页（共57页）

…

…

5、

213233ayb3y14、fy(y)ba966

a10,b11

其他015、(1) 37/16 (2) 22/29 16、(1) 1/4 (2)4/9 17、（1）e （2）2e18、（1） 1/3 (2) 1/3 19、m5

20、设进入商店的顾客购买该种物品人数为Y，求Y的分布律

22

P(Yk)P(Xm)P(Yk|Xm)

mk 其中进入某一商店的顾客人数X~()，答案：Y~(p)

21、X表示任意一页书上印刷错误个数，Y表示随机地取5页书印刷错误个数不超过2个的页数，此题所求为Y~b(5,p),pP(X2),P(Y5)0.66

22、(1) X ~ P(2)，(1)所求为P{X>3}=0.143

(2) 设须增加设备至x个方可满足需要。有：P{X≤x}≥0.9 x＝4

(3) 最可能数是1只到2只

23、设X表示任一时刻关机的电脑台数，所求是P{X>2}=0.609

任一时刻开机的电脑台数Y ~ B(12, 3/4)。

故最有可能同时开机台数是k=12×3/4＋3/4＝9

24、设X为同时使用的车床数，所求为P{7.5X>55}=0.000078

25、X表示电子管的寿命

pP(X1000)，Y表示5个电子管使用1000小时后损坏的个数，Y~b(5,p)

A表示电子设备正常工作P(A)P(A|Yk)P(Yk)0.201

k0526、(1) 0.3384 ,0.5952 (2) 129.74 27、(1)0.0228 (2) 81.1635

28、用右连续（1）a0,b1,c1,d1 （2）P(|X|ee)＝1ln2

2229、解：(1) 1LimF(x)1A1，0LimF(x)ABB1

xx01exx0

F(x) (2)

P(1X1)=F(1)F(1)1e

x00 概率论与数理统计 第43页（共57页） 0x02x30、FX(x)0x2,4x21x0x2

fX(x)2其他0111y2231、先求分布函数FY(y)P(X1y)，fY(y)y1

其他032、

Y

2 1

0 0.9 0.1

FY(y)0.912y222y1

2y13211

109812033、Ai“第i次取得次品”，用乘法公式求，P(X3)P(A1A2A3)

X

34、

X的分布律

－1 0 1 2

X

2/6 1/6 1/6 2/6

3 4 5 6 7 8 9 10

1/120 3/120 6/120 10/120 15/120 21/120 28/120 36/120

Y的分布律

0 2/4 3/4

Y

1/6 3/6 2/6

y001260y4

FY(y)

42y36441y3435、31.2,P(T210)0.055 36、P(Xa)0.05 答案：4098.7

概率论与数理统计 第44页（共57页） 237、2/5 38、fY(y)1y20y(0,1)y(0,1)

1eyy0y0y39、（1）fY(y)2y（2）fY(y)（3）fY(y)eye

y00y00

第三章 多维随机变量及其分布

一、填空题

1、F(1,1)F(1,1)F(1,1)F(1,1)0 2、9/13

ey0x1,y03、

f(x,y)

其他04、＋ab13211121,P(X2,Y1)1,(a)a,b

993399925、2X13X2X3~N(0,6),(1)(0)0.3413

6、P(X1)5521P(X0)1q2q，P(Y1)1－q4

993 7、1 8、1/3 9、5/7

12、1/4 13、N(0,1)

10、 11

ZmaxX,Y

0 1

ZminX,Y

0 1

1/4 3/4 3/4 1/4

二、选择题

1、③ 2、③ 3、③ 4、① 5、④ 6、③ 7、① 8、③ 9、②

三、计算题

1、（1）A112 (2)

P{(X,Y)D}Df(x,y)dxdydx011

dy2(1x2)(1y2)320x 概率论与数理统计 第45页（共57页） 2、X，Y的联合分布率为

X Y

－3

－2

－1

由(1)的结果，有：

(X，Y) (-3,1) (-3,2) (-3，3) (-2,1) (-2,2) (－2,3) (-1,1) (-1,2) (-1,3)

Z

U

P

Z

P

U

P

－5

－4

0.1

－4

－5

0.05

－3

－6

0.1

－3

－3

0.1

－2

－4

0.05

－1

－5

0.1

－1

－2

0.2

0

－3

0.1

1

－4

0.2

0

0.1

1

0.2

1

0.1

0.1

0.2

2

0.05

0.05

0.1

3

0.1

0.1

0.2

于是，Z＝2X＋Y和U＝X－Y的分布律分别为：

－5

0.1

－4

0.05

－3

0.2

－2

0.05

－1

0.3

－6

0.1

－5

0.15

－4

0.35

－3

0.2

－2

0.2

3、设等候对方的时间为随机变量Z(单位：小时)，则Z＝｜X－Y｜

于是所求概率P{Z15}f(x,y)dxdy ＝1/12

60D3224、4X4Y0,P(X2Y)x2yf(x,y)dxdy112dxdy

y0ij5、P(Xi,Yj)1

ij126、fZ(z)7、

11(z)(z)f(zy)dy

X22dF(x)11arctanx,fx(x)x2dx(1x2)Fx(x)LimF(x,y)yx

同理可得Y的分布

8、（1）F(x,y)：当x0或y0为0 当0x1,0y1为131xyx2y2

312 概率论与数理统计 第46页（共57页） 131211xx当x1,0y1为yy2 当x1，y1为0

3123121312（2）fX(x)＝xx当0x1 其他为0

31211fy(y)yy2 当0y1 其他为0

312当0x1,y1为（3）P(XY1)＝

9、用独立性P(Xi,Yj)P(Xi)P(Yj)得

Y 0 1 2

0.16 0.32 0.16

0.08 0.16 0.08

0.01 0.02 0.01

xy1f(x,y)dxdy7

72X

0

1

2

10、 (1) 由P(XY0)1有P(XY0)0再用边缘分布与联合分布的关系

Y 0 1

1/4 0

0 1/2

1/4 0

1/2 1/2

1/4

1/2

1/4

X

－1

0

1

(2)

X和Y不独立。

11、（1）先求边缘分布函数，得X和Y独立 （2）求P(X0.1,Y0.1)e0.1

0z01z12、fZ(z)(1e)0z2

2z21(e21)ez2 概率论与数理统计 第47页（共57页） 13、先求fY|X(y|11111)，再求P(Y|X)＝fY|X(y|)dy

48442182.4x2(2x)0x12.4y(34yy2)0y114、fX(x)

fY(y)

其他其他0015、（1）c＝21/4

75212x(1x4)1x1y20y1(2)

fX(x)8

fY(y)2

其他其他003232yx（3）fX|Y(x|y)2xy其他0y2yx2y1fY|X(y|x)1x4

其他02zz2z0216、先求分布函数，后求密度函数fZ(z)e

6z002zezz0[ezez]z017、：fZ(z) ，

：fZ(z)z0z000ezez()e()zz018、fZ(z)

z00()e()zz019、fZ(z)

z00x0ory00220x1,0y1xy220、F(x,y)x0x1,y1

y2x1,0y1x1,y11第四章 随机变量的数字特征

第五章 极限定理

概率论与数理统计 第48页（共57页） 一、填空题

1、a1,b 2、5

ab1a22a212,E(X)或3、

2,E(X)

ab13b23b0ab1843324、平均出现的次数10/6, 最可能出现点数3的次数为1

1x(2,4)5、f(x)2 ,

P(X2)0 6、n4，p0.4 7、20

x(2,4)08、P(Xk)qk1p,k1,2,3p0.05,E(X)1 9、3

p10、P(1120100X120)(2)0.9772E(X)1,D(X) 11、

i102i1n12、36422932 13、2

14、8/9 15、Aea,Ba 16、18.4

12二、选择题

1、 ① 2、② 3、② 4、③ 5、① 6、④ 7、② 8、① 9、① 10、④ 11、②

12、② 13、④ 14、③ 15、① 16、① 17、③

三、计算题

1、用XY~N(0,1)，令ZXY，E|Z|20u2eu22du2

4X1431547 2、V,E(V)xdx32810383、E(Z)EX31111111EY，D(Z)DXDY2Cov(X,Y)3

3239432Cov(X,Y)DXDYXY6,Cov(X,Z)E(XZ)EXEZ0，XZ0

4、X为100个索赔户中被盗索赔户数，X~b(100,0.2)所求P(14X30)，0.927

概率论与数理统计 第49页（共57页）