2023年7月18日发(作者：)

2021-2022学年山东省聊城外国语学校、慧德学校九年级第一学期月考数学试卷（12月份）

一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）

1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AC的长是（ ）

A．

B．3

C．

D．

2．关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）

A．0

B．1

C．﹣1

D．0或﹣1

3．如图，点P在△ABC的边AC上，下列条件中不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）

A．∠ABP＝∠C

B．∠APB＝∠ABC

C．＝

D．＝

4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（ ）

A．（x+2）2＝1

B．（x﹣2）2＝1

C．（x+2）2＝9

D．（x﹣2）2＝9

5．在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）

A．与x轴相交，与y轴相切

C．与x轴相切，与y轴相交

B．与x轴相离，与y轴相交

D．与x轴相切，与y轴相离

6．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）

A．3000x2＝5000

B．3000（1+x）2＝5000

C．3000（1+x%）2＝5000

D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000

7．E是BC延长线上的一点，如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝130°，则∠DCE的度数为（ ） A．45°

8．在函数y＝B．50°

C．65°

D．75°

中，自变量x的取值范围是（ ）

B．x≤2且x≠1

C．x≠1

D．x≤﹣2

A．x≥﹣2且x≠1

9．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（ ）

A．4

B．6

C．6

D．8

10．小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为16米，坡面上的影长为8米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）

A．12+2米

B．24米

C．8+4米

D．20米

11．下列叙述正确的有（ ）

①圆内接四边形对角相等；②圆的切线垂直于圆的半径；③正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；④过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；⑤边长为6的正三角形，其边心距为2A．1个

．

C．3个

D．4个

B．2个

12．甲、乙两名同学在一段2000m长的笔直公路上进行自行车比赛，开始时甲在起点，乙在甲的前方200m处，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8m/s，乙的速度是6m/s，先到达终点者在终点处等待．设甲、乙两人之间的距离是y（m），比赛时间是x（s），整个过程中y与x之间的函数关系的图象大致是（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）

13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、DC上的点，若CF＝4，且EF∥AD，AE：BE＝2：3，则CD的长等于

．

14．x2+2x﹣1＝0有实数根，

已知关于x的一元二次方程（k+1）则k的取值范围是

．15．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是

．

16．如图，平行四边形ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于F，△CDF的面积为20cm2，则△AEF的面积为

cm2．

17．如图，直线l：y＝﹣x，点A1坐标为（﹣3，0）．经过A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2021的坐标为

．

三、解答题（共8小题，满分69分）

18．（1）解方程3x2+2x﹣2＝0；

（2）解方程3x（x﹣1）＝x﹣1；

（3）计算2cos60°+4sin60°•tan30°﹣6cos245°．

19．如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？

20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，﹣1）．

（1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的相似比为1：2，画出△A1B1C1，并标出△A1B1C1外接圆的圆心P，直接写出P点的坐标．

（△ABC与△A1B1C1在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1）

（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C，并求出点B经过的路径长．（结果保留根号和π） 21．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．

（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．

（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．

22．1.8，0.5，农用温棚的上半部分如图所示，迎阳坡AD的坡度i＝1：背阳坡AC坡度i＝1：棚宽CD＝11.5米，要铅直竖立两根立柱AB、EF，其中BF＝AB．求AB、EF的长．

23．某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了

某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．

小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可售出240千克．

小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，每天销售200千克以上．

（1）求每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）该超市销售这种水果每天获取的利润达到1040元，那么销售单价为多少元？

24．如图，AE＝AF，以AE为直径作⊙O交EF点D，过点D作BC⊥AF，交AE的延长线于点B．

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．

25．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动时间为xs（0＜x＜2），解答下列问题：

（1）如图①，当x为何值时，△APQ与△ACB相似；

（2）如图②，连接PC，当x为何值时，PQ＝PC；

（3）是否存在某时刻x，使线段PQ恰好把Rt△ACB面积平分？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）

1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AC的长是（ ）

A．

B．3

C．

D．

【分析】先根据BC＝2，sinA＝求出AB的长度，再利用勾股定理即可求解．

解：∵sinA＝∴AB＝3．

∴AC＝故选：A．

2．关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）

A．0

B．1

C．﹣1

D．0或﹣1

＝＝．

＝，BC＝2，

【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+a＝0，解得a1＝0，a2＝﹣1，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．

解：把x＝0代入ax2﹣5x+a2+a＝0得a2+a＝0，解得a1＝0，a2＝﹣1，

而a≠0，

所以a＝﹣1．

故选：C．

3．如图，点P在△ABC的边AC上，下列条件中不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）

A．∠ABP＝∠C

B．∠APB＝∠ABC

C．＝

D．＝

【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．

解：A、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，

∴△ABP∽△ACB，故本选项错误； B、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，

∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；

C、∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB．

故故本选项错误．

D、正确．不能判定△ABP∽△ACB．

故选：D．

4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（ ）

A．（x+2）2＝1

B．（x﹣2）2＝1

C．（x+2）2＝9

D．（x﹣2）2＝9

＝，

【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．

解：移项得：x2﹣4x＝5，

配方得：x2﹣4x+22＝5+22，

（x﹣2）2＝9，

故选：D．

5．在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）

A．与x轴相交，与y轴相切

C．与x轴相切，与y轴相交

B．与x轴相离，与y轴相交

D．与x轴相切，与y轴相离

【分析】首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．

解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，

4＝4，3＜4，

∴圆与x轴相切，与y轴相交，

故选：C．

6．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）

A．3000x2＝5000

B．3000（1+x）2＝5000

C．3000（1+x%）2＝5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000

【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．

解：设教育经费的年平均增长率为x，

则2013的教育经费为：3000×（1+x）万元，

2014的教育经费为：3000×（1+x）2万元，

那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000．

故选：B．

7．E是BC延长线上的一点，如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝130°，则∠DCE的度数为（ ）

A．45°

B．50°

C．65°

D．75°

【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质得出∠DCE＝∠A，代入求出即可．

解：∵∠BOD＝130°，

∴∠A＝∠BOD＝65°，

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠DCE＝∠A＝65°，

故选：C．

8．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）

B．x≤2且x≠1

C．x≠1

D．x≤﹣2

A．x≥﹣2且x≠1

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，

解得x≥﹣2且x≠1．

故选：A．

9．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（ ） A．4

B．6

C．6

D．8

【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据含30°角的直角三角形的性质得出OC＝MO＝3，根据勾股定理求出AC，再根据垂径定理得出AB＝2AC，最后求出答案即可．

解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA＝90°，

∵MO＝6，∠OMA＝30°，

∴OC＝MO＝3，

在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC＝∵OC⊥AB，OC过O，

∴BC＝AC，

即AB＝2AC＝2×4＝8，

故选：D．

10．小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为16米，坡面上的影长为8米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）

＝＝4，

A．12+2米

B．24米

C．8+4米

D．20米 【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．

解：延长AC交BF延长线于D点，

则∠CFE＝30°，作CE⊥BD于E，

在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝8m，

∴CE＝4（米），EF＝8cos30°＝4在Rt△CED中，

CE＝4∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，（米），CE：DE＝1：2，

∴DE＝8（米），

∴BD＝BF+EF+ED＝16+4+8＝24+4（米）

）＝（12+2）（米），

（米），

在Rt△ABD中，AB＝BD＝（24+4故选：A．

11．下列叙述正确的有（ ）

①圆内接四边形对角相等；②圆的切线垂直于圆的半径；③正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；④过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；⑤边长为6的正三角形，其边心距为2A．1个

．

C．3个

D．4个

B．2个

【分析】利用圆内接四边形的性质、圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项个数．

解：①圆内接四边形对角互补，故①不符合题意；

②圆的切线垂直于过切点的半径，故②不符合题意；

③正n多边形中心角的度数等于度数等于，故③符合题意；

，这个正多边形的外角和为360°，一个外角的④过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，正确，故④符合题意；

⑤如图，△ABC为正三角形，点O为其中心； OD⊥BC于点D；连接OB、OC；

∵OA＝OC，∠BOC＝×360°＝120°，

∴BD＝BC＝3，∠BOD＝∴tan∠BOD＝∴OD＝×6×，

＝，

，故⑤不符合题意，

120°＝60°，

即边长为6的正三角形的边心距为故选：B．

12．甲、乙两名同学在一段2000m长的笔直公路上进行自行车比赛，开始时甲在起点，乙在甲的前方200m处，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8m/s，乙的速度是6m/s，先到达终点者在终点处等待．设甲、乙两人之间的距离是y（m），比赛时间是x（s），整个过程中y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】先算出甲到达终点的时间，由此算出二者之间的最大距离，再算出乙到达终点的时间，由此找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式，根据函数解析式分析四个选项即可得出结论．

解：当甲跑到终点时所用的时间为：2000÷8＝250（秒），

此时甲乙间的距离为：2000﹣200﹣6×250＝300（米），

乙到达终点时所用的时间为：（2000﹣200）÷6＝300（秒），

∴最高点坐标为（250，300）． 当0≤x≤100时，设y关于x的函数解析式为y＝k1x+b1，

有，

解得：，

此时y＝﹣2x+200；

当100＜x≤250时，设y关于x的函数解析式为y＝k2x+b2，

有，

解得：，

此时y＝2x﹣200；

当250＜x≤300时，设y关于x的函数解析式为y＝k3x+b3，

有，

解得：，

此时y＝﹣6x+1800．

∴整个过程中y与之间的函数图象是C．

故选：C．

二、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）

13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、DC上的点，若CF＝4，且EF∥AD，AE：BE＝2：3，则CD的长等于 ．

【分析】由在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，可得AD∥EF∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，证得 ，继而求得答案．

解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，

∴AD∥EF∥BC，

∴∴＝

＝，

∵CF＝4，

∴DC＝4故答案为：＝．

．

14．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是

k≥﹣2且k≠﹣1 ．

【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k+1≠0且Δ＝22﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

解：根据题意得k+1≠0且Δ＝22﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，

解得k≥﹣2且k≠﹣1．

故答案为：k≥﹣2且k≠﹣1．

15．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是

6π ．

【分析】根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．

解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，

则阴影部分的面积是：故答案为：6π．

＝6π， 16．如图，平行四边形ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于F，△CDF的面积为20cm2，则△AEF的面积为

cm2．

【分析】由DC∥AB可知，△AEF∽△CDF，再运用相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方即可解决问题．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，DC＝AB，

∴△AEF∽△CDF．

∵AE：EB＝2：3，

设AE＝2a，则BE＝3a，DC＝5a；

∵△AEF∽△CDF，

∴＝（）2，而＝＝，

∵△CDF的面积为20cm2，

∴△AEF的面积为故答案为：．

cm2．

17．如图，直线l：y＝﹣x，点A1坐标为（﹣3，0）．经过A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2021的坐标为 （﹣，0） ．

【分析】先根据一次函数解析式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出OA2的长，用同样的方法得出OA3，OA4的长，以此类推，总结规律便可求出点A2021的坐标．

解：∵点A1坐标为（﹣3，0），

∴OA1＝3，

在y＝﹣x中，当x＝﹣3时，y＝4，即B1点的坐标为（﹣3，4），

∴由勾股定理可得OB1＝同理可得，

OB2＝OB3＝，即OA3＝，即OA4＝＝5×（）1，

＝5×（）2，

＝5，即OA2＝5＝3×，

以此类推，

OAn＝5×（）n﹣2＝，

即点An坐标为（﹣，0），

当n＝2021时，点A2021坐标为（﹣，0）．

故答案为：（﹣，0）．

三、解答题（共8小题，满分69分）

18．（1）解方程3x2+2x﹣2＝0；

（2）解方程3x（x﹣1）＝x﹣1；

（3）计算2cos60°+4sin60°•tan30°﹣6cos245°．

【分析】（1）利用公式法求解即可；

（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；

（3）代入三角函数值，再计算乘法和乘方，继而计算加减即可．

解：（1）∵a＝3，b＝2，c＝﹣2，

∴Δ＝22﹣4×3×（﹣2）＝28＞0，

则x＝＝＝，

∴x1＝，x2＝；

（2）∵3x（x﹣1）＝x﹣1，

∴3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，

则（x﹣1）（3x﹣1）＝0，

∴x﹣1＝0或3x﹣1＝0，

解得x1＝1，x2＝；

（3）原式＝2×+4×＝1+2﹣6×

＝1+2﹣3

＝0．

19．如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？

×﹣6×（）2

【分析】设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．

解：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，

根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）＝288，

解得：x1＝﹣10（不合题意，舍去），x2＝14， 所以x＝14，2x＝2×14＝28．

答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．

20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，﹣1）．

（1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的相似比为1：2，画出△A1B1C1，并标出△A1B1C1外接圆的圆心P，直接写出P点的坐标．

（△ABC与△A1B1C1在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1）

（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C，并求出点B经过的路径长．（结果保留根号和π）

【分析】（1）根据位似变换的定义得出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；

（2）将点A、B分别绕点C逆时针旋转90°后得到其对应点，再首尾顺次连接，继而利用弧长公式求解即可．

解：（1）如图，△A1B1C1和点P即为所求；点P的坐标为（3，1）， （2）如图，△A2B2C即为所求，

由题BC＝点B的路径＝，

．

21．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．

（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．

（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．

【分析】（1）根据矩形的性质和DF⊥AE，可得∠ABE＝∠AFD＝90°，∠AEB＝∠DAF，即可证明△ABE∽△DFA．

（2）利用△ABE∽△ADF，得数值代入即可求出DF的长．

解：（1）△ABE与△ADF相似．理由如下：

∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，

∴∠ABE＝∠AFD＝90°，

∠AEB＝∠DAF，

∴△ABE∽△DFA．

＝，再利用勾股定理，求出AE的长，然后将已知 （2）∵△ABE∽△ADF

∴＝，

∵在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝8，

∴AE＝10

∴DF＝＝＝7.2．

答：DF的长为7.2．

22．1.8，0.5，农用温棚的上半部分如图所示，迎阳坡AD的坡度i＝1：背阳坡AC坡度i＝1：棚宽CD＝11.5米，要铅直竖立两根立柱AB、EF，其中BF＝AB．求AB、EF的长．

【分析】设AB＝x米，根据坡度的概念用x表示出BD、BC，求出x，根据坡度的概念计算，得到答案．

解：设AB＝x米，

∵迎阳坡AD的坡度i＝1：1.8，

∴BD＝1.8x米，

∵背阳坡AC坡度i＝1：0.5，

∴CB＝0.5x米，

∵CD＝11.5米，

∴0.5x+1.8x＝11.5，

解得：x＝5，即AB＝5米，

∵BF＝AB，

∴BF＝5米， ∴DF＝4米，

∵迎阳坡AD的坡度i＝1：1.8，

∴＝，即米．

米．

＝，

解得：EF＝综上所述：AB＝5米，EF＝23．某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了

某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．

小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可售出240千克．

小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，每天销售200千克以上．

（1）求每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）该超市销售这种水果每天获取的利润达到1040元，那么销售单价为多少元？

【分析】（1）由于y是x的一次函数，则可利用待定系数法求解析式，设y＝kx+b，把x＝10，y＝300；x＝13，y＝240代入即可得到y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；

（2）根据每天获取的利润＝每千克的利润×每天的销售量得到方程，然后解方程即可．解：（1）设y＝kx+b，

∵x＝10，y＝300；x＝13，y＝240，

∴，解得，

∴y＝﹣20x+500；

（2）（x﹣8）（﹣20x+500）＝1040，

整理，得x2﹣33x+252＝0，

解得x1＝12，x2＝21．

当x＝12时，销售量为﹣20×12+500＝260＞200，符合题意；

当x＝21时，销售量为﹣20×21+500＝80＜200，不符合题意，舍去，

所以x＝12． 即该超市销售这种水果每天获取的利润达到1040元，那么销售单价为12元．

24．如图，AE＝AF，以AE为直径作⊙O交EF点D，过点D作BC⊥AF，交AE的延长线于点B．

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．

【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，∠OED＝∠F，求得∠ODE＝∠F，根据平行线的判定得到OD∥AC，根据平行线的性质得到∠ODB＝∠ACB，推出OD⊥BC，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）根据平行线分线段成比例定理得到解：（1）BC与⊙O相切，

理由：连接OD，

∵OE＝OD，

∴∠OED＝∠ODE，

∵AE＝AF，

∴∠OED＝∠F，

∴∠ODE＝∠F，

∴OD∥AC，

∴∠ODB＝∠ACB，

∵DC⊥AF，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ODB＝90°，

∴OD⊥BC，

∵OD是⊙O的半径，

∴BC与⊙O相切；

，于是得到结论． （2）∵OD∥AC，

∴，

∵AE＝5，AC＝4，

即∴BE＝．

，

25．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动时间为xs（0＜x＜2），解答下列问题：

（1）如图①，当x为何值时，△APQ与△ACB相似；

（2）如图②，连接PC，当x为何值时，PQ＝PC；

（3）是否存在某时刻x，使线段PQ恰好把Rt△ACB面积平分？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

BP＝x，AQ＝2x，【分析】（1）由题意知：则AP＝5﹣x，当△APQ∽△ABC时，得当△APQ∽△ACB时，得，分别代入计算即可；

，（2）过点P作PM⊥AC于H，则AM＝2x+2﹣x＝x+2，由PM∥BC，得计算即可；

，代入（3）若存在，则此时S△AQP＝3（cm2），过点P作PH⊥AC于H，由PH∥BC，得表示出PH的长，从而列出方程．

【解答】解（1）在Rt△ABC中，AB＝由题意知：BP＝x，AQ＝2x，则AP＝5﹣x，

∵△APQ与△ACB相似，

①当△APQ∽△ABC时，

∴∴解得：x＝，

，

；

＝5，

，②当△APQ∽△ACB时，

∴∴解得：x＝故当x＝，

，

．

或秒时，△APQ与△ACB相似；

（2）如图，过点P作PM⊥AC于H，

∴∠AMP＝90°，

∵AQ＝2x，

∴CQ＝4﹣2x，

∵PQ＝PC PM⊥AC，

∴QM＝CM＝CQ＝2﹣x，

∴AM＝2x+2﹣x＝x+2， ∵∠C＝90°，

∴∠AMP＝∠C，

∴PM∥BC，

∴∴解得，

，

；

（3）存在某时刻x，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，理由为：

假设存在某时刻x，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，

有S△AQP＝S△ABC，

∵S△ABC＝AC•BC＝6（cm2），

∴此时S△AQP＝3（cm2），

过点P作PH⊥AC于H，

∵∠C＝90°，

∴AC⊥BC，

∴PH∥BC，

∴∴，

，

∴PH＝3﹣x，

∴△AQP的面积为×AQ×PH＝×2x（3﹣x）＝﹣x2+3x，

即﹣x2+3x＝3，

化简得：x2﹣5x+5＝0，

∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×5＝5， ∴x＝∵0＜x＜2，

∴x＝则存在x＝

，

，

，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．