2023年7月9日发(作者：)

世纪的数学展望

丘成桐

时空统一颂

时乎时乎 逝何如此

物乎物乎 繁何如斯

弱水三千 岂非同源

时空一体 心物互存

时兮时今 时不再屿

天兮天兮 天何多容

亘古恒迁 黑洞融融

时空一体 其无尽耶

大哉大哉 宇宙之谜

美哉美哉 真理之源

时空量化 智者无何

管测大块 学也洋洋

在新世纪开始，全世界科学家对这个新时代的来临，有着无比的兴奋，期待着人类有

史以来最新的发现。数学是所有推理学问的基础，我希望在这个演讲里能够指出今后数学

发展的一些线索。

由希腊数学家发展欧氏几何的公理系统开始，人类对严谨的三段论证方法才有实体的

认识，影响所及，凡是需要推理的学问都与数学有关，推理的学问可分物理科学、工程科

学和社会科学。

数学和工程科学乃是社会科学的基础，理论物理乃是工程科学的基础，数学乃是理论

物理的基础。

人类科技愈进步愈能发现新现象，种种繁复现象使人极度迷惘（例如：湍流问题、黑

洞问题）。但是主宰所有现象变化的只是几个小数的基本定律。标准模型统一了三个基本

场：电磁场、弱力、强力，但是重力场和这三个场还未统一。

重力场由广义相对论描述，是狭义相对论和牛顿力学的统一理论而形成的，这是爱因

斯坦最富有想象力的伟大创作。爱因斯坦方程是

Rij－(R/2)gij＝Tij

其中gij是测度张量（引力场）；Tij是物质张量；Rij是里奇曲率张量。

弦理论企图统一重力场和其他所有场。在21世纪，基本数学会遇到同样的挑战：基本

数学的大统一，只有在各门分支大统一时，所有分支才会放出灿烂的火花，每一门学问才

会得到本质上的了解。

数学的大统一将会比物理的大统一来得基本，也将由统一场论孕育而出。近代弦论的

发展已经成功地将微分几何、代数几何、群表示理论、数论、拓扑学相当重要的部分统一

起来。数学已经由此得到丰富的果实。大自然提供了极为重要的数学模型，以上很多模型 都是从物理直觉或从实验观察出来的，但是数学家却可以用自己的想象，在观察的基础上

创造新的结构。

成功的新的数学结构往往是几代数学家共同努力得出的成果，也往往是数学中几个不

同分支合并出来的火花。

几何和数字（尤其是整数）可说是数学里最直观的对象，因此在大统一中起着最要紧

的作用。20世纪的数论学家通过代数几何的方法已经将整数方程的一部分与几何结合，群

表示理论亦逐渐与数论和几何学结合。每次进步都有结构性的变化，例如算术几何的产生

。

在这20年间，拓扑学和几何已经融合。三维空间和四维空间的研究非懂几何不可。瑟

斯顿（Thurston）的猜测，是在三维空间上引用几何结构，这些创作新结构的理论有划时

代的重要性，正等如19世纪引用黎曼曲面的概念一样重要。

分析和几何亦逐渐融合，到目前为止，微分方程在复几何和拓扑学上有杰出的贡献。

通过分析方法，陈氏类、霍奇理论、阿蒂亚一辛格指标定理和我们在复流形上构造的凯勒

-爱因斯坦度量，在代数几何中解决了重要的问题。最近哈密顿（Hamilton）的里奇流（R

icci flow）可能解决瑟斯顿的猜想。

在四维空间上，唐纳森（Donaldson）利用陶布斯（Taubes）、乌伦贝克（Uhlenbeck

）的规范场上的存在性定理得到四维拓扑的突破。上述工作和唐纳森-乌伦贝克-丘在杨-米

尔斯的工作都与弦理论息息相关。事实上弦理论提供了极为重要的讯息，使得古典的代数

几何得到新的突破。我们期望弦理论、代数几何、几何分析将会对四维拓扑有更深入的了

解。

在 21世纪的数学里，三维的双曲空间会变得如黎曼曲面一样重要，数学会进人一个尽

情享受低维空间特殊性质的局面，在代数几何上，二维、三维和四维流形将会有更彻底的

理解。我们希望霍奇猜测会得到圆满的解决，从而得知一个拓扑子流形什么时候可以由代

数子流形来表示。同样的问题也适用于向量丛上。由弦理论得到的启示，有些特殊的子流

形或可代替代数流形。

现在举一个理论物理、数学和应用科学上的共同而重要的问题：基本物理上的分级（

hierarchy）问题，是一个能标（scale）的问题。引力场和其他力场的能标相差极远，如

何统一，如何解释？在古典物理、微分方程、微分几何和各类分析中亦有不同能标如何融

合的问题。在统计物理和高能物理中，用到所谓重正化群（renormalization group）的方

法，是非稳定系统的一个重要工具。

如何用基本的方法去处理不同能标是应用数学中一个重要问题。纯数学将会是处理不

同度量的主要工具。而事实上，纯数学本身亦有不同度量的问题。

在微分方程或微分几何遇到奇异点或在研究渐近分析时，炸开（blowing up）分析是

一个很重要的工具，而这种炸开的工具亦是代数几何中最有效的工具。

在非线性微分方程中，我们需要更进一步地做定性和定量的分析来研究由炸开得出来

的结果，因此对不同能标的量得到进一步的认识。

微分几何的张量分析（曲率张量）在多重尺度（multiscale）分析中应该会有重要的

应用，因为即使在同一点上，有不同方向的变化，而此种变化亦应当受到能标的影响。

当一个图（graph）逼近一个几何图形或微分方程的解时，多重尺度分析极为重要，如

何解决这些问题无论在纯数学和应用数学都是重要的问题，我希望研究离散数学的学者亦

注意到这一点。

近代弦论发现有不同的量子场论可以互相同构（isomorphic）然而能标刚好相反

（R←→l/R）

因此一个强耦合常数（coupling constant）的理论可以同另一个弱耦合常数的理论同

构，而后者可以从渐近分析理论来计算。

由于R←→l/R这种奇妙的对称可以保持量子场论的结构，使得我们可以用扰动性（pe

rturbation analysis）的方法去计算非扰动的场论，在数学上得到惊人的结果。

更要注意到的一点是时空的结构可能因此有基本上的观念的改变能标。极小的空间不

再有意义。时空的量子化描述需要更进一步的探讨。物理学家和几何学家都希望能够找寻

一个几何结构来描述这个量子化的空间。有不少学者建议用矩阵模式来解释这种现象，虽

然未能达到目标但已得到美妙的数学现象。

约在200年前，高斯发现高斯曲率的观念而理解到内蕴几何时，就感叹空间的观念与时

而变，和人类对大自然的了解有密切的关系。

这20年来，超对称的观念深深地影响着基本物理和数学的发展，在实验上虽然尚未发

现超对称，但在数学上却起着凝聚各门分支的能力，我们宁可相信在极高的能量时，超对

称确实存在，但如何看待超对称在现实时空中的残余，应当会是现代应用物理和应用数学

的一个重要命题。

举例来说，在超对称的结构中，规范场和电磁场会与完全不相关的子流形理论同构，

是否意味着这种日常能见的场论可以用不同的手法来处理？

种种不同的现象显示，弦论、几何、群表示理论逐渐会与算术几何接近。在所谓阿拉

克洛夫（Arakelov）理论中，除了在复数上定义的代数空间外，还需要考虑特征为p的代数

空间，才能够对算术空间有完满的了解，是否表示它们能够帮助我们了解现实世界的问题

？由镜对称的观点来看，数论上的L函数和伯奇-斯温纳顿-戴尔猜测有没有其他解释？

数学中有所谓的对偶（duality）的现象，比如有如下关系：

迹公式→自守形式（automorphic form）→群表示理论，数论

这个环面（torus）的对偶正是弦理论对偶的基础，现代数论的一个最重要的环节叫朗

兰兹理论，也有对偶的问题，与代数几何和表示理论有密切的关系。希望能够与这一系列

的想法也挂钩。

另一个重要的概念是对称（symmetry）。群的观念在自然界中普遍存在，小群（如镜

对称，雪花的对称）、连续群（又称李群，物理上用途）、非紧离散群（在数论和几何上

的用途）以及无限维对称（规范场中的规范群）。种种不同对称的观念在20世纪后半期的

理论科学有基本贡献。

对偶比对称更广义，不同理论的基本同构将是21世纪的一个重要命题。

对称的观念可说是基本科学中最基本的工具，但是“运用之妙，存乎一心”，在于作

者的经验和直觉。

21世纪基本科学的基本命题：如何将对称的物理基本现象与非对称的世界联合？对称

破缺（symmetry breakins），众生色相，何由而生？

基本的物理定律是时间对称（time symmetric）的，为何我们担忧时光消逝？因为直

观世界是时间对称的。由时间对称的定律来解释直观世界是现代数学和物理的一个重要问

题。

热力学第二基本定律说，随机性（randomness）随时间而增，熵随时间而增。

这是一个奇妙的定理，到如今还未得到彻底了解。

时间的箭头在广义相对论中是一个重要的题目。彭罗斯（R．Penrose）和霍金（S．H

awking）都花了很多时间讨论。这是因为爱因斯坦方程对时间来说是对称的，然而在现实

世界，时间是不对称的。

熵的研究在现代物理和现代数学都起了极重要的作用。湍流的问题，将是其中一个例

子。

流体力学中的奇异点和边界层（boundary layer）都需要大量的理论投入，需不需要

引力场方程来帮忙解释？在某种意义下，基本的方程式或基本的物理现象用数学形式表达

出来时，是用等式来表达。但往往在彻底研究这种等式以前，不等式会产生，同时起着无

比的重要性。

波浪的重叠，最后产生的可以是极为光滑的波。如何控制这种现象要依靠好的不等式

。也是一切分析和应用数学的精华。

叠加性质（superposition）是线性方程的特征，在研究非线性可积方程时，也有非线

性的叠加。一般而言，有没有办法由少数的解来产生新的解是一个重要的问题。非线性现

象是21世纪的研究对象。

由稳态（stationary）的物理现象到动态（dynamical）的物理现象，会遇到极为困扰

而又刺激的数学问题。在方程的观点来说，椭圆方程过渡到抛物型，到双曲型到混合型的

方程组，有极度困难的奇异点处理问题，在物理上有震波的处理问题，既要研究估值，又

要研究物理意义，又希望大型计算机能够帮忙。

高维空间的非线性波和各种物理几何的关系将会影响这几十年的应用数学，其中有孤

立子的现象，有震波现象，多种粒子在非线性的互动时得出的宏观现象，方程带有随机变

量时的处理将会是应用数学的重要题目。

很多古典的方法或近代物理的方法应当可以应用到离散问题上去。大型的网络极为复

杂，如何有效地传播讯息，如何寻找资料，提供了数学极有意义的问题。

图像处理和计算几何更是一个计算机、几何、组合数学结合的好地方，在医学上有重

要的贡献，自动控制论和上述种种应用都会结合，要得到最有效的用途需要数学家密切合

作。

当微分方程、几何和组合数学真正大统一时，应用数学会有大进步。

有宏大胸襟的数学家会在前进途径上创造新的结构来因应这个统一的使命，来了解不

同的数学分支。

单靠程序和计算的数学即使有短暂的生长力量，不会有深远的影响。

如何解释由计算得出来的现象，如何与物理和工程的现象相吻合，如何利用计算结果

作有意义的预测，乃是计算数学的目标。因此理想的应用数学家，应该有数学家的根基，

有物理学家和工程学家的眼光和触角。

由于应用科学的产生，所有连续性的数学理论或存在性定理，都有定量的逼近问题，

因此产生很多有意义的新的数学。

物理、生物、化学、工程将会提供大量有意义的问题和新的观念。好的应用数学家需

要融合各种的科学，经费不是唯一的问题！

1970年代，应用数学家坚持分家，这是由于聘请教授的观点不同和经费收入不同所致

的毛病。分家的结果是：

数学家比较注重纯科学的命题，尤其理论物理提供了丰富的题材和方法，给予数学新

的生命，虽然搞分析数学和组合数学的教授也接触应用数学，但是接触并非全面性的，用

时往往缺乏应用能力，相反交流也不多。在20世纪四五十年代培养出来的应用数学家大都

是一流的数学家，著名的有冯·诺伊曼、林家翘、库朗、弗德里希（Federich）、斯托克

（Stoker）、格利姆（Glimm）、拉克斯（Lax）、凯勒（Keller）、莫泽（Moser）。主要

发展应用数学的美国著名研究所为库朗研究所、MIT、加州理工学院、斯坦福、伯克利、耶

鲁。

应用数学家则极力提倡应用，认为很多传统的数学训练是不必要的。在工业（尤其是

计算机工业）和金融企业的引诱下，急进猛追，结果优秀的学生舍本逐利，年轻的应用数

学队伍很难建立起来。