2023年7月9日发(作者：)

【物理前沿】⿊洞中隐藏的5个公式引⼦北京时间4⽉10⽇21时，⼈类历史上⾸张⿊洞照⽚正式披露。⿊洞，这个神秘莫测，看不见摸不着，能吞噬⼀切物质，甚⾄连光都不放过的宇宙怪兽，第⼀次不再活在科幻⼤⽚的虚拟设想中，真正与我们见⾯。成功拍下的⿊洞照⽚的事件视界望远镜，据科学家声称，对深空天体的观察能⼒，相当于在纽约能数清洛杉矶的⼀个⾼尔夫球表⾯的凹痕。对于物理学家来说，可能他们需要照⽚来证实⾃⼰的理论。但对于数学家来讲，他们⽆需任何照⽚，这100多年来，他们通过对公式的演算就能推导出⿊洞的各种性质。这5个与⿊洞相关的数学公式，才是破解⿊洞真相的密钥。01爱因斯坦“引⼒场⽅程”发现⿊洞？很少有⼈⽐发现⿊洞存在的这个⼈更讨厌⿊洞：他就是爱因斯坦。1915年，爱因斯坦发表了⼴义相对论，提出了著名的“引⼒场⽅程”。本来希望⼤家⽤这个⽅程能认真理解物质是如何引起时空弯曲的——就像⼀个铅球放在弹簧垫上，就会引起弹簧垫表⾯会向下凹陷。但没想到这个弹簧垫上⼀个⽉后直接破了个洞，史⽡西在场⽅程中找到了第⼀个⾮平坦时空的准确解时，意外地发现了⼀个密度⾜够⼤的物体，它最终将在时空中形成⼀个被称作奇点的“⽆底洞”，即⿊洞就是场⽅程的⼀个解。我们来看下场⽅程，⾥奇曲率张量减去⼆分之⼀的度量张量与⾥奇标量的乘积，与能量-动量-应⼒张量成正⽐。也就是说，如果已知⼀个恒星、⼀个⿊洞甚⾄⼀个宇宙，可以算出物质能量浓度周围的曲率。按照⼴义相对论，物质决定时空如何弯曲，⽽光和物质的运动将由弯曲时空的曲率决定，当曲率⼤到⼀定程度时，光线就⽆法跑出去了，⿊洞的概念也就由此⽽⽣。那⿊洞究竟长什么样⼦？如果⼀切都如⼴义相对论的预期，那么我们看到的⿊洞图像将会是：⼀个圆形“剪影”被⼀圈明亮的光⼦圆环所围绕。观测⿊洞的剪影⾮常重要，因为它的形状和⼤⼩是由爱因斯坦的⼴义相对论所决定的。科学家⼀直很渴望在⿊洞这样极端的引⼒环境中，检验⼴义相对论的有效性。0202史⽡西半径公式⿊洞的⼤⼩？史⽡西，不仅是使⽤⼴义相对论⽅程证明⿊洞的确能够形成的第⼀⼈，更是⾸次发现了史⽡西半径存在的⼈。爱因斯坦使⽤传统的直⾓坐标系去破解⾃⼰的场⽅程，最终得到了⼀个近似解。这让向来具有强迫症的史⽡西实在看不下去，于是，他另辟蹊径地引⼊了⼀个类似于极坐标系的坐标系，使得场⽅程变得更优雅明确，并导出了场⽅程的第⼀个精确解。这个解给出了⼀个静态球对称⿊洞（即史⽡西⿊洞）的描述，并定义了任何具有质量的物质都存在的⼀个临界半径特征值，即“史⽡西半径”。式中，Rs为天体的“史⽡西半径”，G为万有引⼒常数，M为天体的质量，c为光速。这个半径，也是⿊洞的视界半径，即⿊洞的重⼒场捕捉光使其不能逃逸的范围。通过公式，我们可以计算出⼀个物体想要变成⿊洞，其半径要缩⼩到多少才⾏，太阳需要缩⼩成3千⽶才有机会变成⿊洞，⽽地球的史⽡西半径只有约9毫⽶。史⽡西为⿊洞确⽴了⼀个“视界”。这个视界是光⼦的牢笼，光⼦只能被禁闭在“视界”之内，“视界”之外的空间仍然是平直的欧⼏⾥德空间，光⼦仍然遵守地球空间中的⼀切物理定律。在它的中⼼，所有的物质都被⽆限压缩，时空被⽆限弯曲，“⼀切科学预见都失去了效果”。没有时间，也没有空间。它就像宇宙中的⽆底洞，任何物质⼀旦掉进了这个“引⼒陷阱”，基本就再也逃不出来了。03⿊洞熵公式⿊洞有“⽑”吗？这个公式让我们了解⿊洞本⾝的性质。如果往⿊洞⾥倒⼀杯热茶会怎样？20世纪70年代，作为“熵+定律”的忠实粉丝，惠勒向“经典⿊洞”提出了质疑。热茶既有热量⼜有熵，但⼀切物质被⿊洞吞下后就不见了，造成总体的“熵值”似乎不是增加⽽是减少了，这不是有悖“熵+定律”吗？⼴义相对论所预⾔的“经典⿊洞”，奉⾏的是“⿊洞⽆⽑定理”，也被戏称为“⿊洞三⽑定理”。所谓三⽑，指的是⽆论什么样天体，⼀旦塌缩成为⿊洞，就剩下电荷Q、质量M和⾓动量L三个最基本的性质。天体的形状、⼤⼩、磁场分布、物质构成的种类等等，都在引⼒塌缩的过程中丢失了。对⿊洞视界之外的观察者⽽⾔，只能看到M、L、Q这三根⽑。那熵，这个代表微观信息不确定度的物理量在哪？1972年霍⾦证明的“⿊洞视界的表⾯积永远不会减少”给了贝肯斯坦极⼤的启迪。借助于史⽡西半径为⿊洞确⽴的“视界”，1972年，贝肯斯坦发表了⼀篇霸⽓论⽂《⿊洞和熵》，提出⿊洞的熵就是它的表⾯积除以普朗克常数平⽅再乘以⼀个⽆量纲数。或者说，越⼤的⿊洞熵越多，熵和表⾯积完全成正⽐。贝肯斯坦的⿊洞熵概念使得“熵增加原理”对⿊洞仍然成⽴。⽐如说，当你扔进⿊洞⼀些物质，就像惠勒所说的⼀杯茶，之后，⿊洞获得了质量。⽽⿊洞的⾯积是和质量成正⽐的，质量增加使得⾯积增加，因⽽熵也增加了。⿊洞熵的增加，抵消了被扔进去的茶⽔的熵的丢失。04⿊洞温度公式⿊洞温度有多⾼？传统上认为，⿊洞有进⽆出，任何东西都不能从⿊洞的视界之内逃逸出来。当贝肯斯坦提出⿊洞熵概念后，所有⼈都觉得：这个⼈⼀定是疯了！当年的专家们都确信“⿊洞⽆⽑”，可以被三个简单的参数所唯⼀确定，那么，⿊洞与代表随机不确定性的“熵”应该扯不上任何关系！霍⾦⼀开始也表⽰不相信：如果⿊洞具有熵，那它也应该具有温度，要有温度就⼀定要向外发出热辐射，这怎么可能？然⽽与贝肯斯坦战⽃、进⾏了⼀系列的计算后，霍⾦发现原来“⿊洞不⿊”！承认了贝肯斯坦“表⾯积即熵”的观念，霍⾦在此基础之上提出了著名的“霍⾦辐射”：原本经典理论上“⼀⽑不拔”的⿊洞在⿊洞量⼦⼒学中也可以通过⼀定的机制发射⿊体辐射！根据熟知的热⼒学公式，温度可以看作是使得系统的熵增加1⽐特所需要的能量。因此，从⿊洞熵的表达式，可得史⽡西⿊洞的温度：C表⽰光速，h是普朗克常数，G是⽜顿引⼒常数，π是圆周率，⽽k是玻尔兹曼常数。这个公式表明，⼀个⿊洞犹如⼀个具有温度的热体⼀样发射辐射，其温度只与它的质量有关。⿊洞的质量越⼩，其温度就越⾼。通过这个⿊洞公式，热⼒学，⼒学和量⼦⼒学被结合在了⼀起，这也成了霍⾦的成名之作。05⿊洞⾏为拉马努⾦公式1919年，印度的贡伯⼽讷姆。拉马努⾦躺在病床上，他的⼥神在梦⾥给了他最后⼀个公式——模θ函数。这个公式令同时代所有的数学⼤师都不解，没有⼈能看懂它描述的啥。2012年，这个神秘的公式终于被破解，科学家发现它有助于研究⿊洞⾏为。然⽽在100年前，还没有⼀个⼈知道⿊洞是什么！⼀个世纪后的拉马努⾦，⼜⽤他⾃学成才的数学天赋再⼀次征服了宇宙。这个征服宇宙的神秘函数，本质上是模形式。拉马努⾦猜测，在输⼊特殊值时，也许能这样描述模θ函数：它和模形式毫不相像，但特性类似，这种特殊值称为奇点，靠近这些点时，函数值趋向⽆穷⼤。如函数f（x）=1/x，它有⼀个奇点x=0。随着x⽆限接近0，函数值f（x）渐增⾄⽆穷⼤。这位对数学有着野兽般直觉的天才相信，对于每⼀个这样的函数，存在⼀个模θ函数使得它们不仅奇点相同，奇点的函数值也以⼏乎同样的速率趋近于⽆穷。⽽⿊洞的中⼼其实就是⼀个奇点。在这个奇点上，史⽡西半径⼏乎为0，时空曲率和物质密度都趋于⽆穷⼤，时空流形达到尽头，引⼒弯曲成了⼀个“陷阱”，成了⼀个⽆限吞灭物质的⽆底洞。从奇点到奇点，冥冥之中，这似乎喻⽰着模θ函数与⿊洞之间早就写下了⼀场缘分。这位⼀⽣坚信着“娜玛卡⼥神在梦中⽤公式向他启⽰”、写下3900个公式的数学⼤师，在⽣命弥留之际，⼀定也曾点亮⼀盏油灯，虔诚着向⼥神祈求灵感。在那⼀刻，他⼀定是看到了奇点、最接近⽆限的⼈。结语数学家眼中的⿊洞在数学家的眼中，宇宙是可以计算的：如果知道⽀配宇宙系统的基本定律，并且知道它的初始状态，就应该能据此⽆限地推演它的发展直到未来。⽆论⽤⽜顿定律来预测台球的未来位置，还是麦克斯韦⽅程描述电磁场，或者是爱因斯坦的⼴义相对论来预测时空形状的演变，这些原理都是成⽴的。作为⼀个普通⼈，我们⽤五官去感知宇宙，所以这张照⽚对我们来说⾮常重要。⽽对于⼀个数学家来说，他们更在乎的是公式是否严谨，只有公式严谨，这样推导出来的⿊洞才是正确的。这让我们想起爱因斯坦的⼀段往事：当年全世界在为光线弯曲的实验震憾时，唯有爱因斯坦⾮常平静，因为他坚信⼴义相对论的数学底层是坚实的，⽆需实验来证明，⼀切都在意料之中。ID：huanqiuwuli