2023年7月18日发(作者：)

初中数学人教版八年级上册实用资料

三角形全等之动点问题（讲义）

➢ 课前预习

已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请解答下列问题：

APQB

（1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）；

（2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______．

➢ 知识点睛

由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．

动点问题的解决方法：

1. 研究_____________；

2. 分析_____________，分段；

3. 表达_____________，建等式．

➢ 精讲精练

1. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边A 1

EDBPC AD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．

（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由；（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE．

2. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动时间为x秒，请求出当x为何APD 2

BQC 值时，△PDQ≌△CQD．

AD

B

3. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．

CAD3

QBPC

A

D

B

4. 已知：如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E在边AB上，且AE=4 cm，点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．

CADEQBP4

C

A

E

B

5. 已知：如图，在长方形ABCD中，AB=DC=4，AD=BC=5．延长BC到E，使CE=2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动时间为t秒．

（1）请用含t的式子表达△ABP的面积S．

（2）是否存在某个t值，使得△DCP和△DCE全等？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．

DCADBPCEAD5

BCE

6. 已知：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=3 cm，AD=BC=5 cm，动点P从点B出发，以每秒1 cm的速度沿BC方向向点C运动，动点Q从点C出发，以每秒2 cm的速度沿CD-DA-AB向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，设点P运动时间为t秒．请回答下列问题：

（1）请用含t的式子表达△CPQ的面积S，并直接写出t的取值范围．

（2）是否存在某个t值，使得△ABP和△CDQ全等？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．

ADQBPCAD 6

BC

【参考答案】

➢ 课前预习

（1）2t，t

（2）4s

➢ 知识点睛

速度已知

1．研究背景图形，标注；

2．分析运动过程，分段；

3．表达线段长，建等式．

➢ 精讲精练

1. 解：（1）当t=1.5时，△ABP≌△CDE．理由如下：

如图，由题意得BP=2t

∴当t=1.5时，BP=3

∵AE=7，AD=10

∴DE=3

∴BP=DE

7

在矩形ABCD中

AB=CD，∠B=∠CDE

在△ABP和△CDE中

ABCDBCDE

BPDE∴△ABP≌△CDE（SAS）

（2）如图，由题意得BP=2t

∵BC=10

∴CP=102t

若使△DCP≌△CDE，则需CP=DE

即102t=3，t=72

∴当t=72时，△DCP≌△CDE．

2. 解：如图，由题意得AP=x，CQ=2x

∵AD=12

∴DP=12x

要使△PDQ≌△CQD，则需DP=QC

即12x=2x，x=4

∴当x=4时，△PDQ≌△CQD．

3. 解：如图，由题意得BP=3t

∵BC=8

∴PC=83t

∵AB=10，D为AB中点

∴BD=12AB=5

①要使△BDP≌△CPQ，

则需BD=CP，BP=CQ

即5=83t，t=1

∴CQ=3t=3

则Q的速度为vs3Q=t=1=3（cm/s）

即当t=1，Q的速度为每秒3cm时，△BDP≌△CPQ．②要使△BDP≌△CQP，则需BP=CP，BD=CQ

即3t=8-3t，CQ=5

8

∴t=43

则Q的速度为vs315Q=t=5×4=4（cm/s）

即当t=43，Q的速度为每秒154cm时，△BDP≌△CQP．

综上所述，当t=1，Q的速度为每秒3cm或t=43，Q的速度

为每秒154cm时，△BPD与△CQP全等．

4. 解：如图，由题意得BP=2t

∵正方形ABCD的边长为10cm

∴AB=BC=10

∴PC=102t

∵AE=4

∴BE=104 =6

①要使△BEP≌△CPQ，

则需EB=PC，BP=CQ

即6=10-2t，CQ=2t

∴t=2，CQ=4

则点Q的速度为vs4Q=t=2=2（cm/s）

即当t=2，Q的速度为每秒2cm时，△BEP≌△CPQ．

②要使△BEP≌△CQP，

则需BP=CP，BE=CQ

即2t=10-2t，CQ=6

∴t=52

则点Q的速度为v2Q=st=6×5=125（cm/s）

即当t=52，Q的速度为每秒125cm时，△BEP≌△CQP．

综上所述，当t=2，Q的速度为每秒2cm或t=52，Q的速度

为每秒125cm时，△BEP与△CQP全等．

5. 解：（1）①当P在BC上时，

如图，由题意得BP=2t（0

9 ∴SABP12ABBP 1242t

4t②当P在CD上时，（2.5

∴S1ABP2ABBC1245

10③当P在AD上时，由题意得AP=142t（4.5

∴S1ABP2ABAP124（142t）

284t（2）①当P在BC上时，

如图，由题意得BP=2t

要使△DCP≌△DCE，则需CP=CE

∵CE=2

∴52t=2，t=1.5

即当t=1.5时，△DCP≌△DCE

②当P在CD上时，不存在t使△DCP和△DCE全等

③当P在AD上时，由题意得BC+CD+DP=2t

∵BC=5，CD=4，

∴DP=t9

要使△DCP≌△CDE，则需DP=CE

即t9=2，t=5.5

即当t=5.5时，△DCP≌△CDE．

综上所述，当t=1.5或t=5.5时，△DCP和△DCE全等．6. 解：（1）①当Q在CD上时，

如图，由题意得CQ=2t，BP=t

∴CP=5t（0

∴S1CPQ2CPCQ 12(5t)2t

5tt2

10

②当Q在DA上时，（1.5

∴S1CPQ2CPCD12(5t)3

7.51.5t③当Q在AB上时，由题意得BQ=112t（4

∴S1CPQ2CPBQ12(5t)(112t)

t221552t22）①当Q在CD上时，不存在t使△ABP和△CDQ全等②当Q在AD上时，

如图，由题意得DQ=2t3

要使△ABP≌△CDQ，则需BP=DQ

∵DQ=2t3，BP=t

∴t=2t3，t=3

即当t=3时，△ABP≌△CDQ．

③当Q在AB上时，不存在t使△ABP和△CDQ全等

综上所述，当t=3时，△ABP和△CDQ全等．

11

（