北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案|江阴雨辰互联

2023年7月18日发(作者：)

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案(总24页)

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一．选择题（共12小题）

1．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）

A．

3 C． 6 D． 5

2．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何（）

B． 4

A．

B． 30 C． 32 D． 36

+（2a+3b﹣13）=0，则此等23．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足腰三角形的周长为（）

A．

7或8 B． 6或1O C． 6或7 D． 7或10

4．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）

A．

B．

C．

D． 2

5．（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）

A．

18cm B． 22cm C． 24cm D． 26cm

6．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）

A．

10cm B． 8cm C． 5cm D．

7．（2013•西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）

A．

2 B．

C．

D．

8．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）

A．

28° C． ° D． 20°

9．（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）

A．

88°或2° B． 4°或86° C． 88°或4° D． 4°或46°

10．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）

B． 25°

A．

3 B．

C．

D．

11．（2011•成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）

33 A．

B． 2 C．

D．

12．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）

A．

20° B． 25° C． 30° D． 40°

二．填空题（共6小题）

13．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为 _________ ．

14．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 _________ ．

15．（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE= _________ ．

16．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= _________ ．

17．（2012•广东模拟）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是

_________ ．

18．（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= _________ 度．

三．解答题（共12小题）

19．（2014•翔安区质检）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．

20．（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．

55 21．（2014•顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．

22．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的长；

（2）求△ADB的面积．

23．（2012•重庆模拟）如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．

66 24．（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．

（1）求证：EF∥BC；

（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．

25．（2009•大连二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．

求证：AD=BE．

26．（2007•宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．

（1）求证：AE=CF；

（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．

77 27．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．

（1）求证：EF⊥AD；

（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．

28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，

AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB的距离．88

29．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，AD是∠CAB的平分线，AD交BC于D，求BD的长．

30．如图，四边形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC于点E，求证：CD=CE．

99 北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）

A．

3 C． 6 D． 5

考点：角平分线的性质．

专题：几何图形问题．

分析：

过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．

解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE=DF，

由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

∴×4×2+×AC×2=7，

解得AC=3．

故选：A．

B． 4

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

2．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何（）

A．

24 C． 32 D． 36

考点：线段垂直平分线的性质．

分析：根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再

B． 30

1010 根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．

解答：解：∵直线M为∠ABC的角平分线，

∴∠ABP=∠CBP．

∵直线L为BC的中垂线，

∴BP=CP，

∴∠CBP=∠BCP，

∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，

在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，

即3∠ABP+60°+24°=180°，

解得∠ABP=32°．

故选：C．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．

3．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）=0，则此等2腰三角形的周长为（）

A．

7或8 B． 6或1O C． 6或7 D． 7或10

考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．

分析：先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．

解答：

解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，

∴解得，

，

当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；

当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；

综上所述此等腰三角形的周长为7或8．

故选：A．

点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．

4．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）

A．

B．

C．

D． 2

考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．

专题：几何图形问题．

分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．

解答：解：如图，连接AC、CF，

∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，

∴AC=，CF=3，

1111 ∠ACD=∠GCF=45°，

∴∠ACF=90°，

由勾股定理得，AF=∵H是AF的中点，

∴CH=AF=×2故选：B．

=．

==2，

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

5．（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）

A．

18cm C． 24cm D． 26cm

考点：线段垂直平分线的性质．

分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．

解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD=CD，

∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，

∵AE=4cm，

∴AC=2AE=2×4=8cm，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．

故选B．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．

6．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）

B． 22cm

A．

10cm

B． 8cm C． 5cm D．

1212 考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理．

专题：探究型．

分析：连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．

解答：解：连接AD，

∵DE是线段AB的垂直平分线，BD=15，∠B=15°，

∴AD=BD=10，

∴∠DAB=∠B=15°，

∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°，

∵∠C=90°，

∴AC=AD=5cm．

故选C．

点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．

7．（2013•西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）

A．

2 B．

C．

D．

考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

分析：由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．

解答：解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，

∴∠AOP=∠COP=30°，

∵CP∥OA，

∴∠AOP=∠CPO，

∴∠COP=∠CPO，

∴OC=CP=2，

∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，

∴∠CPE=30°，

∴CE=CP=1，

∴PE=∴OP=2PE=2，

=，

1313 ∵PD⊥OA，点M是OP的中点，

∴DM=OP=．

故选：C．

点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

8．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）

A．

28° C． ° D． 20°

考点：线段垂直平分线的性质．

专题：计算题．

分析：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．

解答：解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．

∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，

∴AE=CE．

∴∠C=∠CAE=x．

根据三角形的内角和定理，得

∠C+∠BAC=180°﹣∠B，

即x+4x=140°，

x=28°．

则∠C=28°．

故选A．

点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．

9．（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）

A．

88°或2° B． 4°或86° C． 88°或4° D． 4°或46°

考点：等腰三角形的性质．

分析：分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．

解答：解：88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，

88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°，

综上所述，它的顶角是88°或4°．

故选C．

点评：本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．

10．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）

B． 25°

A．

B．

C． D．

1414 考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．

专题：计算题．

分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，

∴AE=CE，

设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，

222在Rt△CDE中，CE=CD+ED，

即x=2+（4﹣x），

解得x=，

即CE的长为．

故选：C．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．

11．（2011•成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）

222

A．

B． 2 C．

D．

考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．

解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，

∴∠ABC=60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=30°，

∴∠DBC=∠ACB，

∴BD=CD=4，

在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，

∴AD=BD=×4=2，

过点D作DE⊥BC于点E，

则DE=AD=2．

故选B．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．

12．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）

1515

A．

20° B． 25° C． 30° D． 40°

考点：等腰三角形的性质．

专题：几何图形问题．

分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．

解答：解：∵AC=AE，BC=BD

∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，

∴∠A=180°﹣2x°，

∠B=180°﹣2y°，

∵∠ACB+∠A+∠B=180°，

∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，

∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．

点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．

二．填空题（共6小题）

13．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为 15 ．

考点：角平分线的性质．

专题：几何图形问题．

分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．

解答：解：作DE⊥AB于E．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=CD=3．

∴△ABD的面积为×3×10=15．

故答案是：15．

点评：此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．

14．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 2 ．

1616

考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．

分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．

解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，

∴∠ACB=∠FDB=90°，

∵∠F=30°，

∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．

又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，

∴∠EBA=∠A=30°，

∴直角△DBE中，BE=2DE=2．

故答案是：2．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．

15．（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE= 55° ．

考点：角平分线的性质．

分析：首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH的平分线，继而求得答案．

解答：解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，

∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，

∴EH=EF，EG=EF，

∴EH=EG，

∴AE是∠CAH的平分线，

∵∠BAC=70°，

∴∠CAH=110°，

∴∠CAE=∠CAH=55°．

故答案为：55°．

点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

1717 16．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= 4：5：6 ．

考点：角平分线的性质．

专题：压轴题．

分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．

解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，

∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，

∴OD=OE=OF，

∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，

∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．

故答案为：4：5：6．

点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

17．（2012•广东模拟）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是 15° ．

考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．

分析：由DE垂直平分AC，∠A=50°，根据线段垂直平分线的性质，易求得∠ACD的度数，又由AB=AC，可求得∠ACB的度数，继而可求得∠DCB的度数．

解答：解：∵DE垂直平分AC，

∴AD=CD，

∴∠ACD=∠A=50°，

∵AB=AC，∠A=50°，

∴∠ACB=∠B==65°，

∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°．

故答案为：15°．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．

18．（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= 72 度．

1818

考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质．

专题：计算题．

分析：欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．

解答：解：先连接AP，

由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，

可得∠BAD=180°﹣72°=108°，

根据菱形对角线平分对角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．

EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，

∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．

在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．

由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．

点评：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．

三．解答题（共12小题）

19．（2014•翔安区质检）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．

考点：线段垂直平分线的性质．

分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．

解答：解：∵DE垂直平分，

∴AD=CD，

∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，

又∵AB=10cm，

∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．

20．（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．

1919

考点：等腰三角形的性质．

专题：证明题．

分析：根据三线合一定理证明CF平分∠ACB，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．

解答：证明：∵CD=CA，E是AD的中点，

∴∠ACE=∠DCE．

∵CF平分∠ACB，

∴∠ACF=∠BCF．

∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，

∴∠ACE+∠ACF=90°．

即∠ECF=90°．

∴CE⊥CF．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．

21．（2014•顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．

考点：含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质．

专题：计算题．

分析：延长DA，CB，交于点E，可得出三角形ABE与三角形CDE相似，由相似得比例，设AB=x，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2x，利用勾股定理表示出BE，由BC+BE表示出CE，在直角三角形DCE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2DC=CE，即可求出AB的长．

解答：解：延长DA，CB，交于点E，

∵∠E=∠E，∠ANE=∠D=90°，

∴△ABE∽△CDE，

∴=，

=x，

在Rt△ABE中，∠E=30°，

设AB=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：BE=∴CE=BC+BE=4+x，

在Rt△DCE中，∠E=30°，

∴CD=CE，即（4+解得：x=则AB=，

．

x）=3，

2020 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

22．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的长；

（2）求△ADB的面积．

考点：角平分线的性质；勾股定理．

分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；

（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．

解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE，

∵CD=3，

∴DE=3；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB==∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．

点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

23．（2012•重庆模拟）如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．

=10，

考点：直角三角形斜边上的中线．

专题：证明题．

分析：由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，因此可以AB为媒介，再根据斜边上的中线等于斜边的一半来证CE=ED．

解答：证明：在Rt△ABC中，

∵E为斜边AB的中点，

∴CE=AB．

在Rt△ABD中，

∵E为斜边AB的中点，

2121 ∴DE=AB．

∴CE=DE．

点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

24．（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．

（1）求证：EF∥BC；

（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．

考点：等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．

专题：几何综合题．

分析：（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；

（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．

解答：（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；

∴AF=FD，即F是AD的中点；

又∵E是AB的中点，

∴EF是△ABD的中位线；

∴EF∥BC；

（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；

2∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）=1：4，

∴S△ABD=4S△AEF=6，

∴S△AEF=．

∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣=．

点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质．

25．（2009•大连二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．

求证：AD=BE．

考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．

专题：证明题．

分析：此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．

解答：证明：∵AD∥BC，

2222 ∴∠ADB=∠DBC．

∵CE⊥BD，

∴∠BEC=90°．

∵∠A=90°，

∴∠A=∠BEC．

∵BD=BC，

∴△ABD≌△BCE．

∴AD=BE．

点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．

26．（2007•宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．

（1）求证：AE=CF；

（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．

考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题：计算题；证明题．

分析：根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数．

解答：（1）证明：在△ABE和△CBF中，

∵，

∴△ABE≌△CBF（SAS）．

∴AE=CF．

（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，

∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°．

∵△ABE≌△CBF，

∴∠EAB=∠FCB=15°．

∵BE=BF，∠EBF=90°，

∴∠BFE=∠FEB=45°．

∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

27．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．

2323 （1）求证：EF⊥AD；

（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．

考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．

专题：几何综合题；压轴题．

分析：（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．

（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．

解答：（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，

∴∠EAD=∠DAF．

∵DE⊥AE，DF⊥AF，

∴∠DEA=∠DFA=90°

又AD=AD，

∴△DEA≌△DFA．

∴EA=FA

∵ED=FD，

∴AD是EF的垂直平分线．

即AD⊥EF．

（2）解：∵DE∥AC，