2023年7月18日发(作者：)

1．如图①，在矩形ABCD中，已知BC＝8cm，点G为BC边上一点，满足BG＝AB＝6cm，动点E以1cm/s的速度沿线段BG从点B移动到点G，连接AE，作EF⊥AE，交线段CD于点F．设点E移动的时间为t（s），CF的长度为y（cm），y与t的函数关系如图②所示．

（1）图①中，CG＝ 2

cm，图②中，m＝ 2 ；

（2）点F能否为线段CD的中点？若可能，求出此时t的值，若不可能，请说明理由；

（3）在图①中，连接AF，AG，设AG与EF交于点H，若AG平分△AEF的面积，求此时t的值．

解：（1）∵BC＝8cm，BG＝AB＝6cm，

∴CG＝2cm，

∵EF⊥AE，

∴∠AEB+∠FEC＝90°，且∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠FEC，且∠B＝∠C＝90°，

∴△ABE∽△ECF，

∴∵t＝6，

∴BE＝6cm，CE＝2cm，

∴

，

∴CF＝2cm，

∴m＝2，

故答案为：2，2；

（2）若点F是CD中点，

∴CF＝DF＝3cm，

第 1 页 共 32 页

∵△ABE∽△ECF，

∴∴，

∴EC2﹣8EC+18＝0

∵△＝64﹣72＝﹣8＜0，

∴点F不可能是CD中点；

（3）如图①，过点H作HM⊥BC于点M，

∵∠C＝90°，HM⊥BC，

∴HM∥CD，

∴△EHM∽△EFC，

∴

∵AG平分△AEF的面积，

∴EH＝FH，

∴EM＝MC，

∵BE＝t，EC＝8﹣t，

∴EM＝CM＝4﹣t，

∴MG＝CM﹣CG＝2﹣，

∵∴∴CF＝，

∵EM＝MC，EH＝FH，

第 2 页 共 32 页

∴MH＝CF＝∵AB＝BG＝6，

∴∠AGB＝45°，且HM⊥BC，

∴∠HGM＝∠GHM＝45°，

∴HM＝GM，

∴＝2﹣，

∴t＝2或t＝12，且t≤6，

∴t＝2．

2．问题提出：

（1）如图1，△ABC的边BC在直线n上，过顶点A作直线m∥n，在直线m上任取一点D，连接BD、CD，则△ABC的面积 ＝ △DBC的面积．

问题探究：

（2）如图2，在菱形ABCD和菱形BGFE中，BG＝6，∠A＝60°，求△DGE的面积；

问题解决：

（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝10，在矩形ABCD内（也可以在边上）存在一点P，使得△ABP的面积等于矩形ABCD的面积的，求△ABP周长的最小值．

解：问题提出：

（1）∵两条平行线间的距离一定，

∴△ABC与△DBC同底等高，即△ABC的面积＝△DBC的面积，

故答案为：＝；

问题探究：

第 3 页 共 32 页

（2）如图2，连接BD，

∵四边形ABCD，四边形BGFE是菱形，

∴AD∥BC，BC∥EF，AD＝AB，BG＝BE，

∴∠A＝∠CBE＝60°，

∴△ADB是等边三角形，△BGE是等边三角形，

∴∠ABD＝∠GBE＝60°，

∴BD∥GE，

∴S△DGE＝S△BGE＝BG2＝9；

（3）如图3，过点P作PE∥AB，交AD于点E，

∵△ABP的面积等于矩形ABCD的面积的，

∴×12×AE＝×12×10

∴AE＝8，

作点A关于PE的对称点A'，连接A'B交PE于点P，此时△ABP周长最小，

∴A'E＝AE＝8，

第 4 页 共 32 页

∴AA'＝16，

∴A'B＝＝＝20，

∴△ABP周长的最小值＝AP+AB+PB＝A'P+PB+AB＝20+12＝32．

3．（1）方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≌△EAF，从而得到结论：DE+BF＝EF．根据这个结论，若CD＝6，DE＝2，求EF的长．

（2）方法迁移：

如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论．

（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

解：（1）方法感悟：

∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，

∴GB＝DE＝2，

∵△GAF≌△EAF

∴GF＝EF，

∵CD＝6，DE＝2

∴CE＝4，

∵EF2＝CF2+CE2，

第 5 页 共 32 页

∴EF2＝（8﹣EF）2+16，

∴EF＝5；

（2）方法迁移：

DE+BF＝EF，

理由如下：如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，

由旋转可得，AH＝AE，BH＝DE，∠1＝∠2，∠D＝∠ABH，

∵∠EAF＝∠DAB，

∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD，

∴∠HAF＝∠EAF，

∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝180°，

∴点H、B、F三点共线，

在△AEF和△AHF中，

∴△AEF≌△AHF（SAS），

∴EF＝HF，

∵HF＝BH+BF，

∴EF＝DE+BF．

（3）问题拓展：

EF＝BF﹣FD，

理由如下：在BC上截取BH＝DF，

第 6 页 共 32 页

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，

∴∠B＝∠ADF，且AB＝AD，BH＝DF，

∴△ABH≌△ADF（SAS）

∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AD，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD，

∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF，且AE＝AE，AH＝AD，

∴△HAE≌△FAE（SAS）

∴HE＝EF，

∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF．

4．如图1，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2，设移动时间为t（s）（0＜＜4），连结PQ，MQ，解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥MN？

（2）当t为何值时，∠CPQ＝45°？

（3）当t为何值时，PQ⊥MQ？

第 7 页 共 32 页

解：（1）∵AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，

∴AC＝＝4cm，

∵MN∥AB，PQ∥MN，

∴PQ∥AB，

∴∴∴t＝，

，

s

（2）如图2，过点Q作QE⊥AC，则QE∥AB，

∴∴∴CE＝，

，

，QE＝t，

∵∠CPQ＝45°，

∴PE＝QE＝t，

∴t+t+t＝4，

∴t＝s

（3）如图2，过点P作PF⊥BC于F点，过点M作MH⊥BC，交BC延长线于点H，

∴四边形PMHF是矩形，

∴PM＝FH＝5，

∵∠A＝∠PFC＝90°，∠ACB＝∠PCF，

∴△ABC∽△FPC，

∴，

第 8 页 共 32 页

∴＝

，CF＝，

，

∴PF＝∴QH＝5﹣FQ＝5﹣（CF﹣CQ）＝∵PQ⊥MQ，

∴∠PQF+∠MQH＝90°，且∠PQF+∠FPQ＝90°，

∴∠FPQ＝∠MQH，且∠PFQ＝∠H＝90°，

∴△PFQ∽△QHM，

∴，

∴

∴t＝s．

5．问题背景：如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得四边形EFGH是正方形．

类比探究：如图2，在正△ABC的内部，作∠1＝∠2＝∠3，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）．

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；

（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；

（3）如图3，进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．

（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：

∵△ABC是正三角形，

第 9 页 共 32 页

∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC，

又∵∠1＝∠2＝∠3，

∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAF，

在△ABD、△BCE和△CAF中，∴△ABD≌△BCE≌△CAF（ASA）；

（2）△DEF是正三角形；理由如下：

∵△ABD≌△BCE≌△CAF，

∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，

∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，

∴△DEF是正三角形；

（3）c2＝a2+ab+b2．作AG⊥BD于G，如图所示：

∵△DEF是正三角形，

∴∠ADG＝60°，

在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝在Rt△ABG中，c2＝（a+b）2+（∴c2＝a2+ab+b2．

，

b，

b）2，

6．如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠ABC＝∠CDA＝90°，BC＝CD，延长BC交AD的延长线于点E．

（1）求证：AB＝AD；

（2）若AE＝BE+DE，求∠BAC的值；

（3）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P，连接PB．设PB＝a，点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，点O与点E是否可能重合？若可能，请说明理由并求此时MO+PO的值（用含a的式第 10 页 共 32 页

子表示）；若不可能，请说明理由．

（1）证明：∵∠ABC＝∠CDA＝90°，

∵BC＝CD，AC＝AC，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．

∴AB＝AD．

（2）解：∵AE＝BE+DE，

又∵AE＝AD+DE，

∴AD＝BE．

∵AB＝AD，

∴AB＝BE．

∴∠BAD＝∠BEA．

∵∠ABC＝90°，

∴∠BAD═45°．

∵由（1）得△ABC≌△ADC，

∴∠BAC＝∠DAC．

∴∠BAC═22.5°．

（3）解：当MO+PO的值最小时，点O与点E可以重合，理由如下：

∵ME∥AB，

∴∠ABC＝∠MEC＝90°，∠MAB＝∠EMA．

∵MP⊥DC，

∴∠MPC＝90°．

∴∠MPC＝∠ADC＝90°．

第 11 页 共 32 页

∴PM∥AD．

∴∠EAM＝∠PMA．

由（1）得，Rt△ABC≌Rt△ADC，

∴∠EAC＝∠MAB，

∴∠EMA＝∠AMP．即MC平分∠PME．

又∵MP⊥CP，ME⊥CE，

∴PC＝EC．

如图，连接PB，连接PE，延长ME交PD的延长线于点Q．

设∠EAM＝α，则∠MAP＝α．

在Rt△ABE中，∠BEA＝90°﹣2α．

在Rt△CDE中，∠ECD＝90°﹣∠BEA＝2α．

∵PC＝EC，

∴∠PEB＝∠EPC＝∠ECD＝α．

∴∠PED＝∠BEA+∠PEB＝90°﹣α．

∵ME∥AB，

∴∠QED＝∠BAD＝2α．

当∠PED＝∠QED时，

∵∠PDE＝∠QDE，DE＝DE，

第 12 页 共 32 页

∴△PDE≌△QDE（ASA）．

∴PD＝DQ．

即点P与点Q关于直线AE成轴对称，也即点M、点E、点P关于直线AE的对称点Q，这三点共线，也即MO+PO的值最小时，点O与点E重合．

因为当∠PED＝∠QED时，90°﹣α＝2α，也即α＝30°．

所以，当∠ABD＝60°时，MO+PO取最小值时的点O与点E重合．

此时MO+PO的最小值即为ME+PE．

∵PC＝EC，∠PCB＝∠ECD，CB＝CD，

∴△PCB≌△ECD（SAS）．

∴∠CBP＝∠CDE＝90°．

∴∠CBP+∠ABC＝180°．

∴A，B，P三点共线．

当∠ABD＝60°时，在△PEA中，

∠PAE＝∠PEA＝60°．

∴∠EPA＝60°．

∴△PEA为等边三角形．

∵EB⊥AP，

∴AP＝2AB＝2a．

∴EP＝AE＝2a．

∵∠EMA＝∠EAM＝30°，

∴EM＝AE＝2a．

∴MO+PO的最小值为4a．

7．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上运动，从点A出发向点D运动，到达D点停止运动．作射线CE，并将射线CE绕着点C逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB边交于点F，连接EF．

（1）依题意补全图形；

（2）猜想线段DE，EF，BF的数量关系并证明；

（3）过点C作CG⊥EF，垂足为点G，若正方形ABCD的边长是4，请直接写出点G运动的路线长．

第 13 页 共 32 页

解：（1）补全图形如图1所示：

（2）线段DE，EF，BF的数量关系为：EF＝DE+BF．理由如下：

延长AD到点H，使DH＝BF，连接CH，如图2所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝∠ADC＝∠B＝90°，BC＝DC，

∴∠CDH＝90°＝∠B，

在△CDH和△CBF中，∴△CDH≌△CBF（SAS）．

∴CH＝CF，∠DCH＝∠BCF．

∵∠ECF＝45°，

∴∠ECH＝∠ECD+∠DCH＝∠ECD+∠BCF＝45°．

∴∠ECH＝∠ECF＝45°．

在△ECH和△ECF中，∴△ECH≌△ECF（SAS）．

∴EH＝EF．

∵EH＝DE+DH，

∴EF＝DE+BF；

（3）由（2）得：△ECH≌△ECF（SAS），

∴∠CEH＝∠CEF，

∵CD⊥AD，CG⊥EF，

∴CD＝CG＝4，

∴点G的运动轨迹是以C为圆心4为半径的弧DB，

第 14 页 共 32 页

，

，

∴点G运动的路线长＝＝2π．

8．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于

直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF．

（1）若∠BAP＝α，直接写出∠ADF的大小（用含α的式子表示）；

（2）求证：BF⊥DF；

（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．

第 15 页 共 32 页

（1）解：由轴对称的性质得：∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∴∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，

∴∠ADF＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝（90°+2α）＝45°+α；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∵点E与点B关于直线AP对称，

∴∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．

∴AE＝AD．

∴∠ADE＝∠AED．

∵∠AED+∠AEF＝180°，

∴在四边形ABFD中，∠ADE+∠ABF＝180°，

∴∠BFD+∠BAD＝180°，

∴∠BFD＝90°

∴BF⊥DF；

（3）解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为AF＝过点B作BM⊥BF交AF于点M，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CB，∠ABC＝90°，

∴∠ABM＝∠CBF，

∵点E与点B关于直线AP对称，∠BFD＝90°，

∴∠MFB＝∠MFE＝45°，

∴△BMF是等腰直角三角形，

∴BM＝BF，FM＝BF+CF，理由如下：

BF，

， 在△AMB和△CFB中，∴△AMB≌△CFB（SAS），

∴AM＝CF，

第 16 页 共 32 页

∵AF＝FM+AM，

∴AF＝BF+CF．

9．如图1，已知等腰Rt△ABC中，E为边AC上一点，过E点作EF⊥AB于F点，以为边作正方形，且AC＝3，EF＝．

（1）如图1，连接CF，求线段CF的长；

（2）将等腰Rt△ABC绕点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC，MF，求MC与MF关系．

解：（1）如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝3，

∴AB＝3，

过点C作CM⊥AB于M，连接CF，

∴CM＝AM＝AB＝，

∵四边形AGEF是正方形，

∴AF＝EF＝，

﹣， ∴MF＝AM﹣AF＝第 17 页 共 32 页

在Rt△CMF中，CF＝

（2）CM＝FM，CM⊥FM，

理由：如图2，

＝＝；

过点B作BH∥EF交FM的延长线于H，连接CF，CH，

∴∠BHM＝∠EFM，

∵四边形AGEF是正方形，

∴EF＝AF

∵点M是BE的中点，

∴BM＝EM，

在△BMH和△EMF中，

，

∴△BMH≌△EMF（AAS），

∴MH＝MF，BH＝EF＝AF

∵四边形AGEF是正方形，

∴∠FAG＝90°，EF∥AG，

∵BH∥EF，

∴BH∥AG，

∴∠BAG+∠ABH＝180°，

∴∠CBH+∠ABC+∠BAC+∠CAG＝180°．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝45°，

∴∠CBH+∠CAG＝90°，

第 18 页 共 32 页

∵∠CAG+∠CAF＝90°，

∴∠CBH＝∠CAF，

在△BCH和△ACF中，

，

∴△BCH≌△ACF（SAS），

∴CH＝CF，∠BCH＝∠ACF，

∴∠HCF＝∠BCH+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝90°，

∴△FCH是等腰直角三角形，

∵MH＝MF，

∴CM＝FM，CM⊥FM；

10．如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．

（1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；

（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时．

①求∠DAQ的度数；

②若AB＝6，求PQ的长度．

解：（1）如图1中，

∵MN∥B′D′，

∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝45°，∠C′NM＝∠C′D′B′＝45°，

第 19 页 共 32 页

∴∠C′MN＝∠C′NM，

∴C′M＝C′N，

∵C′B′＝C′D′，'

∴MB′＝ND′，

∵AB′＝AD′，∠AB′M＝∠AD′N＝90°，

∴△AB′M≌△AD′N（SAS），

∴∠B′AM＝∠D′AN，

∵∠B′AD′＝90°，∠MAN＝45°，

∴∠B′AM＝∠D′AN＝22.5°，

∵∠BAC＝45°，

∴∠BAB′＝22.5°，

∴α＝22.5°．

（2）①如图2中，

∵∠AB′Q＝∠ADQ＝90°，AQ＝AQ，AB′＝AD，

∴Rt△AQB′≌Rt△AQD（HL），

∴∠QAB′＝∠QAD，

∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°，

∴∠B′AD＝30°，

∴∠QAD＝∠B′AD＝30°．

第 20 页 共 32 页

②如图2中，连接AP，在AB上取一点E，使得AE＝EP，连接EP．设PB＝a．

∵∠ABP＝∠AB′P＝90°，AP＝AP，AB＝AB′，

∴Rt△APB≌Rt△APB′（HL），

∴∠BAP＝∠PAB′＝15°，

∵EA＝EP，

∴∠EAP＝∠EPA＝15°，

∴∠BEP＝∠EAP+∠EPA＝30°，

∴PE＝AE＝2a，BE＝∵AB＝6，

∴2a+a，

a＝6，

）．

），

）＝6﹣6，

∴a＝6（2﹣∴PB＝6（2﹣∴PC＝BC﹣PB＝6﹣6（2﹣∵∠CPQ+∠BPB′＝180°，∠BAB′+∠BPB′＝180°，

∴∠CPQ＝∠BAB′＝30°，

∴PQ＝＝＝12﹣4．

11．已知，如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边AD上，过点A作AG⊥EF，分别交线段CD、EF于点G、H（点G不与线段CD的端点重合）．

（1）如图2，当G是边CD中点时，求AF的长；

（2）设AF＝x，四边形FHGD的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）联结ED，当∠FED＝45°时，求AF的长．

解：（1）∵E是AB的中点，AB＝2，

第 21 页 共 32 页

∴AE＝AB＝1，

同理可得DG＝1，

∵AG⊥EF，

∴∠AHF＝∠HAF+∠AFH＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADG＝90°＝∠DAG+∠AGD，

∴∠AFH＝∠AGD，

∵∠EAF＝∠ADG＝90°，

∴△EAF∽△ADG，

∴，即，

∴AF＝；

（2）如图1，由（1）知：△EAF∽△ADG，

∴，即，

∴DG＝2x，

∵∠HAF＝∠DAG，

∠AHF＝∠ADG＝90°，

∴∠AHF∽△ADG，

∴∴＝，

＝，

∴AH＝＝，FH＝＝，

第 22 页 共 32 页

∴y＝S△ADG﹣S△AFH，

＝，

＝2x﹣，

如图2，当G与C重合时，∵EF⊥AG，

∴∠AHE＝90°，

∵∠EAH＝45°，

∴∠AEH＝45°，

∴AF＝AE＝1，

∴0＜x＜1；

∴y关于x的函数关系式为：y＝2x﹣（0＜x＜1）；

（3）如图3，过D作DM⊥AG，交BC于M，连接EM，延长EA至N，使AN＝CM，连接DN，

设CM＝a，则AN＝a，

∵AD＝CD，∠NAD＝∠DCM＝90°，

第 23 页 共 32 页

∴△NAD≌△MCD（SAS），

∴∠ADN＝∠CDM，DN＝DM，

∵EF⊥AG，DM⊥AG，

∴EF∥DM，

∴∠EDM＝∠FED＝45°，

∴∠ADE+∠CDM＝∠EDM＝45°，

∴∠NDA+∠ADE＝∠NDE＝∠EDM，

∵ED＝ED，

∴△NDE≌△MDE（SAS），

∴EN＝EM＝a+1，

∵BM＝2﹣a，

在Rt△EBM中，由勾股定理得：BE2+BM2＝EM2，

∴12+（2﹣a）2＝（a+1）2，

a＝，

∵∠AEF+∠EAG＝∠EAG+∠DAG，

∴∠AEF＝∠DAG＝∠CDM，

∴tan∠AEF＝tan∠CDM，

∴∴，

，

∴AF＝．

12．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；

（3）解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG，AB⊥AE第 24 页 共 32 页

且AE＝AB，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，

理由如下：连接AC，BD，

∵AB＝AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB＝CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴AC是线段BD的垂直平分线，

∴四边形ABCD是垂美四边形；

（2）∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2＝AB2+CD2；

故答案为：AB2+CD2＝AD2+BC2；

（3）∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

第 25 页 共 32 页

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，

∵AC＝4，AB＝5，

∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，

∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，

∴GE＝．

13．如图1，四边形ACEB，连接BC，∠ACB＝∠BEC＝90°，D在AB上，连接CD，∠ACD＝∠ABC，BE＝CD．

（1）求证：四边形CDBE为矩形；

（2）如图2，连接DE，DE交BC于点O，若tan∠A＝2，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有长度与AD的长度相等的线段．

（1）证明：∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

∵∠ACD＝∠ABC，

∴∠A+∠ACD＝90°，

第 26 页 共 32 页

∴∠ADC＝90°，

∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°＝∠BEC，

在Rt△BCD和Rt△CBE中，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），

∴BD＝CE，

∵CD＝BE，

∴四边形CDBE是平行四边形，

又∵∠BEC＝90°，

∴四边形CDBE为矩形；

（2）解：图中所有长度与，

AD的长度相等的线段为AC＝OC＝OB＝OD＝OE＝AD．理由如下：

由（1）得：四边形CDBE为矩形，∠ADC＝90°，

∴BC＝DE，OD＝OE，OB＝OC，

∴OC＝OB＝OD＝OE＝BC，

∵∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴tan∠A＝2＝＝，

∴CD＝2AD，BC＝2AC，

∴AC＝＝＝AD，

∴DE＝BC＝2AC，

∴OC＝OB＝OD＝OE＝BC＝AC＝∴AC＝OC＝OB＝OD＝OE＝AD，

AD．

14．如图在直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点的坐标为（a，0），D点的坐标为（0，b），且a，b满足（a﹣3）2+|b﹣（1）求A点和D点的坐标；

（2）若∠DAE＝∠OAB，请猜想DE，OD和EB的数量关系，说明理由．

（3）若∠OAD＝30°，以AD为三角形的一边，坐标轴上是否存在点P，使得△PAD为等腰三角形，若存在，直接写出有多少个点P，并写出P点的坐标，选择一种情况证第 27 页 共 32 页

|＝0．

明．

解：（1）∵（a﹣3）2+|b﹣∴a＝3，b＝∴D（0，，

|＝0，

），A（3，0）；

（2）DE＝OD+EB； 理由如下：

如图1，在CO的延长线上找一点F，使OF＝BE，连接AF，

在△AOF和△ABE中，

，

∴△AOF≌△ABE（SAS），

∴AF＝AE，∠OAF＝∠BAE，

又∵∠OAB＝90°，∠DAE＝∴∠BAE+∠DAO＝45°，

∴∠DAF＝∠OAF+∠DAO＝45°，

∴∠DAF＝∠EAD，

在△AFD和△AED中，

第 28 页 共 32 页

，

，

∴△AFD≌△AED（SAS），

∴DF＝DE＝OD+EB；

（3）有3种情况共6个点：

①当DA＝DP时，如图2，

Rt△ADO中，OD＝∴AD＝＝，OA＝3，

＝2，

）； ∴P1（﹣3，0），P2（0，3②当AP4＝DP4时，如图3，

），P3（0，﹣

第 29 页 共 32 页

∴∠ADP4＝∠DAP4＝30°，

∴∠OP4D＝60°，

Rt△ODP4中，∠ODP4＝30°，OD＝∴OP4＝1，

∴P4（1，0）；

③当AD＝AP时，如图4，

，

∴AD＝AP5＝AP6＝2∴P5（3+2，

，0），

）或（0，﹣）或（1，0）或（3+2，，0），P6（3﹣2综上，点P的坐标为：∴P（﹣3，0）或（0，30）或（3﹣2

证明：P5（3+2，0），

，0）．

∵∠OAD＝30°且△ADO是直角三角形，

又∵AO＝3，DO＝∴DA＝2，

﹣3|＝2，

，

而P5A＝|3+2∴P5A＝DA，

∴△P5AD是等腰三角形．

第 30 页 共 32 页

15．已知，在四边形ABCD中，点M、N、P、Q分别为边AB、AD、CD、BC的中点，连接MN、NP、PQ、MQ．

（1）如图1，求证：四边形MNPQ为平行四边形；

（2）如图2，连接AC，AC分别交MN、PQ于点E、F，连接BD，BD分别交MQ、NP于点G、H，AC与BD交于点O，且AC⊥BD，若tan∠ADB＝，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于OD的线段．

（1）证明：如图1，连接BD．

∵Q，P分别是BC，CD的中点，

所以PQ∥BD，PQ＝BD．

∵M，N分别是AB，AD的中点．

∴MN∥BD，MN＝BD．

∴PQ∥MN，且PQ＝MN．

∴四边形MNPQ是平行四边形．

（2）解：∵四边形MNPQ是平行四边形，AC⊥BD，

∴四边形MNPQ是矩形，

∴四边形NHOE和四边形EOGM都是矩形，

第 31 页 共 32 页

∴NH＝OE＝MG＝AE＝∵tan∠ADB＝，

∴，

，

∴NH＝OE＝MG＝AE＝．

即长度等于OD的线段有NH，OE，MG，AE．

第 32 页 共 32 页