2023年7月25日发(作者：)

第八章 概括平差函数模型

§8.1概述

在已经介绍过的条件平差，间接平差，附有参数的条件平差以及附有限制条件的间接平差等四种基本平差方法，其差别就在于函数模型不同。若将误差方程也视为参数形式的条件方程，以未知参数为纽带，可以对4种平差方法概括如下：

ˆ)0，不选择未知参数，方程数等于多余观测数：c=rnt （1）、条件平差：F(LˆF(Xˆ)，选函数独立未知数ut，方程数crurtn （2）、间接平差：Lˆ,Xˆ)0，选择ut个函数独立参数，除应列出r（3）、附有参数的条件平差：F(L个条件方程外，还要附加u个对未知参数的约束条件方程，所以必须列出cru个条件方程。

ˆF(Xˆ)，(Xˆ)0。选择ut个参数，参数（4）、附有限制条件的间接平差：LˆF(Xˆ)（也可视为特殊形式的间存在sut个函数关系。所以除列出n个误差方程Lˆ)0。方程数条件方程－参数方程形式的条件方程），还要列出s个限制条件方程(Xc=n＋s。

由此可见，是否选择参数及如何选择参数决定着平差方法，即参数是联系各种平差方法的纽带。另外可以看到，前三种函数模型中都含有观测量，或者同时包含观测量和未知参数，而后一种只含有未知参数而无观测量。为了便于区别，将前三种统称为一般条件方程，而后者称为限制条件方程，并统称为条件方程。

在任何几何模型中，函数独立参数个数总是介于下列范围之内：

0ut。也就是说，在任一平差问题中，最多只能列出ut个函数独立的参数。在不选择参数时，一般条件方程数c等于多余观测数rnt，若又选用了u个函数独立参数，则总共应当列出由于ut，因此一般条件方程的个数总是介于rcn范围，cru个一般条件方程。即一般条件方程总数不超过n个。

注意：并非选u＝t或u＞t个参数，u个参数间就一定彼此函数独立，选u﹥t个参数，也不一定包含t个函数独立参数。

对于任意一个平差问题，若选用了u个参数，不论ut、ut还是ut，也不论参数是否函数独立，每增加1个参数则相应地增加1个方程，故方程总数为c=ru。如果在u个参数中存在有s个函数不独立的参数，或者说，在这u个参数（包括ut、ut以及ut，但是其中没有t个独立参数的情况）之间存在s个函数关系式，则方程总数c中除rus个一般条件方程外，还包含s个限制条件方程。若将一般条件方程与限制条件方程统称为条件方程（包括参数形式的条件方程－误差方程），方程数就是cru，也就是条件方程数c等于多余观测数r与所选参数u之和。

平差时必须正确列出足数并且函数独立的条件方程。少列不能消除所有不符值；足数但是函数不独立，则相当于不足数；多列并且函数独立条件方程足数，则能得出正确解，但增加了计算工作量。

§8.2 基础方程和它的解

ˆF(Xˆ)视为F(Lˆ)0，Lˆ,Xˆ)0的特殊形式，则各种平差将平差函数模型：F(L函数模型可统一表示为：

ˆ,Xˆ)0 F(Lc1n1u1c1

ˆ(X)0

s1u1s1线性化后表示为

cnn1AVBxW0cuu1c1c1(8-2-3)

CxWx0suu1s1s1而平差的随机模型是

221D0Q0P

在这一函数模型中，待求量是n个观测值的改正数v和u个参数，而方程的个数是csnu，所以有无穷多组解。为此，应当在无穷多组解中求出满足VTPVmin的特解。按照求条件极值的方法组成函数，设：

TVTPV2KT(AVBxW)2KS(CxWX)

令:T2VTP2KTA0

2KTB2KSC0，转置后得：

VxVQATK，BTKCTKS0 于是统一平差模型的基础方程为

(1) AVBxW0cnn1cuu1c1c1(2)CxWX0

suu1s1s1

T(3) PVAK0n,nn,1n,cc,1n,1(4)BTKCTKs0u,cc,1u,ss1u,1其中方程数csnu，未知数是n个V、u个 未知参数、c个对应于一般条件式的联系数K、s个对应于限制条件式的联系数Ks，方程数与未知数相等，方程取的唯一解。

解基础方程，由（3）得VQATK带入（1）式得：AQATKBxW0

则得统一模型的法方程

AQATKBxW0BTKCTKS0 （8－2－10）

CxWX0或者

NaaccBTuc0sccuuusuB0C0KWcsc1c1TCx0usu1u10KSWXsss1s1TNAQA，其中

0aacc11T1111T1由此可以得到：x(NbbNbbCNccCNbb)BTNaaWNbbCNccWX

以上述统一函数模型进行平差的方法称为附有限制条件的条件平差法，第4－7章所介绍的4中平差方法均可看作这一平差方法的特例。例如：

（1）、若没有选未知数，即x=0，则函数模型变为AV＋W=0,基础方程中（2）、（4）u1不存在，平差方法为普通条件平差。

（2）、若所选未知数u＝t且函数独立，则条件方程取得特殊形式VBxl，基n1cuu1c1础方程（2）、（3）不存在，（4）取得特殊形式BTPV0，这是间接平差法。

（3）、若选u

ˆ可表示所有x的函（4）、如果选ut，且包含t个函数独立的未知参数，则同样LˆF(Xˆ)成立，条件方程取得特殊形式VBxl。同时由于ut，存在uts数，L个多余参数，产生限制条件方程s个，线性形式cxWx0。基础方程中（1）变为VBxl，（3）不存在，（4）取得特殊形式BTPV0，这是附有限制条件的间接平差法。

由此可见，四种平差的函数模型都可看作统一函数模型（8-2-3）的特殊形式，只有当选取未知数中存在函数关系，并且函数独立的数目不足t时,平差方法取得（8－2－10）的形式，称为附有限制条件的条件平差法。显然，这种方法作为一种概括模型，可以帮助我们理解各种平差方法的差异及其内在联系，其本身无实际应用的价值。

§8.3 精度评定

一、单位权方差的估计值公式

VTPVVTPVVTPVˆ

rc(us)cus20其中，c是一般条件方程数，为多余观测数加独立参数个数。

VTPVVTPQATK(AV)TK(WBx)TKWTKxTBTKWTKxTCTKSTWTKWXKS11TWTNaaWWTNaaBxWXKS11TWTNaaW(BTNaaW)TxWXKS

二、协因素阵

ˆ表示为L的线性函数。已知QP,应用统一将各基本向量W,

x,K,

KS,V,

LLL1协因数传播律求各向量的自协因数阵和两两向量间互协因数阵，结果列于表8-1（P140）。 三、平差值函数的协因素

ˆ,Xˆ,,Xˆ)fFTx＋…。则：设有未知数向量函数并且线性化后得：f(X

12u01ˆˆ0FTQXˆXˆF，p四、概括平差的公式汇编

1

p函数模型：AVBxW0 ，WF(L,X0)

cnn1cuu1c1c1suu1CxWx0，WX(X0)

s1s1221平差的随机模型是：D0Q0P

Naacc法方程：BTuc0sccuuusuB0C0KWcsc1c1TCx0usu1u10KSWXsss1s1T1uu

1Tss其中NaaAQA，NbbBNaaB，NccCNbbC

ccTVTPVVTPVˆ单位权方差：

rc(us)2011T1QVVQATNaaNaaBQXˆXˆBNaaAQ

QLˆLˆQQVV

11T11QXˆXˆ(NbbNbbCNccCNbb)

ˆ 平差值函数的权倒数和中误差：FTX1ˆˆ0FTQXˆXˆF，p§8.4各种平差方法的共性和特性

迄今为止，已经介绍了5种不同的平差方法，不同的平差方法源于采用了不同的函数模型，但是对同一个平差问题而言，无论采用什么平差方法，平差后的结果是一致的 。

目前较多的使用的是间接平差法或附有限制条件的间接平差法。原因是

1

p（1）、误差方程形式统一，规律性强，便于编程电算。

（2）、所选参数通常为平面控制网待定点坐标或高程控制网待定点高程，即控制测量工作所要得到的最终结果，另外法方程系数阵的逆阵本身或者其中的一部分，就是所选未知数的协因数阵，即N1QXˆXˆ，因此评定精度较简单。

条件平差法及附有参数的条件平差法，由于条件方程式不规范，不便于计算机编程，加之精度评定困难的缺点，目前应用较少，至于附有限制条件的条件平差法，在此仅仅是作为能概括上述4种平差方法的平差模型介绍，目的是帮助理解各种平差方法差异及内在联系，本身更没有什么实用价值。

§8.5 平差结果的统计性质

参数估计最优性质具有三个判别标准：无偏性，一致性和有效性：

ˆ) 1、E(ˆ)1 2、limP(nˆ)min 3、D(本节证明:按最小二乘原理进行平差计算所求得结果具有上述最优性质。由于各种平差方法都是概括平差模型的特殊情况，所以仅就概括函数模型进行证明。

ˆ和Xˆ具有无偏估计 一、估计量Lˆ)XE(x)~ˆ)L，E(X 证：E(Lx.

根据概括平差的函数模型：

cnn1~~AVBxW0 ，WF(L,X0)。对应AB~xW0（8-2-1）a

cuu1c1c1cnn1cuu1c1c1suu1CxWX0，

WX(X0) 。对应

C~xWx0 (8-2-1）b

s1s1suu1s1s1xE(W)，－分别对（8-2-1）a，（8-2-1）b取期望，并顾及E()0，得：B~C~xE(WX)WX， 其中WX(X0)，不是随机变量。

11T1111T1对x(NbbNbbCNccCNbb)BTNaaWNbbCNccWX取期望，顾及到NbbBTNaaB，得到： 11T1111T1E(x)(NbbNbbCNccCNbb)BTNaaE(W)NbbCNccE(WX)11T111~1T1~(NbbNbbCNccCNbb)BTNaaBxNbbCNccCx

I~xN1CTN1C~xN1CTN1C~x~xbbccbbccˆ)X0E(x)X0~x得无偏估计值。E(X即x是~xX

1对VQATNaa(WBx)（8-2-19）取期望，得：

11E(W)BE(x)QATNaaE(V)QATNaa(B~xB~x)0

~ˆ)E(L)E(V)L，由于LL，而E()0，所以E(Lˆ)L， 故E(L~ˆ是L即证得L的无偏估计值。

~~~ˆ具有最小方差（有效性） 二、估计量X证明一个向量具有最小方差性，即证明该向量的协因数阵迹为最小。参数估计量方差ˆQX阵DX

ˆXˆ)tr(QXˆXˆ)min，由（8-2-18）ˆXˆˆXˆ，要证最小方差性即要证明：tr(DX11T1111T1x(NbbNbbCNccCNbb)BTNaaWNbbCNccWX知x是W ，Wx的线性函数，2即x是条件方程与限制条件方程中常数项l,

Wx的线性函数。

ˆ无偏且方差最小的系数阵，由此产生一个无偏（证明思路：设H1，H2是满足估值x条件，根据最小方差极值问题，又产生两个相关条件。根据三个条件求得H1，H2，回ˆx，即由此得证得x是无偏最小方差估值。ˆH1WH2WX，若能得到x代x）

ˆH1WH2WX，设有W，现在问题是，其表达式中H1，Wx的另一个参数估值向量xˆ既无偏又方差最小？。首先令它满足无偏性：H2应等于什么，才能使xˆ)H1E(W)H2E(WX)(H1BH2C)~E(xx~x，则有：H1BH2CI题变为求满足条件：。tr(QXˆXˆ)min的系数阵H1，H2的问题。为此组成函数：H1BH2CI0TˆH1WH2WX应用协因数传播律，并顾，对xtr(QXˆˆ)tr2(H1BH2CI)KXT及到WX是非随机量，得到：QXˆXˆH1QWWH1。

关于迹对矩阵的导数的补充材料：

已知矩阵A和方阵F，而F是包括A在内的几个矩阵的乘积，则F的迹关于矩阵A的偏导是个矩阵，这个矩阵的各个元素是F的迹关于A的对应元素的偏导。并有：

tr(ABAT)A(BBT) a、FABA

ATtr(ATBA)(BBT)A b、FABA

ATc、FAB

tr(AB)tr(BA)BT

AAd、tr(AB)tr(A)tr(B)

e、tr(kA)ktr(A)，k是常量。）

tr(H1QWWH1T)T根据a：H1(QWWQWW)2H1QWW

H1根据d，e：tr[2(H1BH2CI)KT]2tr(H1BKT)2tr(H2CKT)2t(IKT)

tr(H1BKT)tr(H2CKT)TTT根据c：

(BK)KB，(CKT)TKCT

H1H2（ 8－5－11）

由表8－1知QWWNaa，所以由极值条件0得：

H11 （8－5－12）

2H1Naa2KBT0H1KBTNaaH1代入无偏条件式：H1BH2CI得：

11

(KBTNaaBH2C)IK(IH2C)Nbb根据极值条件1T1T10得；KCT0(IH2C)Nbb

C0H2NbbCNccH2（8－5－16）

1回代K(IH2C)Nbb得：

11T111 （8－5－17）

K(IH2C)NbbNbbCNccCNbbNbb此时K表达式中已经没有未知数，将其再代入（8－5－12）式：

111T111 （8－5－18）

H1KBTNaa(NbbNbbCNccCNbb)BTNaaˆ的表达式是

ˆH1WH2WX，得参数估值向量x将（16）（18）两式代入x11T1111T1ˆ(NbbxNbbCNccCNbb)BTNaaWNbbCNccWX （8－5－19）

ˆx。于是知最小二乘估值x具有无偏和最小方差性， 与（8－2－18）式对比，知xˆ具有最小方差 三、估计量LˆLVLQATN1(WBx)LQATN1[(IBQˆˆBTN1)WBN1CTN1W]LaaaaaabbccXXXˆ是L,W,W的线性函数。设有另一个参数估值向量Lˆ是L的无偏（8－5－22）。即LX~ˆLGWGW （8－5－23） 和最小方差估计量，令其表达式是：L12XG1，G2是待定系数阵，对其取数学期望得：

~~~~ˆ)E(L)GE(W)GWLE(LGBxGCxL(G1BG2C)~x

12X12ˆ为无偏估计，必有GBGC0 （8－5－24） 若L12ˆ的方差阵ˆLGWGW应用协因数传播律，顾及到WX是非随机量，得L对L12X是：

TTTTTQLˆLˆQQLWG1G1QWLG1QWWG1QQAG1G1AQGNaaG1，

其中：QLW＝－QA，QWWNaa

它满足最小方差性，即要求：tr(QLˆLˆ)2tr(G1BG2C)KTTmin。求条件极值，得：

102QAT2G1Naa2KBT0G1(QATKBT)Naa

G102KCT0 (8-5-28)

G21把最小方差性的第一个条件所得G1表达式G1(QATKBT)Naa代入到无偏性条件式G1BG2C0中得：

111 （8－5－29）

(QATKBT)NaaBG2C0K(QATNaaBG2C)Nbb再代入最小方差性的第二个条件2KCT0，得到：

11T11T1 (8－5－30)

KCT(QATNaaBG2C)NbbC0G2QATNaaBNbbCNcc至此，已经求得第一个未知数向量G2。再回代K表达式，就得

111111T11K(QATNaaBG2C)NbbQATNaaBNbbQATNaaBNbbCNccCNbbQAT11NaaB(Nbb1TNbbC11NccCNbb)QAT1NaaBQXˆXˆ （8－5－31）

再代入28式得：

111T1T1T1G1(QATKBT)NaaQATNaaQATNaaBQXˆXˆBNaaQANaa(IBQXˆXˆBNaa)

ˆLGWGW 这就又求得了第二个未知数向量G1，将G1，G2表达式代入L12X就得到：

ˆLGWGWLQATN1(IBQˆˆBTN1)WQATN1BN1CTN1W

L12XaaaaaabbccXXXˆ满足无偏和最小方差特性，由此（8－5－33），对比（8－5－22）两式完全相同，由于Lˆ是最优估值。 证得L22ˆ0四、单位权方差估值是0的无偏估计量

ˆ 单位权方差估计公式20＝VTPV22ˆ0，现要证明E(

)0r 定理：若有服从任意分布的q维随机向量Y，其数学期望是E(Y)，方差阵是，q,q则n维随机向量Y的任一二次型的数学期望是

E(YTBY)tr(B)TB

－艾塔

－西格马

说明：含n个未知量的二次齐次式：

f(x1,x2,...,xn)a11x1a12x1x2...a1nx1xna21x2x1a22x2a2nx2xn...an1xnx1an2xnx2...annxn称为二次型，

222

a1nx1aa...a212212 设x.，B...........xnaa.annn1n2二次型可写为矩阵式：f(x1,x2,...,xn)xTBx，其中B是任一q维对称可逆方阵，为非随机量。

证明：E[(YE(Y)(YE(Y)T]E(YYT)E(Y)E(YT)

E(YTBY)E[tr(YTBY)]E[tr(YYTB)]tr[E(YYTB)]tr[(E(Y)E(YT)B)]

tr(B)tr[E(Y)E(Y)B]T

tr(B)tr[E(YT)BE(Y)]tr(B)E(YT)BE(Y)tr(B)TB 注意根据求迹的规则，tr(AB)tr(BA)，而对一阶矩阵，迹即其本身。 现在用V代替Y，P代替B，可得：E(VTPV)tr(PDVV)E(VT)PE(V)

因为：QVVQANaaAQQANaaBQXˆXˆBNaaAQ

T1T1T111T1tr(PQVV)trPQATNaaAQPQATNaaBQXˆXˆBNaaAQ11T1trATNaaAQATNaaBQXˆXˆBNaaAQT1aa1T1AQATNaaBQXˆXˆBNaatrAQANcc

T1tr(I)tr(BQXˆXˆBNaa)T1ctr(QXˆXˆBNaaB)ctr(QXˆXˆNbb)cc11T11I表示c阶单位阵，

tr(I)c，因为QXˆXˆ(NbbNbbCNccCNbb)，所以：

cc11T11tr(QXˆXˆNbb)tr(NbbNbbCNccCNbb)Nbb1T1tr(I)tr(NbbCNccC)uu11Tutr(NccCNbbC)

utr(NNcc)utr(I)ss1ccus这样最后有tr(PQVV)c(us)r，而E(V)0，那么

tr(PDVV)tr(PQVV)c(us)r202020；E(VTPV)22ˆ0，即是0的无r20偏估计量。

由于证明一，二，三，四都是由概括平差模型（附有限制条件的条件平差）推证，而其他模型可视为概括模型的特例，故上述结论使用于其他任一平差方法，从而知最小二乘平差所得估值具有优良统计性质。