2023年7月19日发(作者：)

★ 形成性考核作业 ★

离散数学作业7

姓 名：

学 号：

得 分：

教师签名：

离散数学图论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。

一、单项选择题

00100000111．设图G的邻接矩阵为10000，则G的边数为( D )．

0100101010A．5 B．6 C．3 D．4

2．设图G＝，则下列结论成立的是 ( C )．

A．deg(V)=2E B．deg(V)=E

C．deg(v)2E D．deg(v)E

vVvV3．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如下图所示，则下列结论成立的是( A )．

A．（a）是强连通的 B．（b）是强连通的

C．（c）是强连通的 D．（d）是强连通的

4．给定无向图G如右图所示，下面给出的结

点集子集中，不是点割集的为（ B ）．

A．{b, d} B．{d}

a



b



c



4题图



d



e

1 ★ 形成性考核作业 ★

C．{a, c} D．{b, e}

5．图G如右图所示，以下说法正确的是 ( C ) ．

A．{(a, c)}是割边

B．{(a, c)}是边割集

C．{(b, c)}是边割集

D．{(a, c) ,(b, c)}是边割集

6．无向图G存在欧拉通路，当且仅当(D )．

A．G中所有结点的度数全为偶数

B．G中至多有两个奇数度结点

C．G连通且所有结点的度数全为偶数

D．G连通且至多有两个奇数度结点

7．若G是一个欧拉图，则G一定是( C )．

A．平面图 B．汉密尔顿图 C．连通图 D．对偶图

8．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( A )．

A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋2

9．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( A )条边，才能确定G的一棵生成树．

A．mn1 B．mn C．mn1 D．nm1

10．已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为（B ）．

A．8 B．5 C．4 D．3

二、填空题

1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 15 ．

2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是

{f,c} ．

3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则

G的结点 度数 等于边数的两倍．

4．设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度 等于出度 ．

5．设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于 n-1 ，则在G中存在一条汉密尔顿路．

6．设无向图G＝是汉密尔顿图，则V的任意非空子集V1，都有

W(G-V1) V1．

7．设完全图Kn有n个结点(n2)，m条边，当 当m=2n 时，Kn中存在欧拉回路．

8．设图GV,E，其中Vn，Em．则图G是树当且仅当G是连通的，b



5题图

a





d



e



c

2 ★ 形成性考核作业 ★

且m n-1 ．

9．连通无向图G有6个顶点9条边，从G中删去 4 条边才有可能得到G的一棵生成树T．

10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ．

三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．(1) 如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．．

(2) 图G1，(如下图所示) 是欧拉图．

解：(1)错，图G是无向图，当且仅当G是连通的，且所有结点度数均为偶数，这里不能确定G图是否是连通的。

(2)对，由欧拉图的定理“无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇数度结点”得到，这里可找到如下一条欧拉回路v4 v5 v2

v6 v4 v1 v2 v3 v4。

2．图G2（如下图所示）不是欧拉图而是汉密尔顿图．

解：对，由欧拉图的定理“无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇数度结点”，这里结点a,b,d,f的度数都为奇数；它是汉密尔顿图，因为找到了如下一条汉密尔顿回路abefgdca。

3 ★ 形成性考核作业 ★

3．(1) 设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．

(2) 设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．

解：(1)错，没有提到面。

(2)对，由欧拉定理得到：结点-边+面=2，即为连通平面图，这里6-11+7=2

4．下图给出的树是否同构的．

解：(a)不与(b)、(c)同构，但(b)、(c)同构。

因为由图的同构相关联，得到同构的必要条件：(1)结点数目相同；(2)边数相同；(3)度数相同的结点数目相同。

4 ★ 形成性考核作业 ★

四、计算题

1．设G=，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) }，试

(1) 给出G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；

(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．

解：(1) G的图形如下

0010000110(2)G=11011

0110100110(3)v1度数为1，v2度数为2，v3度数为4，v4度数为3，v5度数为2

(4)其补图的图形如下

5 ★ 形成性考核作业 ★

2．图G=，其中V={a, b, c, d, e, f }，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e),

(c, e), (d, e), (d, f), (e, f) }，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．

(1) 画出G的图形； (2) 写出G的邻接矩阵；

(3) 求出G权最小的生成树及其权值．

解：(1) G的图形如下

011010100110100010(2)G=

010011111101000110(3)最小生成树是{(a,e),(e,c),(b,d),(d,f), (a,b)}权值为1+1+2+3+5=12

3．已知带权图G如右图所示．

(1) 求图G的最小生成树； (2)计算该生成树的权值．

6 ★ 形成性考核作业 ★

解：(1)最小生成树为{1,3,2,7,5}

(2)权值为1+2+3+5+7=18

4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．

解：(1) 相应的最优二叉树图如下

(2)由图得到最优二叉树的权为：65

7 ★ 形成性考核作业 ★

五、证明题

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．

证明：由于n是大于等于3的奇数，令n=2m+1，则完全图Kn每个结点的度数都是偶数2m，G是一个n阶无向简单图，G是G相对于完全图Kn的一个补图，若G中某个结点的度数为奇数2s+1，则它的补图G中该结点的度数为2m-(2s+1)=2(m-s-1) +1，也为奇数，所以图G有多少个度数为奇数的结点，则它的补图G中也有相同个的度数为奇数的结点。

即图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等。

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加k条边才能2使其成为欧拉图．

证明：由于是连通图并且有k个奇数度的结点，根据定理“一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数。”，就必须对图G中k个奇数度的结点添加1个度数使它成为偶数度数，一共添加了k个度数，每两个度数成为一条边，k个度数变成了所以在图G中至少要添加

k条边。

2k条边才能使其成为欧拉图。

2 8 ★ 形成性考核作业 ★

9