2024年4月6日发(作者：一键ghost重装系统)
湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高一下学期期中数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1
．复数
i
2i
（其中为数单位）的共轭复数在复平面中对应的点在（
）
1-i
B
．第二象限
D
．第四象限
A
．第一象限
C
．第三象限
v
2
．已知点
A
(
1,3
)
,B
(
4,-1
)
,
则与
uuu
AB
同方向的单位向量为
ö
-
÷
A
．
æ
ç
，
55
èø
34
43
ö
B
．
æ
-
֍
，
55
øè
34
ö
C
．
æ
-
ç
，
÷
è
55
ø
43
ö
D
．
æ
ç
-，
÷
è
55
ø
rrrr
p
3
．已知单位向量
a
，
b
的夹角为，那么
|
a
＋
2
b
|
＝（
）
3
A
．
23
C
．
27
B
．
7
D
．
43
4
．设
m
，
n
是不同的直线，
a,
b
是不同的平面，则下列命题正确的是（
）
A
．
m^n,n//
a
，则
m^
a
C
．
m^
a
,
a
^
b
，则
m//
b
B
．
m//
b
,
b
^
a
，则
m^
a
D
．
m^
a
,m^
b
，则
a
//
b
5
．在平行四边形
ABCD
中，
E
是对角线
AC
上靠近点
C
的三等分点，点
F
在
BE
上，
uuuruuur
1
uuur
x=
若
AF=xAB+AD
，则（
）
3
试卷第11页，共33页
A
．
2
3
B
．
4
5
C
．
5
6
D
．
6
7
6
．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是（
）
A
．平面
BME//
平面
CAN
C
．
B
．
AF//CN
D
．
BE
与
AN
相交
BM//
平面
EFD
7
．记
VABC
内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，点
G
是
VABC
的重心，若
BG^CG,5b=6c
则
cosA
的取值是（
）
A
．
59
75
B
．
57
75
C
．
11
15
D
．
61
75
8
．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（
semi-regularsolid
），是由边数不全相同的
正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美
.
如图所示，将正方体沿交于一顶
点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、
六个面为正方形的一种半正多面体
.
已知
AB=
32
，则该半正多面体外接球的表面积
2
为（
）
A
．
18πB
．
16πC
．
14πD
．
12π
试卷第21页，共33页
二、多选题
r
r
a=1,3,b=
(
cos
q
,sin
q
)
，则下列命题正确的有（
）
9
．已知
()
r
r
π
a
A
．若
^
b
，则
q
=
3
r
r
r
r
|a+b|=|a|+|b|
C
．存在
，使
rr
a
B
．
×b
的最大值为
2
r
r
D
．
a-b
的最大值为
3
q
10
．如图，正方体
ABCD-ABCD
中，
AB=2
，点
Q
为
B
1
C
1
的中点，点
N
为
DD
的中
1
1111
点，则下列结论正确的是（
）
A
．
CQ
与
BN
为异面直线
B
．
CQ^CD
11
C
．直线
BN
与平面
ABCD
所成角为
30°
D
．三棱锥
Q-NBC
的体积为
3
2
11
．如图，在直三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
中，
AA
1
=2
，
AB=BC=1
，
ÐABC=120°
，侧面
的对角线交点
O
，点
E
是侧棱
BB
1
上的一个动点，下列结论正确的是（
）
AAC
11
C
A
．直三棱柱的侧面积是
4+23
B
．直三棱柱的外接球表面积是
8
p
试卷第31页，共33页
C
．三棱锥
E-AAO
的体积与点
E
的位置有关
1
D
．
AE+EC
的最小值为
22
1
f
(
x
)
=sin
(
w
x+
j
)
12
．已知函数
（
w
>0
，
j
<
π
π
），
x=-
为
f
(
x
)
的零点，对任意
2
8
xÎR
3π
ö
f
(
x
)
在区间
æ
ππ
ö
上单调．则下列结论正确的，
f
(
x
)
£
f
æ
ç÷
恒成立，且
ç
-
,
÷
8
èø
è
1224
ø
是（
）
A
．
w
是奇数
C
．不存在
，使得
f
(
x
)
是偶函数
j
B
．
w
的最大值为
7
3π
ö
D
．
f
(
0
)
=
f
æ
ç÷
è
4
ø
三、填空题
13
．已知复数
z
1
=3+i
，
z=-1+3i
（
i
为虚数单位）在复平面上对应的点分别为
Z
，
2
1
Z
2
，则
VOZ
1
Z
2
的面积为
．
14
．已知直三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
的底面为直角三角形，且两直角边长分别为
1
和
23
，
此三棱柱的高为
3
，则该三棱柱的外接球的体积为
．
ruuuruuuruuuruuur
15
．已知
VABC
满足
uuu
AB×AC=(AB+AC)×BC
，则
cosC
的最小值为
．
16
．如图，
VABC
中，
M
为
AB
中点，
AB=5,CM=3,EF
为圆心为
C
、半径为
1
的圆
uuuruuur
的动直径，则
BE×AF
的取值范围是
.
试卷第41页，共33页
四、解答题
17
．已知复数
z
=
2
-
i
+
3i
.
i
（Ⅰ）求
|z|
；
（Ⅱ）若复数
z
是方程
x
2
+ax+b=0
的一个根，求实数
a
，
b
的值
.
18
．已知
VABC
的内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
ur
m
，若向量
=1,2a
，
()
r
urr
n=
(
-a,cosB
)
，且
m^n
（
1
）求角
B
（
2
）若
b=22,a=23
，求角
A
19
．如图，四棱柱
ABCD-ABCD
的底面
ABCD
是菱形，
AA^
平面
ABCD
，
AB=1
，
1
1111
AA
1
=2
，
ÐBAD=60°
，点
P
为
DD
1
的中点
.
(1)
求证：直线
BD
//
平面
PAC
；
1
(2)
求二面角
B-AC-P
的余弦值
.
1
ruuur
O
20
．如图，在
VABC
中，
D
是线段
BC
上的点，且
uuu
DC=2BD
，是线段
AD
的中点延
uuuruuuruuur
长
BO
交
AC
于
E
点，设
BO=
l
AB+
m
AC
．
试卷第51页，共33页
(1)
求
l
+
m
的值；
uuuruuur
(2)
若
VABC
为边长等于
2
的正三角形，求
OE×BC
的值．
21
．
VABC
中，已知
AB=1
，
BC=7
，
D
为
AC
上一点，
AD=2DC
，
AB^BD
.
(1)
求
BD
的长度；
(2)
若点
P
为
△ABD
外接圆上任意一点，求
PB+2PD
的最大值
.
22
．如图，在三棱台
ABC-A
1
B
1
C
1
中，底面
VABC
为等边三角形，
AA
1
^
平面
ABC
，
，其中
D
为
BC
上的点，且
DC=2BD
.
AC=2AA
1
=2AC
11
=2
(1)
求证：
AB
P
平面
ACD
；
1
1
(2)
求平面
ABC
与平面
AACC
夹角的余弦值
.
1
11
试卷第61页，共33页
参考答案：
1
．
C
【分析】根据复数的除法以及共轭复数的概念结合复数的几何意义，即可得答案
.
2i2i(1+i)
==-
1
+
i
，
1
-
i2
【详解】由题意得
故复数
(-1,-1)
-1-i
2i
的共轭复数为，对应的点为，在第三象限，
1-i
故选：
C
2
．
A
uuur
uuur
【详解】试题分析：
AB=(4-1,-1-3)=(3,-4)
,
所以与
AB
同方向的单位向量为
uuur
34
r
AB1
e
=
uuur
=
(3,
-
4)
=
(,
-
)
，故选
A.
55
AB
5
考点：向量运算及相关概念
.
3
．
B
【分析】对式子先平方后开方可得结果
.
rrrrrr
p
1
【详解】由题可知：
a
=
b
=
1,a
×
b
=
a
×
b
×
cos
=
32
所以
(
rr
a+2b
)
2
r
2
r
2
rr
=a+4b+4a×b=7
故选：
B
4
．
D
【分析】举例说明判断
ABC
；利用线面垂直的性质判断
D
作答
.
【详解】对于
A
，在长方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，平面
ABCD
为平面
a
，
A
1
B
1
,B
1
C
1
分别为直
线
m,n
，
答案第11页，共22页
显然满足
m^n,n//
a
，而
m//
a
，此时
m^
a
不成立，
A
错误；
对于
B
，在长方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，平面
ABCD
，平面
CDD
1
C
1
分别为平面
a
,
b
，
A
1
B
1
为
直线
m
，
显然满足
m//
b
,
b
^
a
，而
m//
a
，此时
m^
a
不成立，
B
错误；
对于
C
，在长方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，平面
ABCD
，平面
CDD
1
C
1
分别为平面
a
,
b
，
CC
1
为
直线
m
，
显然满足
m^
a
,
a
^
b
，而
mÌ
b
，此时
m//
b
不成立，
C
错误；
对于
D
，因为
m^
a
,m^
b
，由线面垂直的性质知，
a
//
b
，
D
正确
.
故选：
D
5
．
C
【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即
可
.
uuur
2
uuuruuur
【详解】由题可知
AE=AB+AD
，
3
()
∵点
F
在
BE
上，
uuuruuuruuur
∴
AF=
l
AB+
(
1-
l
)
AE
，
uuurr
æ
22
ö
uuur
21
ö
uuu
∴
AF
=
æ
AB
+
ç
-
l
÷
AD
．
+
l
ç÷
33
èøè
33
ø
答案第21页，共22页
221
1
∴
-
l
=
，
l
=
．
333
2
∴
x=
2115
+´=
．
3326
故选：
C
．
6
．
A
【解析】将正方体的平面展开图复原为几何图形，进而判断选项的正误即可
.
【详解】解：将正方体的平面展开图复原为几何图形，
选项
A
，如图可知
AN//BM
，且
BM
Ì
平面
BME
，
AN//
平面
BME
，
NC//BE
，且
BEÌ
平面
BME
，
NC//
平面
BME
，所以平面
BME//
平面
CAN
，故正确
.
选项
B
，如图，可知
AF
与
CN
为异面直线，不平行，故错误
.
选项
C
，如图可知平面
EFD
与
BM
会相交，并不平行，故错误
.
答案第31页，共22页
选项
D
，如图可知
BE
与
AN
为异面直线，不相交，故错误
.
故选：
A.
【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系，考查空间想象能
力，属于基础题
.
7
．
D
uuur
1
uuuruuur
【分析】利用平向向量的线性运算得到
AM=AB+AC
，再由直角三角形斜边中线是斜
2
()
边的一半与三角形重心的性质求得
AM=
3
a
，从而利用平面向量的数量积运算得到
2
9a
2
=c
2
+b
2
+2bccosA
，结合余弦定理整理得
2c
2
+2b
2
-5bccosA=0
，从而求得
cosA=
61
.
75
【详解】依题意，作出图形，
答案第41页，共22页
因为点
G
是
VABC
的重心，所以
M
是
BC
uuur
1
uuuruuur
的中点，故
AM=AB+AC
，
2
()
uuuruuuruuur
由已知得
BC=a,AC=b,AB=c
，
因为
BG^CG
，所以
GM=
11
BC=a
，
22
又因为点
G
是
VABC
的重心，所以
GM=
113
GA
，则
AM=a+a=a
，
222
222
uuuur
2
1
uuuruuur
2
91
又因为
AM=AB+AC
，所以
a
2
=c
2
+b
2
+2bccosA
，则
9a=c+b+2bccosA
，
44
4
()
()
又由余弦定理得
a
2
=c
2
+b
2
-2bccosA
，所以
9c
2
+b
2
-2bccosA=c
2
+b
2
+2bccosA
，整
()
理得
2c
2
+2b
2
-5bccosA=0
，
因为
5b=6c
，令
b=6k
(
k>0
)
，则
c=5k
，
所以
2´
(
5k
)
2
+2´
(
6k
)
2
-5´
(
6k
)
´
(
5k
)
cosA=0
，
则
cosA=
故选：
D.
12261
.
=
15075
.
答案第51页，共22页
8
．
A
【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心
O
，进而
可求球的半径和表面积
.
【详解】如图，在正方体
EFGH-E
1
F
1
G
1
H
1
中，取正方体、正方形
E
1
F
1
G
1
H
1
的中心
O
、
O
1
，
连接
E
1
G
1
,OO
1
,OA,O
1
A
，
∵
A,B
分别为
E
1
H
1
,H
1
G
1
的中点，则
EG=2AB=32
，
11
∴正方体的边长为
EF=3
，
故
OO
1
=O
1
A=
3
，可得
OA=OO
2
+OA
2
=
32
，
11
2
2
根据对称性可知：点
O
到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心
为
O
，半径
R=OA=
32
，
2
2
æ
32
ö
2
S
=
4π4π18πR
=´
ç
故该半正多面体外接球的表面积为
ç
2
÷
÷
=
èø
故选：
A.
.
9
．
BCD
rr
r
r
r
r
【分析】根据向量的数量积公式即可求解
AB
，当
a,b
同向时，则有
|a+b|=|a|+|b|
，将
答案第61页，共22页
r
r
a-b
转化为三角函数的最值问题即可求解
.
【详解】依题意，
r
r
r
r
对于
A
：
a^bÞa×b=0
，
π
ö
r
r
即
a
×
b
=
1,3
×
(
cos
q
,sin
q
)
=
3sin
q
+
cos
q=
2sin
æ
ç
q
+
÷
=
0
，
6
øè
()
所以
q
+
ππ
=kπ,
(
kÎZπZ
)
Þ
q
=k-
(
kÎ
66
)
，故
A
错误；
r
r
π
ö
对于
B
：由
A
知
a
×
b
=
2sin
æ
ç
q
+
÷
，
6
øè
所以当
q
+
πππ
=+2π,k
(
kÎZ
)
Þ
q
=2πZk+
(
kÎ
623
)
时，
有最大值
2
，故
B
正确；
π
r
æ
13
ö
r
时，
a
，
=
1,3,b
=
ç
3
ç
2
,
2
÷
÷
èø
对于
C
：当
q
=
()
æ
13
öæ
333
ö
，
r
r
a
+
b
=
1,3
+
ç
ç
2
,
2
÷
÷
=
ç
ç
2
,
2
÷
÷
èøèø
()
2
r
r
æ
3
ö
æ
33
ö
所以
|a
+
b|
=
ç÷
+
ç÷
÷
=
3
，
2
è
2
ø
ç
èø
2
r
a
=
1
+
(
3
)
2
2
r
æ
1
ö
æ
3
ö
，
=
2,b
=
ç÷
+
ç÷
÷
=
1
2
è
2
ø
ç
èø
2
r
r
r
r
所以
|a+b|=|a|+|b|
，故
C
正确；
r
r
对于
D
：
a-b=1,3-
(
cos
q
,sin
q
)
=1-cos
q
,3-sin
q
，
()()
答案第71页，共22页
r
r
2
2
所以
a-b=
(
1-cos
q
)
+
(
3-sin
q
)
2
=
π
öæ
5
-
23sin
q
+
2cos
q
=
5
-
4sin
ç
q
+
÷
，
6
øè
()
π
ö
当
sin
æ
q
+
ç÷
=-
1
，
6
øè
ππ2π
=-+2π,k
(
kÎZ
62
即
q
+
)
Þ
q
=-
3
+2π,kÎ
)
时，
(
kZ
r
r
r
r
2
a
a-b
取得最大值
9
，所以
-b
的最大值为
3
，故
D
正确
.
故选：
BCD.
10
．
AB
【分析】对
A
，直接观察判断即可；对
B
，根据
C
1
D
1
^
平面
BCC
1
B
1
判断即可；对
C
，根据
线面角的定义，结合直角三角形的性质求解即可；对
D
，利用等体积法
V
Q
-
NBC
=
V
N
-
QBC
求解
即可
.
【详解】对
A
，由图可得，
C,Q,B
共面，且
N
不在平面内，则
CQ
与
BN
为异面直线
,
故
A
正确；
对
B
，由正方体性质可得
C
1
D
1
^
平面
BCC
1
B
1
，又
CQ
Ì
平面
BCC
1
B
1
，故
C
1
D
1
^CQ
,
故
B
正
确；
对
C
，由
ND^
平面
ABCD
可得直线
BN
与平面
ABCD
所成角为
ÐNBD
，
又
AB=AD=2
，则
BD=22,ND=1
，
ÐNBD¹30°
故
tanÐNBD=
1
=
2
，故，故
C
错误；
4
22
答案第81页，共22页
1114
对
D
，
V
Q
-
NBC
=
V
N
-
QBC
=
S
V
QBC
·2D
1
C2
=
2
´´´´=，故
D
错误
.
1
3323
故选：
AB
11
．
ABD
【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断
A
；讲直棱柱放在圆柱中，求
出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断
B
；由棱
锥底面积与高为定值判断
C
；将侧面展开即可求出最小值判断
D
．
【详解】在直三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
中，
AA
1
=2
，
AB=BC=1
，
Ð
ABC
=
120
°
,
则
AC=3
，底面
ABC
和
A
1
B
1
C
1
是等腰三角形，侧面全是矩形，
所以其侧面积为
1
×
2
×
2+
3´2=4+23
，故
A
正确；
r
设底面外接圆半径为，即
2r=
3
，即
r=1
，
sin120
o
所以直棱柱的外接球半径
R=1
2
+1
2
=2
，
直三棱柱的外接球表面积为
S=4
p
R
2
=8
p
，故
B
正确；
答案第91页，共22页
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