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1992年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）

1．（3分）

A ．

的值是（ ）

B． 1 C．

D． 2

2．（3分）如果函数y=sin（ωx）cos（ωx）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ）

A ． 4 B． 2 C．

D．

3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ）

A ． 2 B． C． 1 D．

4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x的一个解是（ ）

A ． 10° B． 20° C． 50° D． 70°

5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是

（ ）

A ． 6：5 B． 5：4 C． 4：3 D． 3：2

6．（3分）图中曲线是幂函数y=x

n

在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线c

1

、

c

2

、c

3

、c

4

的n依次为（ ）

A ． B． D．

﹣2，﹣，，2，，﹣，

C．

﹣，﹣2，2，2，，﹣2，

2 ﹣2

﹣

7．（3分）若log

a

2＜log

b

2＜0，则（ ）

A ． 0＜a＜b＜1 B． 0＜b＜a＜1 C． a＞b＞1

8．（3分）直线

D． b＞a＞1

（t为参数）的倾斜角是（ ）

A ． 20° B． 70° C． 45° D． 135°

9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）

A ． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

10．（3分）圆心在抛物线y

2

=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）

A ． x

2

+y

2

﹣x﹣2yB． x

2

+y

2

+x﹣C． x

2

+y

2

﹣x﹣D． x

2

+y

2

﹣x﹣

2y+1=0 2y+1=0

﹣=0 2y+=0

11．（3分）在（x

2

+3x+2）

5

的展开式中x的系数为（ ）

A ． 160 B． 240 C． 360 D． 800

12．（3分）若0＜a＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a的x的范围是（ ）

A ． [0，arcsina] B． [arcsina，π﹣arcsina]

C ． [π﹣arcsina，D．

[arcsina，+arcsina]

π]

13．（3分）已知直线l

1

和l

2

的夹角平分线为y=x，如果l

1

的方程是ax+by+c=0，那么直线l

2

的方程为

（ ）

A ． bx+ay+c=0 B． ax﹣by+c=0 C． bx+ay﹣c=0 D． bx﹣ay+c=0

14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

中，M和N分别为A

1

B

1

和BB

1

的中点，那么直

线AM与CN所成角的余弦值是（ ）

A ．

B．

C．

D．

15．（3分）已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（ ）

A ． 1 B． 2 C． D． 3

16．（3分）函数y=的反函数（ ）

A ． 是奇函数，它B． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数

在（0，+∞）

上是减函数

C ． 是奇函数，它D． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）

上是增函数

17．（3分）如果函数f（x）=x

2

+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），那么（ ）

A ． f（2）＜f（1）B． f（1）＜f（2）C． f（2）＜f（4）D． f（4）＜f（2）

＜f（4） ＜f（4） ＜f（1） ＜f（1）

18．（3分）长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）

A ． B． C． 5 D． 6

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

19．（3分）方程的解是 _________ ．

20．（3分）sin15°sin75°的值是 _________ ．

21．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值

为 _________ ．

22．（3分）焦点为F

1

（﹣2，0）和F

2

（6，0），离心率为2的双曲线的方程是

_________ ．

23．（3分）（2009•东城区模拟）已知等差数列{a

n

}的公差d≠0，且a

1

，a

3

，a

9

成等比数列，则

的值是

_________ ．

三、解答题（共5小题，满分51分）

24．（10分）已知z∈C，解方程z﹣3i=1+3i．

25．（10分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．

26．（10分）已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA

1

的长度为d．在直线a、b

上分别取点E、F，设A

1

E=m，AF=n．求证：EF=．

27．（10分）设等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

．已知a

3

=12，S

12

＞0，S

13

＜0．

（1）求公差d的取值范围．

（2）指出S

1

，S

2

，…，S

12

中哪一个值最大，并说明理由．

28．（11分）已知椭圆（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴

相交于点P（x

0

，0）．证明

．

1992年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）

1．（3分）

A ．

考点：

分析：

解答：

解：．

的值是（ ）

B． 1 C．

D． 2

对数的运算性质．

根据，从而得到答案．

点评：

2．（3分）如果函数y=sin（ωx）cos（ωx）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ）

A ． 4 B． 2 C．

D．

考点：

分析：

解答：

二倍角的正弦．

逆用二倍角正弦公式，得到y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再利用正弦周期公式和周期是求出ω

的值

解：∵y=sin（ωx）cos（ωx）=sin（2ωx），

∴T=2π÷2ω=4π

∴ω=，

故选D

二倍角公式是高考中常考到的知识点，特别是余弦角的二倍角公式，对它们正用、逆用、变形

用都要熟悉，本题还考的周期的公式求法，记住公式，是解题的关键，注意ω的正负，要加

绝对值．

故选A．

本题考查对数的运算性质．

点评：

3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ）

2 B． C． 1

A ． D．

考点：

简单曲线的极坐标方程．

专题： 计算题．

分析： 先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ

2

=x

2

+y

2

，将极坐标方程为ρ=cosθ

和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即

得．

解答：

解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x

2

+y

2

﹣x=0，其圆心是A（，0），

由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x

2

+y

2

﹣y=0，其圆心是B（0，），

由两点间的距离公式，得AB=

点评：

，

故选D．

本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等

基本方法，我们要给予重视．

4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x的一个解是（ ）

A ． 10° B． 20° C． 50° D． 70°

考点： 两角和与差的正弦函数．

分析： 把原式移项整理，逆用两角和的正弦公式，解一个正弦值为零的三角函数方程对应的解，写出

所有的解，选择一个合适的，因为是选择题，也可以代入选项验证．

解答： 解：∵sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x，

∴sin4xcos5x+cos4xsin5x=0，

∴sin（4x+5x）=0，

∴sin9x=0，

∴9x=kπ，k∈Z，

∴x=20°

故选B．

点评： 抓住公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的

结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点，对公式的逆用公式，变形式也要熟悉．

5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是

（ ）

A ． 6：5 B． 5：4 C． 4：3 D． 3：2

考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

专题： 计算题．

分析： 设圆柱的底面半径，求出圆柱的全面积以及球的表面积，即可推出结果．

解答： 解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的全面积是：2πr

2

+2rπ×2r=6πr

2

球的全面积是：4πr

2

，所以圆柱的全面积与球的表面积的比：3：2

故选D．

点评： 本题考查旋转体的表面积，是基础题．

6．（3分）图中曲线是幂函数y=x

n

在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线c

1

、

c

2

、c

3

、c

4

的n依次为（ ）

A ． B． D．

﹣2，﹣，，2，，﹣，

C．

﹣，﹣2，2，2，，﹣2，

2

考点：

专题：

分析：

解答：

﹣2

﹣

幂函数的图像．

阅读型．

由题中条件：“n取±2，±四个值”，依据幂函数y=x

n

的性质，在第一象限内的图象特征可得．

解：根据幂函数y=x

n

的性质，在第一象限内的图象，n越大，递增速度越快，

故曲线c

1

的n=﹣2，曲线c

2

的n=，c

3

的n=，

曲线c

4

的n=2，故依次填﹣2，﹣，，2．

点评：

故选A．

幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语

言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x来刻画其它幂函

数在第一象限的凸向．

7．（3分）若log

a

2＜log

b

2＜0，则（ ）

A ． 0＜a＜b＜1 B． 0＜b＜a＜1 C． a＞b＞1 D． b＞a＞1

考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

专题： 计算题．

分析： 利用对数的换底公式，将题中条件：“log

a

2＜log

b

2＜0，”转化成同底数对数进行比较即可．

解答： 解：∵log

a

2＜log

b

2＜0，

由对数换底公式得：

∴

点评：

∴0＞log

2

a＞log

2

b

∴根据对数的性质得：

∴0＜b＜a＜1．

故选B．

本题主要考查对数函数的性质，对数函数是许多知识的交汇点，是历年高考的必考内容，在高

考中主要考查：定义域、值域、图象、对数方程、对数不等式、对数函数的主要性质（单调性

等）及这些知识的综合运用．

8．（3分）直线

A ． 20°

考点：

专题：

分析：

B． 70°

直线的参数方程．

计算题．

已知直线

角．

解答：

解：∵直线（t为参数）

（t为参数）再将直线先化为一般方程坐标，然后再计算直线l的倾斜

（t为参数）的倾斜角是（ ）

C． 45° D． 135°

点评：

∴x﹣3=tsin20°，y=﹣tsin20°，

∴x+y﹣3=0，

∴直线倾斜角是135°，

故选D．

此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方

程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．

9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）

A ． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 棱锥的结构特征．

专题： 作图题．

分析： 借助长方体的一个顶点画出图形，不难解答本题．

解答： 解：如图底面是矩形，一条侧棱垂直底面，

那么它的四个侧面都是直角三角形．

故选D．

点评： 本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，要求学生心中有图，是基础题．

10．（3分）圆心在抛物线y

2

=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）

A ． x

2

+y

2

﹣x﹣2yB． x

2

+y

2

+x﹣C． x

2

+y

2

﹣x﹣D． x

2

+y

2

﹣x﹣

2y+1=0 2y+1=0

﹣=0 2y+=0

考点： 圆的一般方程．

分析：

解答：

所求圆圆心在抛物线y

2

=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，

圆心、半径可得结果．

解：圆心在抛物线y

2

=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线

的定义可知，

所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心（，1），半径是1，所以排除A、B、C．

故选D．

本题考查圆的方程，抛物线的定义，考查数形结合、转化的数学思想，是中档题． 点评：

11．（3分）在（x

2

+3x+2）

5

的展开式中x的系数为（ ）

A ． 160 B． 240 C． 360 D． 800

考点： 二项式定理的应用．

专题： 计算题．

分析： 利用分步乘法原理：展开式中的项是由5个多项式各出一个乘起来的积，展开式中x的系数是

5个多项式仅一个多项式出3x，其它4个都出2组成．

5

解答： 解：（x

2

+3x+2）展开式的含x的项是由5个多项式在按多项式乘法展开时仅一个多项式出3x，

其它4个都出2

∴展开式中x的系数为C

5

1

•3•2

4

=240

故选项为B

点评： 本题考查二项式定理的推导依据：分步乘法计数原理，也是求展开式有关问题的方法．

12．（3分）若0＜a＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a的x的范围是（ ）

A ． [0，arcsina] B． [arcsina，π﹣arcsina]

C ． [π﹣arcsina，D．

[arcsina，+arcsina]

π]

考点： 正弦函数的图象；反三角函数的运用．

分析： 在同一坐标系中画出y=sinx、y=a，根据sinx≥a即可得到答案．

解答： 解：由题可知，如图示，当sinx≥a时，arcsina≤x≤π﹣arcsina

故选B．

点评：

13．（3分）已知直线l

1

和l

2

的夹角平分线为y=x，如果l

1

的方程是ax+by+c=0，那么直线l

2

的方程为

（ ）

A ． bx+ay+c=0 B． ax﹣by+c=0 C． bx+ay﹣c=0 D． bx﹣ay+c=0

考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程．

专题： 计算题．

分析： 因为由题意知，直线l

1

和l

2

关于直线y=x对称，故把l

1

的方程中的x 和y交换位置即得直线

l

2

的方程．

解答： 解：因为夹角平分线为y=x，所以直线l

1

和l

2

关于直线y=x对称，

故l

2

的方程为 bx+ay+c=0．

本题主要考查三角函数的图象问题．三角函数的图象和性质是高考热点问题，要给予重视．