2024年3月8日发(作者：佳能ip1180)

第四章 x2检验

一． 本章教学简介

本章介绍第二个统计推断工具，非参数检验类的X2检验，内容包括X2检验的性质、原理、类型、方法和应用。

本章重点是X2检验两种类型的应用，难点是X2检验的原理。

本章要求学员学习后能了解X2检验的性质和原理，掌握X2检验的生物学应用，能熟练使用计算器解题，有条件的学员能用电脑SPSS操作，并将结果进行比较。

教材提示：教材77－85页详细阅读。

二．本章教学内容

一．适用特征和功效

1．适用特征：

(1) 样本资料为非连续性变量（离散量资料，或称计数性资料）；

(2) 总体分布未知；

(3) 非参数性检验，而是分布性检验。

2．功效：

基于非连续性变量（即计数性资料）的非参数检验。

说明：对质量性状的资料研究常用方法，比数量性状资料研究难。

x2检验，平均数对它无意义，属于非参数性的属性检验，适合对质量性状的检验，对原始数据的要求比t检验低，原始数据即观察数往往只是归类计数的频次，都是整数，无分数小数。

二．类型

1．适合性（符合性，拟合优度）检验：判断Oi与Ei是否一致。

2．独立性检验：通过Oi与Ei是否一致来判断因素之间是否独立。

三．原理和方法

㈠适合性检验

Oi ：观察数（实际数）

Ei ：期望数（理论数）

适合性检验就是检验Oi与Ei是否一致（即是否有显著差异），解决Oi与Ei是否在统计学意义上相等的问题。

适合性检验的方法也是典型的统计检验“五步法”。

1．H0(无效假设)： Oi=Ei （或Oi－Ei＝0）

2．建立适当的分布（x2分布）并计算：

x2c =∑(Oi-Ei)2/Ei

df=n-1 适合性检验中df等于相加项数-1

3．查表： x20.05(df)= ? x20.01(df)= ?

4．比较：

（1）当 x2c〈 x20.05 ，接受H0, Oi与Ei无显著差异，P>0.05

（2）当 x20.05〈 x2c〈x20.01 ，拒绝H0 ,Oi与Ei有显著差异，P<0.05

1 / 12

（3）当 x2c〉x20.01 ，拒绝H0 ,Oi与Ei有极其显著差异，P<0.01

5．结论

例1．豌豆杂交试验得到80朵黄花，34朵白花，问此结果是否符合3∶1的分离规律？

解： 已知 O1=80 O2=34

根据3∶1规律求出：E1=（80＋34）*3/4=85.500，

E2=（80＋34）*1/4=28.500

(Ei可以而且应当有小数，保留位数一般应比后面比较的临界值多1位)

1．H0(无效假设)： Oi=Ei （或Oi－Ei＝0）

2．建立适当的分布（x2分布）并计算：

x2c=∑(Oi-Ei)2/Ei= （80-85.5）2/85.5+(34-28.5)2/28.5=1.43

22 （xc

即x实际结果数小数位数应与比较的临界值一致）

df=2-1=1

(自由度等于相加项数-1)

3．查表： x20.05(df)= ? x20.01(df)= ?

经查表知：x20.05(1)=3.84 , x20.01(1)=6.63

4．比较：

∵ x2c< x20.05(1) ，∴ 接受H0 , Oi与Ei无显著差异，P>0.05

（属于比较的第（1）种情况）

5．结论：试验结果符合3：1的分离规律。

当堂练习1：

教材79页例6.2，请学员参照上述“五部法”独立完成本题，并将结果与教材上的例题解答进行比较核对。

回家作业：教材85页第5题。

（二）独立性检验

独立性检验的功效就是通过Oi与Ei是否一致来判断因素之间是否独立。

例2．为试验某新药抗癌效果，进行动物荷瘤试验，结果如下：

康复 死亡

用药组 28 32

非用药组 16 40

问此药是否有效?

解：独立性检验的步骤也是“五部法”。

1．H0 : Oi=Ei

现已知 O11=28 O12=32

O21=16 O22=40

如何找到Ei？

一般的方法是用“混合比例法”，将已知Oij行列求和。

康复 死亡

用药组 O11=28 O12=32 t1= O11+ O12=60

非用药组 O21=16 O22=40 t2= O21+ O22=56

C1= O11+ O21=44 C2= O12+ O22=72 T= t1+ t2=116

用比例公式求得：E11=60*44/116=22.759， E12=60*72/116=37.241

2 / 12

E21=56*44/116=21.241， E22=56*72/116=34.759

2．建立适当的分布（x2分布）并计算：

计算x2

x2 =∑(Ei-Oi)2/Ei =（28－22.759）2 /22.759+（32－37.241）2

/37.241+（16－21.241）2 /21.241+（40－34.759）2 /34.759=4.0279≈4.03

计算自由度：

df=(m-1)(n-1)=(2-1)(2-1)=1

3．查表知：x20.05(1)=3.84 x20.01（1）=6.63

4．比较：

∵ x20.05(1)

< x2

< x20.01（1），∴拒绝H0

，Oi与Ei 有显著差异，P<0.05,

即用药与康复两因素不独立（有关联作用）。

5．结论：此药是有效的。

当堂练习2：

教材80页例6.3，请学员参照上述“五部法”独立完成本题，并将结果与教材上的例题解答进行比较核对。

回家作业：教材84页第1，2，3，4题。

四．修正公式和简捷公式

（一）df=1 的修正

x2检验中自由度=1时，若x2

的值与3.84很接近，特别有必要进行修正，以减少范错误的风险。

22

x修=∑(|Oi-Ei|-0.5)2/Ei

x修

所得的值比x2c

的值小。

（二）2*2

独立性检验简捷公式

x2简=（O11*O22-O12*O21）2T/t1t2C1C2

x2简修=( |O11*O22-O12*O21|-T/2)2T/ t1t2C1C2

参阅教材83页。

如再对例2进行简捷计算：

用x2简

公式计算x2c＝4.03,与上面“五部法”的结果和结论相同。

22

用x简修公式计算xc＝3.30，

此时∵x2c< x20.05

,∴接受H0，Oi与Ei 无显著差异，P>0.05,

即用药与康复两因素独立（无关联作用）。

结论：此药是无效的。

此结论与上面“五部法”的结论不同，应当说，经过修正的检验结论更可靠。

建议学员以后碰到df=1的x2检验尽量运用修正公式。

（三） m*n独立性检验的简捷运算

3 / 12

O11

O21

…

Om1

C1

O12

O22

…

Om2

C2

O13

O23

…

Om3

C3

…

…

…

…

…

O1n

O2n

…

Om4

Cn

t1

t2

…

tm

T

x2 =T(∑∑Oij2/tiCj －1)

说明：独立性检验随着行列数m、n的增大，计算Eij的工作量会随之增大，且易出错，此时可用上述简捷运算公式。

教学建议：建议在用“五部法”完成84页作业1、3、4题后，再用此简捷公式计算，比较两者的结果是否一样。（答案：应该一样）

四．计算机SPSS的X2检验

（一）计算机SPSS的x2适合性检验

1．设定数据库变量（原始数据不能有小数点）

变量Oi, 设为数字型。

2．输入数据

如上面例1： Oi

34

80

3．加权处理 Date---Weight Case By Oi

4．命令执行 Analyze----Nonparametric Tests---Chi-square

具体操作可参阅教材176－177页内容。

演示例1。

（二）计算机SPSS的X2独立性检验

1．设定数据库变量（原始数据不能有小数点）

VA ： 行变量 ，数字型，宽度一位

VB ： 列变量 ，数字型，宽度一位

VC

： 因变量（观察数），数字型，宽度由最大观察数位数决定。

2． 输入数据，建立数据库

如上面例2：

VA VB VC

1 1 28

1 2 32

2 1 16

2 2 40

3．加权处理 Date---Weight Case By Vc

4．统计命令执行

Analyze----Descriptive Statistics---Crosstabs

具体操作可参阅教材178－180页内容。

4 / 12

演示例2。

第五章 方差分析

一． 本章教学简介

本章介绍第三个重要统计推断工具，参数检验类的方差分析，内容包括方差分析的功效、性质、原理、类型、方法和应用。

本章重点是单因素方差分析的应用，难点是方差分析的计算，尤其是双因素方差分析。

本章要求学员学习后能了解方差分析的性质和原理，掌握方差分析的生物学应用，能熟练使用计算器解题，有条件的学员能用电脑SPSS操作，并将结果进行比较。

教材提示：教材86－105页详细阅读。

二．本章教学内容

一．意义义和功效

方差分析是参数检验，是对多个（三个和三个以上）平均数的比较检验。

1．意义：有了t检验，为何还要引入方差分析？

方差分析是解决多个平均数的比较。若10个平均数，用t检验两两检验，需次数C102=45次，若取α=0.05

则： 1次 准确率 0.95 错误率 1－0.95＝0.05

2次 准确率 0.952

错误率 1-0.952

3次 准确率 0.953

错误率 1-0.953

… … …

45次 准确率 0.9545=0.09944 错误率 1-0.9545=0.90056

从以上可见，t检验随次数的增加，准确率下降，t检验达多次重复以后，可靠性无法保证，所以t检验只适合两个平均数的比较。因此，为了解决多个平均数的比较，引入方差分析。

2．功效：方差分析不仅能检验多个平均数是否存在差异，同时还能分析差异的来源和原因。

二．类型

⑴ 单因素方差分析 a：n相等 b：n不相等

⑵ 双因素方差分析 a：n=1 b：n>1 (n相等 和n不相等)

⑶ 多因素方差分析

三．原理和步骤

㈠ 单因素方差分析

⑴ 单因素方差分析（n相等）

5 / 12

例：某学校有四个平行班进行生物统测，结果如下：

甲班

乙班

丙班

丁班

学生成绩

80

66

70

80

TA1(表甲组成绩之和)

TA2(表乙组成绩之和)

TA3(表丙组成绩之和)

TA4(表丁组成绩之和)

68

55

80

70

72

70

82

72

72

62

75

68

66

63

72

69

问四个班平均成绩是否有显著差异？

解：① H0

x1= x2=…xk

② 平方和和自由度分析

总体平方和： SST

=∑∑(xij-x总)2=∑xi2-(∑xi)2/N =∑xi2-T2/N

T 为所有数之和 ，令 C= T2/N (C为校正系数)

SST

= ∑xi2-C dfT=N-1

组间平方和：SSA=∑TAi2/n-C dfA=k-1

组内平方和：SSe= SST-SSA dfe=dfT- dfA

③计算方差

SA2(组间方差)=SSA/dfA Se2(组内方差)=SSe/dfe

① F检验

Fc= SA2/ Se2

② 查 Fa

F0.05(dfA，dfe)= ？

F0.01(dfA，dfe)= ?

③ 比较：

a．当 Fc≤F0.05(dfA，dfe) , 接受H0 ,各组均值无显著差异（P>0.05）

b．当F0.05(dfA，dfe)< Fc< F0.01(dfA，dfe) ,拒绝H0，各组均值有显著差

异，（P<0.05）。

c．当 Fc> F0.01(dfA，dfe),

拒绝H0，各组均值有极其显著差异，（P<0.01）。

④ 多重比较

⑤ 结论

例子中：TA1=358

TA2=316

TA3=379

TA4=359

C=(358+316+379+359)2/20=99687.2

SST

= ∑xi2-C=100544-99687.2=856.8 dfT=19

SSA=∑TAi2/n-C=425.2 dfA=4-1=3

SSe=856.8-425.2=435.6 dfe=19-3=16

SA2=SSA/dfA=425.2/3=140.4

Se2=SSe/dfe=435.6/16=27.225

Fc= SA2/ Se2=140.4/27.225=5.16

查表知： F0.05（3，16）=3.24 F0.01(3,16)=5.29

所以 F0.05（3，16）< Fc< F0.01(3,16) 拒绝H0，各组均值有显著差异

3． 多重比较

6 / 12

⑴ 功效：通过各组的比较，进一步分析变异的来源和原因。

⑵ 表示方法类型： 三角形法，连线法，符号法等。

⑶ 检验方法类型：

1．LSD法（最小显著差数表）

例：书192页

A 74 82 70 76 A组Xi平均值 75.5

B 88 80 85 83 B组Xi平均值84

C 71 73 74 70 C组Xi平均值72

LSD法：

C A

Xi平均 Xi平均-72 Xi平均-75.5

XB平均=84 12 8．5

XA平均=75.5 3.5 0

XC平均=72 0 -3.5

LSD=ta(dfe)sqrt(2 Se2/n)

LSD0.05=t0.05(9)sqrt(2*13.222/4)=2.262*2.571=5.816

LSD0.01=t0.01(9)sqrt(2*13.222/4)=3.250*2.571=8.356

若：平方数差异〉LSD0.01 则打“**”表有极其显著差异

LSD0.05〈平方数差异〈LSD0.01 则打“*”表有显著差异

平方数差异〈LSD0.05，不做标记，表无显著差异

所以例题中：除A.C组外，其他各组均有极其显著差异

⑵ 单因素方差分析（n不相等）

① H0 x1= x2=…＝xk

② C=T2/N N为总体个数

总体平方和： SST

= ∑xi2-C dfT=N-1

组间平方和：SSA=∑TAi2/ni-C dfA=k-1

组内平方和：SSe= SST-SSA dfe=dfT- dfA

③计算方差

SA2(组间方差)=SSA/dfA Se2(组内方差)=SSe/dfe

④检验

Fc= SA2/ Se2

⑤查 Fa

F0.05(dfA，dfe)= ？

F0.01(dfA，dfe)= ?

⑥ 比较：

a: Fc≤F0.05(dfA，dfe) , 接受H0 ,各组均值无显著差异（P>0.05）

b: F0.05(dfA，dfe)< Fc< F0.01(dfA，dfe) ,拒绝H0，各组均值有显著差异

7 / 12

（P<0.05）

c: Fc> F0.01(dfA，dfe), 拒绝H0，各组均值有极其显著差异（P<0.01）

⑦ 多重比较（若有显著差异）

LSD=ta(dfe)sqrt(2 Se2/n0)

n0=1/(k-1)(∑ni-∑ni2/∑ni)

⑶ SPSS中的单因素方差分析操作

① 数据库建立

a．变量设定：VA 行变量

VB 列变量

VC

因变量

b．输入

② 主命令 Analyze—Compare Means---One Way ANOVA (Analyze of variance)

若要进行多重比较，主命令为Analyze—Compare Means---One Way

ANOVA—POST---LSD Multiple Comparisions

㈡ 双因素方差分析

⑴ n=1

例：四种不同品系的小鼠注射三种不同计量性激素，两周各称重，结果如下：

（横向 ：B因素）m 组

计量0.2 计量0.4 计量0.8

品系 1 106 116 145

品系 2 42 68 115

品系 3 70 111 133

品系 4 42 63 87

纵向：A因素 k组

做题思路：

① H0 ： A向k组 B向m组

x1= x2=… xk

x1=x2=…xm

② SS与df分析：

C= T2/N (C为校正系数)

SST

= ∑xi2-C dfT=N-1

SSA=∑TAi2/mn-C dfA=k-1

SSB=∑TBi2/kn-C dfB=m-1

SSe= SST-SSA-SSB dfe=dfT- dfA-dfB

③ 计算方差

SA2(组间方差)=SSA/dfA SB2(组间方差)=SSB/dfB Se2(组内方差)=SSe/dfe

④ 检验：

FA= SA2/ Se2

FB= SB2/ Se2

⑤ 查表

A向： F0.05(dfA，dfe)= ？ F0.01(dfA，dfe)= ?

B向： F0.05(dfB，dfe)= ？F0.01(dfB，dfe)= ?

⑥ 比较：

A向： a:当 Fc≤F0.05(dfA，dfe) , 接受H0 ,各组均值无显著差异（P>0.05）

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b:当F0.05(dfA，dfe)< Fc< F0.01(dfA，dfe) ,拒绝H0，各组均值有显著差异

（P<0.05）

c:当 Fc> F0.01(dfA，dfe), 拒绝H0，各组均值有极其显著差异（P<0.01）

B向： a: 当Fc≤F0.05(dfB，dfe) , 接受H0 ,各组均值无显著差异（P>0.05）

b: 当F0.05(dfB，dfe)< Fc< F0.01(dfB，dfe) ,拒绝H0，各组均值有显著差异

（P<0.05）

c: 当Fc> F0.01(dfB，dfe), 拒绝H0，各组均值有极其显著差异（P<0.01）

⑦ 多重比较：

A向：LSDa=ta(dfe)sqrt(2 Se2/m)

B向：LSDa=ta(dfe)sqrt(2 Se2/k)

⑧ 结论：

第六章 相关与回归

一． 本章教学简介

本章是本学科第三部分教学内容，内容包括相关和回归的概念、原理、方法和应用。

本章重点是相关和回归的概念和应用，难点是相关和回归的检验原理。

本章要求学员学习后能理解相关和回归的性质和原理，掌握相关和回归的生物学应用，能熟练使用计算器解题，有条件的学员能用电脑SPSS操作，并将结果进行比较。

二．本章教学内容

一．相关

⑴ 概念：研究变量之间联系程度的一种数学指标。

⑵ 类型：

① 从性质分：正相关：变量随着另外变量增长而增长。如考试成绩与复习时间

负相关：变量随着另外变量增长而减小。如老人健康状况与年龄

零相关：两个变量独立变化，互不相关。

② 从变量数分：

单相关：两个相关数变量，为复相关基础。

复相关：超过两个变量数，有主次之分。

③ 从数学规律或数量变化趋势分为：

线性相关

非线性相关（包括曲线相关，超线性相关）

⑶ 数学描述

① 相关系数：r -1≤r≤+1

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r=1,表示绝对正相关 r= -1,表示绝对负相关 r=0,表示绝对0相关

② 相关几何意义：

y随x 增大而增大

y随x增大而减小

x,y独立变化

③ 计算公式

r=(∑xy-∑x∑y/n)/(n-1)SxSy

④ 检验：a: H0 r=0

b: Fc=(n-2)r2/1-r2

c: 查表：Fa(1,n-2)

d: 比较：若 Fc

接受H0, r=0

若F0.05〈Fc0,正相关，r<0,负相关

若Fc〉F0.01 拒绝H0, r≠0, r>0,强正相关，r<0,强负相关

⑤ 结论

⑷SPSS应用

① 数据库

描述性统计的直接编码。

② 主名令

Analyze---Correlate---Biovariate

二．回归

1、概念：变量之间关系利用最小误差理论，求得最佳关系式的过程。

2、类型：

（1） 从变量数分：

 单回归

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 复回归

（2） 从变化趋势分：

 线性回归

 非线性回归

3、数学方法：

（1）直线回归方程

a．∑(y-b．∑(y-（2）建立=a+b x建立的必要条件

)=0 居中无偏性

)2min 平均数适合回归方程

=a+bx 最小二乘方原理， 条件极值法求系数a,b

b=(∑xy-∑x∑y/n)/(∑x2-(∑x)2/n)

=(∑y-b∑x)/n

（3）作图（两端点法）

○1 xmin=? xmax=?

1=? 2=?

○2连线

○3写出方程和r

○4两端不准延伸

注意事项：

a．回归显著性检验包括回归关系、回归系数显著性检验，与r显著性检验完全等效。

B．先求r，并检验，如r达显著程度，再作相应回归，以避免无效回归。

C．回归直线两端不准延伸，因为回归只对这个区间内有效。

D．回归作图不要忘记标注原始点。

4、回归与相关的关系

○1在相关系数达到显著程度时为有意义回归，

在相关系数达不到显著程度（即为零相关）时为无意义回归。

○2r2=bx*by

5、回归的检验

与相关等效

6、回归的SPSS处理

○1数据库与相关一样处理

○2回归 Analyze---Regression----linear/curve

作图：Graph----Intergrative---Scaterplot fit中打开，选Regression

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