2023年7月24日发(作者：)

高数4.1 原函数（不定积分）

我们接下来来看积分的部分。首先是原函数的定义。所谓的原函数，就是如果一个函数F(x)的导数F’(x)=f(x)，我们就把F(x)称为f(x)的原函数（antiderivative）。

我们把原来的常见初等函数的导数反写，就能得到对应的原函数，主要有以下这些：

首先是幂函数和指数函数：

然后是三角函数：

对于对数函数和反三角函数，我们一般不去找他们的原函数。

这里面有几点值得说的

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我们看到所有的原函数都带一个+c，这里的c是一个常数。这是因为，F(x)和F(x)+c的导数是一样的，因为(F(x)+c)’= F’(x)+c’= F’(x)。所以如果F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)+c也是f(x)的原函数，所以每个函数的原函数都不是有一个，而是有无数个，他们互相之间相差一个常数。

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1/x的原函数相对有点儿奇怪，我们知道lnx’=1/x，但这只是在x>0的情况下。而在x<0的情况下得到的是ln(-x)’=-1/(-x)，也是1/x。因此准确的说，应该是(ln|x|)’=1/x，所以1/x的原函数应该是ln|x|+c

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求原函数是整个微积分里面最难的点之一，理论上可以无限难。而且有很多函数根本就没有原函数，比如你找不到一个函数，它的导数是lnx。

求原函数的主要方法主要有换元、分步积分等。这里并不是我们的重点（虽然考试的时候还蛮重要的），我们只是建立一个直观上的概念。

换元法，是将某一个部分替换为一个整体，例如：

分步积分法利用的是函数乘积导数的结论

两端积分求原函数，有：

举个例子：