2023年7月24日发(作者：)

Ch4、不定积分

§1、不定积分的概念与性质

1、 原函数与不定积分

定义1：若F(x)f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数。

① 连续函数一定有原函数；

② 若F(x)为f(x)的原函数，则F(x)C也为f(x)的原函数；

事实上，F(x)CF'(x)f(x)

'③

f(x)的任意两个原函数仅相差一个常数。

事实上，由F1(x)F1(x)F1'(x)F2'(x)f(x)f(x)0，得F1(x)F2(x)C

'故F(x)C表示了f(x)的所有原函数，其中F(x)为f(x)的一个原函数。

定义2：f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，记为f(x)dx，积分号，f(x)被积函数，x积分变量。

显然f(x)dxF(x)C

例1、 求下列函数的不定积分

①kdxkxC

11xC②xdx1lnxC

11

2、 基本积分表（共24个基本积分公式）

3、 不定积分的性质

①f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

②kf(x)dxkf(x)dx

例2、 求下列不定积分

①dx112(2)1xdxxCC

(2)1xx2(k0) ②dxxx12dx1x(12)1C2xC

(12)1dx5arcsinx3arctanxC

x53③221x1x11dxe1x④xexdxedxlnxC

2x2xlne2⑤cscxcscxcotxdxcsc2xdxcscxcotxdxcotxcscxC

dxsin2xcos2x22dxcscxdxsecxdxcotxtanxC ⑥2222sinxcosxsinxcosx⑦cot2xdxcsc2x1dxcotxxC

x4x4111132⑧dxdxx1dxxxarctanxC

22231x1x1x

§2、不定积分的换元法

一、 第一类换元法（凑微分法）

1、faxbdx11faxbdaxb,即dxdaxb

aa例1、求不定积分

111①sin5xdxsin5xd5x5xusinuducos(5x)C

5551117712x71C112x8C ②12xdx12xd(12x)227116③④

dx1dxa1xarctanCa2x2a1xa2aadxax22(20)

dxa1xa2xarcsinCa(23)

第二类换元法

2、fxnxn1dx例2、求不定积分

1nnn1nfxdx,即xdxdx

n1①x1xdx1x22d1x122111x21121C1x232C

221213②x2ex3dx13ex3dx31x33eC

③1cos1dxcos1d1sin11x2xxxxCx2dxd1x

④cosxxdx2cosxdx2sinxC1xdx2dx



secxtanxdxdsecx,111x2dxdarctanx,1x2dxdarcsinx,x

a2x2dxda2x2,例3、 求不定积分

①tanxdxsinxcosxdxdcosxcosxlncosxClnsecxC②cotxdxcosxsinxdxdsinxsinxlnsinxClncosxC③secxdxsecxsecxtanxdsecxtanxsecxtanxdxsecxtanxlnsecxtanxC④cscxdxcscxcscxcotxcscxcotxdxdcscxcotxcscxcotxlncscxcotxC⑤1xlnxdxdlnxlnxlnlnxC

⑥dxcos2x1tanxdtanx1tanx1lntanx1C

ex⑦dxd1exln1ex1ex1exC

⑧dx1ex1exex1exxln1exC

⑨exdex1e2xdx1exx2arctaneC

⑩xe1x2dx1x21x2ed1x2e1x2C

(16)

(17)

(18)(19)

例4、求不定积分

①dx1111d(xa)d(xa)

dxxa2axax2a22axaxa1xalnC2axa(21)(22)

x2x2x21x3x3②dxdx1dx

2221x1x1x1dx21dx12x23xln1x3arctanxC

22x121xx412x261dx22x5dx③2

dx2dx2322x2x52x2x5x2x5x1413x1lnx22x5arctanC

2221cos2x11111dxxcos2xd2xxsin2xC ④sin2xdx222224111⑤sin5xcos3xdxsin8xsin2xdxcos8xcos2xC

2164cotxcosxdxdsinxdlnsinxdxlnlnsinxC ⑥lnsinxsinlnsinxsinxlnsinxlnsinxdx1sinxdcosx12dxsecxdxtanxC ⑦221sinxcosxcosxcosx⑧dxdx1cscxdx

cosxsinx442sinx421lncscxcotxC

442

二、 第二类换元法

1、三角代换

例1、a2x2dx

解：令xasint(或acost)，则

a2x2acost,dxacostdt

1cos2ta21原式=acostacostdtadtdtcos2td2t

2222a2a2a2xa2xa2x2tsin2tCarcsin2C

242a4aa12x1aarcsinxa2x2C

2a2

例2、dxa2x2dxa1xa2xarcsinC

a解：令xasint

acostdtxdttCarcsinC 原式=acosta

例3、dxax22

解：令xatant(或acott)，则a2x2asect,dxasec2tdt

x2a2xasec2tdt原式=sectdtlnsecttantClnC

asectaalnxx2a2C例4、(24)

dxxx42

解：令xatant(或acott)，则x242sect,dx2sec2tdt

x2a2xasec2tdtsectdtlnsecttantClnC 原式=asectaa例5、dxxa22

解：令xasect(或acsct)，则

x2a2atant,dxasecttantdt

xasecttantdtsectdtlnsecttantCln原式=aatantx2a2ac

lnxx2a2C

(25) 例6、x29dx

x解：令xasect，则x293tant,dx3secttantdt

原式=3tant3secttantdt3tan2tdt3sec2t13tanttC

3sectx29333arccosCx293arccosC

3xxa2x2xasint小结：f(x)中含有x2a2可考虑用代换xatant

xasect22xa

2、无理代换

例7、dx1x13

解：令3x1t,则xt31,dx3t2dt

t23t2dtt2111原式=3dt3t1dt3tln1tC

1t1t1t233x1233x13ln13x1C

2例8、x1xdx3

解：令6xt,则xt6,dx6t5dt

6t5dtt21原式=36dt61dt6tarctantC

1t21t2t1t266xarctan6xC

例9、解：令11xdx

xx1x12tdtt,则x2,dx

22xt1t122tdtt11t12原式=t1tdt21dt2tlnC

t21t21t2122t122dx1e1x1xxlnC

x1xx

2tdt

2t1例10、x解：令1ext,则xlnt21,dx12tdt1t11ex1dt222lnClnC 原式2xtt12t1t11e1

4、 倒代换

例11、dx

6xx411t7dt解：令x,则6

,dx62txx114ttt6dt1d4t6111x66ln4t1ClnC 原式244t612424x6414t611lnxlnx64C

424

§3、分部积分法

分部积分公式：UVUVUV,UVUVUV

UVdxUVdxUVdx，故UdVUV（前后相乘）（前后交换）

VdU

例1、xcosxdx

xdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxC

例2、xexdx

xdexxexexdxxexexC 1例3、lnxdxxlnxxdlnxxlnxxdxxlnxxC

x或解：令lnxt,xet

原式tdettetetdttetetCxlnxxC

例4、arcsinxdx

xarcsinxxdarcsinxxarcsinxxarcsinxx1x2dx

1d1xxarcsinx1x2C21x22或解：令arcsinxt,xsint

原式tdsinttsintsintdttsintcostCxarcsinx1x2C

例5、exsinxdx

sinxdexexsinxexcosxdxexsinxcosxdexesinxecosxedcosxesinxcosxesinxdxxxxxx

故exsinxdx例6、1xesinxcosxC

2xdx

2cosxxdtanxxtanxtanxdxxtanxlnsecxC

例7、lnx1x2dx

xlnx

xlnx1x21x2xx1x1xC1x21x22dxxlnx1x2x1x2dx

§4、两种典型积分

一、有理函数的积分

P(x)anxnan1xn1a1xa0有理函数R(x)可用待定系数法化为部分分mm1Q(x)bmxbm1xb1xb0式，然后积分。

例1、将解：x3x3dx 化为部分分式，并计算22x5x6x5x6ABx3A2B

x3x3ABx2x3x25x6x2x3x2x3AB13A2B3A5

B6故x3dxdxdx565ln(x2)6ln(x3)C

2x2x3x5x612x5111dx25x611dxdx22或解：I2

2x5x62x5x62x5x611111lnx25x6dx

22x3x2111x3lnx25x6lnC

22x2例2、1dxx1x1dx

dx2x(x1)2x(x1)x(x1)2(x1)111x1dxlnC

x1x(x1)2x1x1111dx1xx211xx2dxxC 例3、4dxarctan21x1221x22x2xxdx1x412例4、111212x1x11xxdxdxdx

41221x12xxx2x2221111ddxxxx21xx11x1lnxC

arctan221222222x21x12x2xxx1x211x212xarctanC

ln2222x2x12x

二、三角函数有理式的积分 xu， 对三角函数有理式积分IRsinx,cosxdx，令utan,则x2arctan22u1u222u1u22sinx,cosx,dxdu，故IR三角函1u2,1u21u2du，1u21u21u2数有理式积分即变成了有理函数积分。

dx例5、

35cosxx1u22,dxdu 解：令utan,则x2arctanu，cosx2221u1ux12du12u12C 原式dulnCln4u2222ux41u21u22tan3521u22tan

例6、dx

2sinxcosx5x2u1u22,cosx,dxdu 解：令utan,则x2arctanu，sinx22221u1u1u原式12dudu

2222u1u1u3u2u2251u21u211xduu3arctan111333C1arctan2arctanC

235551535u339

2u21sinx21u22u1udx例7、du22du

1cosx1u21u2u(u1)11u21121u1du2du

2u2u(1u2)uu1u1xx2lnuln1u2Ccot2lnsinC

u22