2024年5月23日发(作者：)

一、 高斯求和

1+ 2+ 3 + 4 + 5…… +50，这一串数中，每两个相邻数的差都相等。这样的一串

数，我们称它为等差数列。等差数列求和可用下面的公式表示：

和=（首项+末项）×项数 ÷2

例1 计算：1+2+3+4+…1998+1999

分析 这是一个等差数列，首项=1，末项=1999项数=19999。

解 原式=（1+1999）×1999 ÷2

=2000 × 1999 ÷2

=1999000

例2 计算：5+8+11+ … +254+257

分析 这个数列的首项=5，末项=257，公差=3，先求出项数，再求出这个等差数列

的和。

解 项数=（257-5）÷ 3+1=85

原式=（5+257） ×85 ÷2 =262 × 85 ÷2=11135

试一试： 1+2+3+4+5+ … +2000

计算：1+2 +3 + 4 … +77+78

1+3 + 5 + … +97 + 99

4 + 8 + 12 + … + 96

3 + 10 + 17 +… +101

15 + 21 + 27 +… ＋1011 + 1017

2．有数组：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），……（100，101，102）

这100组中的300个数之和是 。

3．9个数的平均数是15，其中三个数的平均数是11，其余6个数平均数是 。

4．马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑，白两双鞋，他每次出场演出都要

戴一顶帽子，穿一双鞋，问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？

5．某数加7，减8，乘以9，除以10，等于90，这个数是 。

6．下面字母代表什么数时，算式成立。

7．将1—6这个数分别填入下图中的六个○内，使得三条直线上的数字的和都相

等。

8．一个长方形纸片，用剪刀剪掉一角后，剩下的部分有个角。

9．图中共有 个三角形。

10．一幢高楼，小明从一层爬到四层共爬了36级台阶，那么他从一层爬到十层

共爬级 台阶。

11．一个三位数的各个数位数之和为25，这样的三位数共有 个。

12．有一串数字9213……，从第3个数字起，每个数字都是它前面2个数字的

和的个位数字。问第100个数字是 。

13．△，○，□代表3个数，并且

△ +△=□+□+□

□+□+□=○+○+○+○

△+□+○+○=400

求△，□，○各代表的数。△= ，□= ，○= ，

14．甲、乙两人中一人总说谎话，一人总说实话，一天，甲说：“我把20粒糖

分给了6个小朋友，每人至少1粒，且每个小朋友得到的糖粒数各不相。”甲、乙

两人说实话的是 ，说谎话的是 。

15．把字母换成数字，使竖式成立。

A= ，B= ，C= ，D= ，F=

16．游泳池里男生的人数比女生的4倍少8人，比女生的3倍多24人，那么男

生有 人。

17．小红在计算两个数的和时，把其中一个加数个位上的

0漏掉了，结果算出的和是81，已知这两个数的和应为135，那么它们的差大减

小是 。

18．数一数，下图中共有 个三角形。

19．在数列：1，2，3，4，3，4，5，6，5，6，7，8，7，8，9，10……问第

1002个数是 。

20．有10个盒子和54个玻璃球，能不能把54个玻璃球装到10个盒子里，每

个盒子里都至少装有一个玻璃球，且使每个盒子里装的玻璃数不相等？如果能，请

写出装球的方案，如果不能，说明理由。09春季班四年级数学思维训练

标签：四年级 竞赛 校园

分类：竞赛题

（每小题5分）

1、有一只一小时快10分钟的表，这个表8点时对好了，当这个表11点30分的时

候，正确的表应是（ ）点钟。

2、在一张长方形的纸面上画4条直线，最多能把这张纸分成（ ）部分。

3、某数加上5，然后再乘以4的题，错算成某数先乘以5，然后再加上4得34。

正确的答案应该是（ ）。

4、甲、乙、丙三人练习投篮，共投进了150次，有64次没投进。已知甲和乙一共

投进46次，乙和丙一共投进70次。乙投进了（ ）次。

5、王叔叔从小卖店买来了一箱啤酒，有24瓶。小卖店规定：喝完酒后，每三个空

瓶可以换回一瓶啤酒。他一共可以喝（ ）瓶啤酒。

6、甲、乙两人共有30元钱，甲给乙5元后，甲比乙还多2元钱。那甲原来有

（ ）元钱。

7、把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9写成两个多位数，使这两个多位数的差最

小。这个最小的差是（ ）。

8、小明在玩“苹果人”游戏，游戏提供了三张不同的脸，4个不同的身体，2双不同

的脚。问小明一共可以组成（ ）个不同的“苹果人”。

9、果园里有桃数和杏数一共500棵，桃数的棵数比杏数的2倍少116棵。桃数有

（ ）棵。

10、表兄弟二人，哥哥和弟弟的年龄分别是30岁和12岁，（ ）年后哥哥的年龄

是弟弟年龄的2倍。

11、有一个周长是88厘米的长方形，它是由三个正方形拼成的。求这个长方形的

面积是（ ）平方米。

12、四年级一班有50名学生。在数学考试中，成绩排前十名的同学平均分比全班

平均分高8分，其余同学的平均分比全班平均分低（ ）分。

13、以知甲、乙丙、丁四个数的和是96，并且甲+3=乙－3=丙×3=丁÷3，那么丁=

（ ）

14、一个电影院的第一排有25个座位，以后每排都比前一排多2个座位，最后一

排有75个座位。这个电影院一共有（ ）个座位。

15、一艘船从甲地到乙地，去时每小时行15千米，回来时每小时行10千米。求这

艘船往返的平均速度是（ ）千米。

16、甲、乙两辆汽车同时从同一地到另一地，甲的速度是每小时50千米，乙的速

度是每小时75千米，结果甲比乙晚到2小时。这两地间的距离是（ ）千

米。

17、两根同样长的铁丝，第一根剪去10厘米。第二根剪去26厘米。余下的铁丝，

第一根是第二根的5倍。原来每根铁丝长（ ）厘米。

18、同学们乘大、中型两种车去春游，大型车每辆可坐65人，中型车每辆可坐26

人。现有学生和教师共338人，要使每人都有一个座

位，并且车上没有空余座位，大型车需要（ ）辆，中型车需要（ ）辆。

19、某钢铁基地有甲、乙两座矿山及 单位：千元／万吨

A、B、C、三个炼铁厂。甲矿山有矿

石65万吨，乙矿山有矿石45万吨，

这些铁矿石要分别运往A、B、C、

三个工厂。三个工厂的矿石需要量

分别为50万吨，30万吨及80万吨。

运费如右表：

最省的运费是（ ）千元。

20、甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同。一列火车从甲身边驶过用了8秒钟，

火车遇到甲20秒钟后又遇到乙，从乙身边驶过用了7秒钟。那么从火车遇到乙开

始，再过（ ）秒钟甲、乙两人相遇。

小学四年级奥数试卷姓名 得分

1,654321×909090+654321×9090920

2,已知大正方形比小正方形边长多4多厘米,大正方形比小正方形大96平方厘米,求

大正方形,小正方形的面积各多大

大正方形的面积 平方厘米,小正方形的面积 平方厘米.

3,甲仓库存粮108吨,乙仓库存粮140吨,要使甲仓库存粮数是乙仓库的3倍,必须从

乙仓库运出 吨放入甲仓库.

4,立新小学举行运动会,参加赛跑的人数是参加跳远的4倍,比参加跳远的多66人,参

加赛跑的有 人,参加跳远的有 人.

5,鸡兔同笼,共100个头,320只脚,那么,鸡有 只,兔有 只.

6,小明今年2岁,妈妈26岁,那么, 年后妈妈的年龄是小明的3倍.

7,警方查询了三个可疑的人,这三个人中有一个是小偷,讲的全是假话.有一个人是从

犯,说起话来真真假假,还有一个人是好人,句句话都是真的,查询中问及三个人的职业,

回答是:

甲:我是推销员,乙是司机,丙是美工设计师.

乙:我是医师,丙是百货公司的业务员,甲呀,你要问他,他肯定说是推销员.

丙:我是百货公司的业务员,甲是美工设计师,乙是司机.

请问这三个人中说假话的小偷是 .

8,小张,小王和小李练习投篮球,一共投了100次,有43次没投进,已知小张和小王一

共投进了32次,小王和小李一共投进了46次,小王投进了 次.

9,有不同的语文书5本,数学书6本,英语书3本,自然书2本.从中任取一本,共有 种

取法.

10,学雷锋小组为学校搬砖,如果每人搬18块,还剩2块;如果每人搬20块,就有一位

同学没砖可搬.共有 块砖.

11,甲乙两港相距360千米,一轮船往返两港需要35小时,逆流航行比顺流航行多花

了5小时,现有一机帆船,速度每小时12千米.这只机帆船往返两港要多少小时

12,某列车通过342米的遂道用了23秒,接着通过234米的遂道用了17秒,这列火车

与另一列长88米,速度为每秒22米的列车错车而过,问需要几秒

1．1993年的元旦是星期五，请你算一算，1997年的元旦是星期几？2000年的元

旦是星期几？

答: 星期三、星期六

2．某年的10月有5的星期六，4个星期日，问这一年的十月一日是星期几？

答: 星期一

3．

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列

614…… 27101518 38111619 49121720 …… 51321

问：（1）300排在第几列？（2）1000排在第几列？

答: 第四列、第三列

4．用5÷14，商的小数点后面第1997位上数字是几？

答: 4

5．1÷7的商小数点后面2001个数字之和是多少？

答:2001÷6=333……3,(1+4+2+8+5+7×333+1+4+2=8998

6．数列1，3，4，7，11，18……，从第三项开始，每项均为它前面相邻两项之

和，数列中第2001个数被4除余几？

答: 0

7、将1----100的自然数按下面的顺序排列：

答：正方形里的9个数和是90，能否照这样框出9个数，使它们的和分别是170、

216、630？

分析与解答：首先先观察9个数的特点。上下两个数的平均数是10，左右两个数

的平均数也是10，对角线的平均数还是10。说明10是这九个数的平均数，它们的

和就是90。从这里可以看出，用3×3的正方形框出来的9个数的和一定是9的倍

数。170不是9的倍数，所以不可能和是170。225和630都是9的倍数，是不是

这两个数都可以呢？可以发现，排在最左边一列和最右边一列上的数，不能做这9

个数的平均数，因为画不出正方形。216和630÷9分别等于24和70，这两个数分

别在哪一列呢？8个一循环，24÷8=3，正好在最右边一列，所以画不出来。而

70÷8=8……6，余数是6，排在第6列，所以能画出来。

8、有一个数列：

1，2，3，5，8，13，……。（从第3个数起，每个数恰好等于它前面相邻两个数

的和）

求第1993个数被6除余几？（这道题需要你耐心解答呦）

分析：如果能知道第1993个数是哪个数，问题很容易解决。可是要做到这一点不

容易。由于我们所研究的是“余数”，如能构造出数列各项被6除，余数构成的数

列，问题也可以得到解决。

解：根据“如果一个数等于几个数的和，那么这个数被a除的余数，等于各个加数

被a除的余数的和再被a除的余数”。得到数列各项被6除，余数组成的数列是：

1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，

0，1，1，2，3，5，……。

观察规律，发现到第25项以后又重复出现前24项。呈现周期性变化规律。一

个周期内排有24个数。（余数数列的前24项）

1993÷24＝83……1。

第1993个数是第84个周期的第1个数。因此被6除是余1。

提高班练习

1．1993年的元旦是星期五，请你算一算，1997年的元旦是星期几？2000年的元

旦是星期几？

答: 星期三、星期六

2．某年的10月有5的星期六，4个星期日，问这一年的十月一日是星期几？

答: 星期一

3．

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列

614…… 27101518 38111619 49121720 …… 51321

问：（1）300排在第几列？（2）1000排在第几列？

答: 第四列、第三列

4．用5÷14，商的小数点后面第1997位上数字是几？

答: 4

5．1÷7的商小数点后面2001个数字之和是多少？

答:2001÷6=333……3,(1+4+2+8+5+7×333+1+4+2=8998

6．数列1，3，4，7，11，18……，从第三项开始，每项均为它前面相邻两项之

和，数列中第2001个数被4除余几？

答: 0

7、将1----100的自然数按下面的顺序排列：

答：正方形里的9个数和是90，能否照这样框出9个数，使它们的和分别是170、

216、630？

分析与解答：首先先观察9个数的特点。上下两个数的平均数是10，左右两个数的平

均数也是10，对角线的平均数还是10。说明10是这九个数的平均数，它们的和就是

90。从这里可以看出，用3×3的正方形框出来的9个数的和一定是9的倍数。170不

是9的倍数，所以不可能和是170。225和630都是9的倍数，是不是这两个数都可以

呢？可以发现，排在最左边一列和最右边一列上的数，不能做这9个数的平均数，因

为画不出正方形。216和630÷9分别等于24和70，这两个数分别在哪一列呢？8个

一循环，24÷8=3，正好在最右边一列，所以画不出来。而70÷8=8……6，余数是6，

排在第6列，所以能画出来。

8、有一个数列：

1，2，3，5，8，13，……。（从第3个数起，每个数恰好等于它前面相邻两个数的

和）

求第1993个数被6除余几？（这道题需要你耐心解答呦）

分析：如果能知道第1993个数是哪个数，问题很容易解决。可是要做到这一点不容

易。由于我们所研究的是“余数”，如能构造出数列各项被6除，余数构成的数列，

问题也可以得到解决。

解：根据“如果一个数等于几个数的和，那么这个数被a除的余数，等于各个加数被

a除的余数的和再被a除的余数”。得到数列各项被6除，余数组成的数列是：

1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，

1，1，2，3，5，……。

观察规律，发现到第25项以后又重复出现前24项。呈现周期性变化规律。一个

周期内排有24个数。（余数数列的前24项）

1993÷24＝83……1。

第1993个数是第84个周期的第1个数。因此被6除是余1。第7讲 找规律（一）

我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变化规

律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是周期性变化规律呢？比如，一年

有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的

秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四

季变化，这就是周期性变化规律。再比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照

0，1，2三个数重复出现的，这也是周期性变化问题。

下面，我们通过一些例题作进一步讲解。

例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又

是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。问：

（1）第100盏灯是什么颜色？

（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？

分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出

现。

（1）100÷12＝8……4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。

（2）150÷12=12……6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯4×12

＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）。

例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3，第6个数是6，第11

个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？

分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个

数相同。进一步可推知，第1，5，9，13，…个数都相同。

同理，第2，6，10，14，…个数都相同，第3，7，11，15，…个数都相同，第4，8，

12，16…个数都相同。

也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第2个数等于第6个

数，是6；第3个数等于第11个数，是7。前三个数依次是3，6，7，第四个数是

25-（3+6+7）=9。

这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4个数相同，是9。由77÷4＝

9……1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478。

例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这

串数中第88个数是几？

628088640448…

分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数

字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻数字

后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位：

当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第1，2位数相同，所以这串

数按每20个数一个周期循环出现。由88÷20=4……8知，第88个数与第8个数相同，所以第

88个数是4。

从例3看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。

例4 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在

这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？

7134…

分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照例3的方法找到一周期，因

为这个周期很长，所以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个数都

是奇数，按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶

性，那么将这串数依次写出来，得到

奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……

可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连

在一起的情况，即不会出现“2000”。

例5 A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，

然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从

其它盒子中各取一个球放入这个盒子……当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各

放有几个球？

分析与解

：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中的球数如下表：

可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第2人放过

后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次。

（100-1）÷4＝24……3，

所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D盒中依次有4，

6，3，5个球。

3．四年级上

学期奥数班测

试题

1、某校安排

宿舍，如果每

间6人，则16

人没有床位；

如果每间8

人，则多出10

个床位。问宿

舍有多少间？

学生有多少

人？（10分）

2、小明今年

10岁，父亲

38岁，再过多

少年后父亲的

年龄正好是小

明年龄的3

倍？（12分）

3、修一条公

路，原计划60

人工作，80天

完成。现在工

作20天后，

又增加了30

人这样剩下的

部分再用多少

天可以完成？

（14分）

4、妈妈今年

的年龄是女儿

的4倍，3年

前，妈妈和女

儿的年龄和是

39岁。问妈

妈、女儿今年

各是多少岁？

（12分）

5、用绳子测

量井深。如果

把绳子三折垂

到水面，余7

米；如果把绳

子5折垂到水

面，余1米。

求绳长与井

深。（12分）

6、修一条

路，5人6天

可以铺300

米，照这样的

速度，120人

40天才能全部

修完。由于工

作需要，调走

了20人，而

每天每人要多

铺5米，这样

全程可提前几

天修完？（14

分）

7、小红家买

来一篮橘子，

分给全家人。

如果其中两人

每人分3只，

其余每人分2

只，就多出4

只；如果一人

分6只，其余

每人分4只，

那么缺14

只。问：小红

家买来多少只

橘子？小红家

共有几人？

（14分）

8、有甲、乙

两队少先队员

去春游，甲队

人数是乙队人

数的2倍。从

甲队调出10

人到乙队后，

甲队仍比乙队

多5人。甲队

原有多少人？

（提示：画线

段图分析）

（12分）

4．四年级数

学竞赛测试

一填空

①按规律填数：

25,19,21,17,17,15,13,13,( ,(

②计算：

100－98＋96－94＋92－90

＋……＋8－6＋4－2=(

③把大小一样的三个正方形

拼成一个长方形后，长方形

的周长比原来三个正叫蔚闹

艹ぶ 图跎倭?0厘米，原来

每个正方形的面积应是

( 平方厘米。

④在○中填上同一个数，使

等式成立。

○＋○－○×○÷○=17

⑤小刚今年6岁，爸爸今年

年龄是他的5倍，( 年后，

爸爸的年龄是小刚年龄的3

倍。

⑥减数、被减数与差三者之

和除以被减数，商是(

⑦两人见面都要握手一次，

照这样规定6人见面共互相

握手( 次。

⑧一个电影院的第一排有

15个座位，以后每排都比

前排多2个座位，最后一排

有73个座位，这个电影院

共有( 排座位。

⑨规定a$b=(a+b÷2，那么

1998$2000=(

⑩用4,5,6这三个数字，可

以组成( 个没重复数字的三

位数。

二应用题(列式解答

①小兰的三门功课，平均成

绩是93分，如果不算数学

成绩，两门功课的平均成绩

比三门功课的平均成绩要降

低1分，小兰的数学成绩是

多少分

②小马有1角、5角硬币共

35枚，一共是9元5角，问

两种硬币各多少枚

③一个数加上2，减去3，

乘以4，除以5得12，问这

个数是几？

④四年级参加植树活动，如

果每班种10棵，还剩6棵

树苗，如果剩下的每班再种

2棵，就少4棵树苗。四年

级一共要植树多少棵？

⑤弟弟以每小时6千米的速

度从家里出发步行去公园，

2小时后，哥哥离开家以每

小时18千米的速度骑车去

追赶弟弟。问多长时间后能

追上弟弟？

5．合理分类

正确解题（四

年级）

在数学问题中有

一类被称作“数字问

题”的题目，与同学

们在书本上学到的一

些数学问题相比，似

乎“不太规则”，有的

数学课外参考书称它

为“杂类问题”。解答

这类题目要求同学们

要认真审题，悉心研

究题意，关键是做到

合理分类，这样才能

正确解题。

例1 在1～1999

内，是3的倍数，不

是5的倍数的数一共

有多少个？为什么？

[分析与解]这道

题要求3的倍数有多

少个，但有两个条件

限制：（1）规定在

1～1999内；（2）

只是3的倍数，但不

是5的倍数。比如：

3×5=15，15是3的

倍数，但它同时又是

5的倍数，不符合题

目要求，所以在

1999内，15以及15

的倍数都不能算进

去。这样在1～1999

内就把3的倍数分为

两类：一类是3的所

有倍数；一类是15

以及15的倍数。然

后从3的所有倍数的

个数中减去15以及

15的倍数的个数，

即为题目所求的问

题。有三种解法：

解法（一） 在1

～1999内3的倍数

共有：

1999÷3=666……1。

余1，不到3的1

倍，可以不考虑。在

1～1999内15的倍

数共有：

1999÷15=133……4。

余4，不到15的1

倍，也不考虑。两者

相减，便是所求的问

题：666-133=533

（个）。

解法（二） 在1

～1999内3的倍数

共有666个，那么，

666中又包含多少个

5的倍数呢？

666÷5=133……1。余

1，比5小，可以不

考虑。两者相减，便

是所求的问题：666-

133=533（个）。

解法（三） 把

数字分段来考虑：比

如在1～30中，3的

倍数有10个，但要

去掉同时能被3、5

整除的数2个，还剩

10-2=8（个）。

1999÷30=66……19。

余数19，

19÷3=6……1。余数

1比3小，不考虑，

但要注意，在最后的

6个3的倍数中，有

一个是5的倍数

（1995），应去掉。

每段8个，共有：

8×66+（6-1）=533

（个）。

例2 43位同

学，他们身上带的钱

从8分到5角，钱数

都各不相同，每个同

学都把身上带的全部

钱各自买了画片，画

片只有两种，3分一

张和5分一张，每人

都尽量多买5分一张

的画片。问所买的3

分画片的总数是多少

张？

[分析与解]先来

分析一下题目的要

求：

（1）从8分到

5角就是以“分”为单

位，从8到50的43

个连续自然数，这正

好与43个同学一一

对应。

（2）每个同学

都把身上带的全部钱

各自买画片，就是每

人都不许有余钱。

（3）每人既要

把钱花光，又要尽量

多买5分一张的画

片。

我们把钱数是5

的倍数（0、15、

20、25、30、35、

40、45、50）的九个

人分为一类。他们不

能买3分一张的画

片。

钱数被5除余3

分（8、13、18、

23、28、33、38、

43、48）的九个人分

为另一类。他们可以

买1张3分的画片，

9人共买9张。

钱数被5除余1

分（11、16、21、

26、31、36、41、

46）的八个人分为第

三类。因为他们身上

所余的钱数不是3的

倍数，只好退下一个

5分与余数1分合成

6分，这样每人可以

买2张3分画片，8

人共买：2×8=16

（张）。

用同样的方法，

把钱数被5除余2分

的8个人再分为一

类，每人可买3分画

片4张，共买：

4×8=32（张）。

把钱数被5除余

4分的9个人也分为

一类，他们每人可买

3分画片3张，共

买：3×9=27

（张）。

因此，他们所买

3分画片的总数共

是：

9+16+32+27=84

（张）。

追及问题

51.甲、乙二人

练习跑步，若

甲让乙先跑10

米，则甲跑5

秒钟可追上

乙；若乙比甲

先跑2秒钟，

则甲跑4秒钟

能追上乙。

问：两人每秒

钟各跑多少

米？

52.甲、乙

两地相距600

千米，一列客

车和一列货车

同时由甲地开

往乙地，客车

比货车早到

2.5小时，客

车到达乙地时

货车行驶了全

程的4/5。

问：货车行驶

全程需要多少

时间？

53.两辆拖

拉机为农场送

化肥，第一辆

以每小时9千

米的速度由仓

库开往农场，

30分钟后，第

二辆以每小时

12千米的速度

由仓库开往农

场。问：

（1）第

二辆追上第一

辆的地点距仓

库多远？

（2）如

果第二辆比第

一辆早到农场

20分钟，仓库

到农场的路程

有多远？

54.甲、乙

二人绕周长为

1200米的环形

广场竞走，已

知甲每分钟走

125米，乙的

速度是甲的

1.2倍。现在

甲在乙的后面

400米，问：

乙追上甲还需

多少时间？

55.小明以

每分钟50米

的速度从学校

步行回家，12

分钟后小强从

学校出发骑自

行车去追小

明，结果在距

学校1000米

处追上小明。

求小强骑自行

车的速度。

56.甲、乙

两匹马相距50

米的地方同时

出发，出发时

甲马在前乙马

在后。如果甲

马每秒跑10

米，乙马每秒

跑12米，

问：何时两马

相距70米？

57.一种导

弹以音速（每

秒330米）前

进，已知两架

飞机相距1500

米同向飞行，

前面一架飞机

的速度是每秒

210米，后面

一架飞机的速

度是每秒180

米。当后面的

飞机发出导弹

时，多长时间

可以击中前面

一架飞机？

58.甲、乙

二人在操场的

400米跑道上

练习竞走，两

人同时出发

龇⑹奔自谝液

竺妫 龇⒑?分

钟甲第一次超

过乙，22分钟

时甲第二次超

过乙。假设两

人的速度保持

不变，问：出

发时甲在乙后

面多少米？

59.学校组

织军训，甲、

乙、丙三人步

行从学校到军

训驻地。甲、

乙两人早晨6

点一起从学校

出发，甲每小

时走5千米，

乙每小时走4

千米，丙上午

8点才从学校

出发，下午6

点甲、丙同时

到达军训驻

地。问：丙在

何时追上乙？

60.小红在

9点与10点之

间开始解一道

数学题，当时

时针和分针正

好成一条直

线，当小红解

完这道题时，

时针和分针刚

好第一次重

合，小红解这

道题用了多少

时间？

61.一队自

行车运动员以

每小时24千

米的速度骑车

从甲地到乙

地，两小时后

一辆摩托车以

每小时56千

米的速度也从

甲地到乙地，

在甲地到乙地

距离的二分之

一处追上了自

行车运动员。

问：甲乙两地

相距多远？

*62.自行

车队出发12

分钟后，通信

员骑摩托车去

追他们，在距

出发地点9千

米处追上了自

行车队，然后

通信员立即返

回出发点，到

后又返回去追

自行车队，再

追上时恰好离

出发点18千

米。求自行车

队和摩托车的

速度。

*63.在上

题中，如果将

自行车队出发

12分钟后通信

员去追他们改

为出发10分

钟后，其它条

件不变，那

么，自行车队

出发多长时间

后，通信员第

二次追上他

们？

64.快、

中、慢三辆车

同时同地出

发，沿同一公

路去追赶前面

一骑车人，这

三辆车分别用

6分钟、10分

钟、12分钟追

上骑车人。已

知快、慢车的

时速分别为24

和19千米，

求中速车的速

度。

69.一只猎

狗正在追赶前

方20米处的

兔子，已知狗

一跳前进3

米，兔子一跳

前进2.1米，

狗跳3次的时

间兔子可以跳

4次。问：兔

子跑出多远将

被猎狗追上？

70.甲、

乙、丙三辆车

先后从A地开

往B地，乙比

丙晚出发5分

钟，出发后45

分钟追上丙；

甲比乙晚出发

15分钟，出发

后1小时追上

丙。那么，甲

出发后多长时

间追上乙？

71.小马虎

上学忘了带书

包，爸爸发现

后立即骑车去

追他，把书包

交给他后立即

返回家。小马

虎接到书包后

又走了10分

钟到达学校，

这时爸爸也刚

好到家。已知

爸爸的速度是

小马虎速度的

4倍，问：小

马虎从家到学

校共用多少时

间？

72.乌龟和

小白兔赛跑，

比赛场地从起

点到插小红旗

处为104米。

比赛规定，小

白兔从起点出

发跑到小红旗

处马上返回，

跑到起点再返

回，…，已知

小白兔每秒跑

10.2米，乌龟

每秒跑0.2

米，如果从起

点出发算它们

第一次相遇，

问：

（1）出

发后多长时间

它们第二次相

遇？

（2）第

三次相遇距起

点多远？

（3）从

第二次相遇到

第四次相遇乌

龟爬了多远？

（4）龟

乌爬到50米

时，它们共相

遇了几次？

73.两名游

泳运动员在长

为50米的游

泳池里游泳，

他们的速度分

别为每秒0.8

米和0.6米。

他们同时分别

从游泳池的两

端出发，来回

游了5分钟，

如果不计转向

的时间，那么

他们在这段时

间内共相遇了

几次？（包括

超过的次数）

74.游船顺

流而下每小时

前进7千米，

逆流而上每小

时前进5千

米。两条游船

同时从同一地

点出发，一条

顺流而下然后

返回，一条逆

流而上然后返

回，结果1小

时后它们同时

回到出发点。

如果忽略游船

调头的时间不

计，在1小时

内两条游船有

多长时间前进

的方向相同？

是顺流还是逆

流？

75.甲、乙

二人进行游泳

追逐赛，规定

两人分别从游

泳池50米泳

道的两端同时

开始游，直到

一方追上另一

方为止，追上

者为胜。已知

甲、乙的速度

分别为每秒

1.0米和0.8

米，问：

（1）比

赛开始后多长

时间甲追上

乙？

（2）甲

追上乙时两人

共迎面相遇了

几次？

*（3）在

比赛过程中，

两人同方向游

了多长时间？

*76.A、B

两地间有条公

路，甲从A地

出发步行到B

地，乙骑摩托

车从B地出发

不停顿地往返

于A、B两地

之间。他们同

时出发，80分

钟后两人第一

次相遇，100

分钟后乙第一

次超过甲。

问：当甲到达

B地时，乙追

上甲几次？

77.甲、

乙、内三辆车

同时从A地出

发到B地去，

出发后6分钟

甲车超过了一

名长跑运动

员，2分钟后

乙车也超过去

了，又过了2

分钟丙车也超

了过去。已知

甲车每分钟走

1000米，乙车

每分钟走800

米，求丙车的

速度。

78.小明在

铁路旁边沿铁

路方向的公路

上散步，他散

步的速度是每

秒2米，这时

从他后面开过

来一列火车，

从车头到车尾

经过他身旁共

用了21秒，

已知火车全长

336米，求火

车的速度。

79.铁路线

旁边有一条沿

铁路方向的公

路，公路上一

辆汽车正以每

小时40千米

的速度行驶，

这时，一列长

375米的火车

以每小时67

千米的速度从

后面开过来，

问：火车从车

头到车尾经过

汽车身旁需要

多少时间？

80.铁路线

旁边有一条沿

铁路方向的公

路，公路上一

辆拖拉机正以

每小时20千

米的速度行

驶，这时，一

列火车以每小

时56千米的

速度从后面开

过来，火车从

车头到车尾经

过拖拉机身旁

用了37秒

钟，求火车的

全长。

81.骑车人

以每分钟300

米的速度沿公

共汽车路线前

进，当他离始

发站3000米

时，一辆公共

汽车从始发站

出发，它的速

度为每分钟

700米，并且

每行3分钟到

达一站停车1

分钟。问：公

共汽车多长时

间追上骑车

人？

82.甲、乙

二人同时从起

点出发沿同一

方向行走，甲

每小时行5千

米，而乙第一

小时行1千

米，第二小时

行2千米，以

后每行1小时

都比前1小时

多行1千米。

问：经过多长

时间乙追上

甲？

*83.甲、

乙二人赛汽

车，第一分钟

甲的速度是每

秒6.6米，乙

的速度是每秒

2.9米，以

后，甲每分钟

的速度都是自

己前一分钟速

度的2倍，乙

每分钟的速度

都是自己前一

分钟速度的3

倍。问：出发

后多长时间乙

追上甲？

相遇问题

26.甲、乙两人

在400米环形

跑道上跑步，

两人朝相反的

方向跑，两人

第一次和第二

次相遇间隔40

秒，已知甲每

秒跑6米，

问：乙每秒跑

多少米？

27.一辆公

共汽车和一辆

小轿车同时从

相距299千米

的两地相向而

行，公共汽车

每小时行40

千米，小轿车

每小时行52

千米。问：几

小时后两车第

一次相距69

千米？再过多

少时间两车再

次相距69千

米？

28.一列客

车和一列货车

同时同地反向

而行，货车比

客车每小时快

6千米，3小

时后两车相距

342千米，求

两车的速度。

29.一列客

车和一列货车

同时从两地相

向开出，经过

18小时两车在

某处相遇，已

知客车每小时

行50千米，

货车每小时比

客车少行8千

米，货车每行

驶3小时要停

驶1小时。

问：两地之间

的铁路长多少

千米？

30.已知

甲、乙两车站

相距470千

米，一列火车

于中午1时从

甲站出发，每

小时行52千

米，另一列火

车于下午2时

30分从乙站开

出，下午6时

两车相遇。

问：从乙站开

出的火车的速

度是多少？

31.一辆卡

车和一辆大客

车从相距320

千米的两地相

向而行，已知

卡车每小时行

45千米，大客

车每小时行40

千米，如果卡

车上午8时开

出，问：大客

车何时开出两

车才能在中午

12时相遇？

32.甲、乙

两辆车的速度

分别为每小时

52千米和40

千米，它们同

时从甲地出发

到乙地去，出

发后6小时，

甲车遇到一辆

迎面开来的卡

车，1小时后

乙车也遇到了

这辆卡车。求

这辆卡车的速

度。

33.甲、乙

二人同时从学

校出发到少年

宫去，已知学

校到少年宫的

距离是2400

米，甲到少年

宫后立即返回

学校，在距离

少年宫300米

处遇到乙，此

时他们离开学

校已30分

钟。问：甲、

乙的速度各是

多少？

34.甲、乙

两车从相距

330千米的两

地同时相向而

行，三小时后

相遇，已知甲

车速度是乙车

速度的1.2

倍，求两车的

速度。

35.甲、乙

两车同时从

A、B两地相

向而行，它们

相遇时距A、

B两地中心处

8千米，已知

甲车速度是乙

车的1.2倍，

求A、B两地

的距离。

36.甲、乙

两车同时从两

地相向而行，

2.5小时后相

遇。已知甲车

速度是乙车速

度的四分之

三，相遇时乙

车比甲车多走

40千米，求两

车的速度。

37.兄妹二

人在周长30

米的圆形水池

边玩，他们从

同一地点同时

出发，背向绕

水池而行，兄

每秒走1.3

米，妹每秒走

1.2米。照这

样计算，当他

们第十次相遇

时，妹妹还需

走多少米才能

回到出发点？

38.甲、乙

二人骑车同时

从环形公路的

某点出发，背

向而行，已知

甲骑一圈需48

分钟，出发后

30分钟两人相

遇。问：乙骑

一圈需多长时

间？

39.小王和

小李同时从两

地相向而行，

小王走完全程

要60分钟，

小李走完全程

要40分钟。

出发后5分

钟，小李因忘

带东西而返回

出发点，因取

东西耽误了5

分钟，小李再

出发后多长时

间两人相遇？

40.甲、

乙、丙三辆车

同时从A地出

发到B地去，

甲、乙两车的

速度分别为每

小时60千米

和48千米。

有一辆迎面开

来的卡车分别

在他们出发后

6小时、7小

时、8小时先

后与甲、乙、

丙三辆车相

遇。求丙车的

速度。

41.甲、乙

两车同时从

A、B两地相

向而行，在距

B地54千米

处相遇。他们

各自到达对方

车站后立即返

回原地，途中

又在距A地

42千米处相

遇。求两次相

遇地点的距

离。

42.湖中有

A、B两岛，

甲、乙二人都

要在两岛间游

一个来回。两

人分别从A、

B两岛同时出

发，他们第一

次相遇时距A

岛700米，第

二次相遇时距

B岛400米。

问：两岛相距

多远？

43.甲、乙

二人从相距36

千米的两地相

向而行。若甲

先出发2小

时，则在乙动

身2.5小时后

两人相遇；若

乙先出发2小

时，则甲动身

3小时后两人

相遇。求甲、

乙二人的速

度。

44.客车和

货车同时从

甲、乙两地相

向开出，客车

行完全程需10

小时，货车行

完全程需15

小时。两车在

中途相遇后，

客车又行了90

千米，这时客

车行完了全程

的80％，求

甲、乙两地的

距离。

45.两列火

车从甲、乙两

地相向而行，

慢车从甲地到

乙地需要8小

时，比快车从

乙地到甲地所

需时间多

1/3。如果两

车同时开出，

相遇时快车比

慢车多行48

千米，求甲、

乙两地的距

离。

46.两列火

车相向而行，

甲车每小时行

48千米，乙车

每小时行60

千米，两车错

车时，甲车上

一乘客从乙车

车头经过他的

车窗时开始计

时，到车尾经

过他的车窗共

用13秒钟，

求乙车全长多

少米。

47.小刚在

铁路旁边沿铁

路方向的公路

上散步，他散

步的速度是每

秒2米，这时

迎面开来一列

火车，从车头

到车尾经过他

身旁共用了18

秒。已知火车

全长342米，

求火车的速

度。

48.铁路线

旁有一沿铁路

方向的公路，

在公路上行驶

的一辆拖拉机

司机看见迎面

驶来的一列火

车从车头到车

尾经过他身旁

共用了15

秒。已知火车

车速为每小时

60千米，全长

345米，求拖

拉机的速度。

49.一列快

车和一列慢车

相向而行，快

车的车长是

280米，慢车

的车长是385

米。坐在快车

上的人看见慢

车驶过的时间

是11秒，那

么坐在慢车上

的人看见快车

驶过的时间是

多少秒？

50.某列车

通过250米长

的隧道用25

秒，通过210

米长的隧道用

23秒。问：该

列车与另一列

长320米、时

速64.8千米的

列车错车而过

需要几秒？

相遇和追及

（一）

在行程问题

中，有时要讨

论两个或几个

运动物体

（人、车、船

等）行进的关

系，当它们在

同一段路两个

不同的地点相

向而行时，如

果同时到达一

个地点，通常

叫做相遇；当

它们同向而行

时，如果后面

的行进速度比

前面快，后面

的与前面的同

时到达同一地

点，通常叫做

追及。

例1：小明上

午8时骑自行

车以每小时12

千米的速度从

A地到B地，

小强上午8时

40分骑自行车

以每小时16

千米的速度从

B地到A地，

两人在A、B

两地的中点处

相遇，A、B

两地间的路程

是多少千米？

解：这是一个

相向而行相遇

求路程的问

题。但两人不

是同时出发，

如果能转换成

同时出发，并

且求出行多少

小时相遇，就

可以用数学课

学的方法解

答。

两人在两地间

的路程的中点

相遇，但小明

比小强多行了

40分钟，如果

两人同时出

发，相遇时，

小明行的路程

就比小强少

12÷60×40=8

（千米），就

是当小强出发

时，小明已经

行了8千米，

从8时40分

起两人到两人

相遇，由于小

明每小时比小

强少行16－

12=4（千

米），说明两

人相遇时间是

8÷4=2（小

时），那么，

A、B两地间

的路程是8＋

（12＋16）

×2=64（千

米）。

答：A、B两

地间的路程是

64千米。

例2：甲、乙

两村相距3550

米，小伟从甲

村步行往乙

村，出发5分

钟后，小强骑

自行车从乙村

前往甲村，经

过10分钟遇

见小伟。小强

骑车每分钟行

的比小伟步行

每分钟多160

米，小伟每分

钟走多少米？

解：如果小强

每分钟少行

160米，他行

的速度就和小

伟步行的速度

相同，这样小

强10分钟就

少行了

160×10=1600

（米），小伟

（5＋10）分

钟和小强10

分钟一共行走

的路程是3550

－1600=1950

（米），那么

小伟每分钟走

的路是1950÷

（5＋10＋

10）=78

（米）。

答：小伟每分

钟走78米。

例3：客车从

东城和货车从

西城同时开

出，相向而

行，客车每小

时行44千

米，货车每小

时行36千

米，客车到西

城比货车到东

城早2小时。

两车开出后多

少小时在途中

相遇？

解：当客车到

西城时，货车

离东城还有

2×36=72（千

米），而货车

每小时行的比

客车少44－

36=8（千

米），客车行

东西城间的路

程用的时间是

72÷8=9（小

时），因此东

西城相距

44×9=396（千

米），两车从

出发到相遇用

的时间是；

396÷（44＋

36）=4.95

（小时）

答：两车开出

后4.95小时在

途中相遇。