2024年5月1日发(作者：)

数理统计考试试卷

一、填空题（本题15分，每题3分）

1、总体

X~N(20,3)

的容量分别为10，15的两独立样本均值差

XY~

________；

2

2、设

X

1

,X

2

,...,X

16

为取自总体

X~N(0,0.5

2

)

的一个样本，若已知



0.01

(16)32.0

,则

P{



X

i

2

8}

=________；

i1

2

3、设总体

X~N(



,



)

，若



和



均未知，

n

为样本容量，总体均值



的置信水平为

2

16

1



的置信区间为

(X



,X



)

，则



的值为________；

4、设

X

1

,X

2

,...,X

n

为取自总体

X~N(



,



2

)

的一个样本，对于给定的显著性水平



，已知

关于



检验的拒绝域为



≤



1

2





(n1)

，则相应的备择假设

H

1

为________；

2

2

2

5、设总体

X~N(



,



2

)

，



已知，在显著性水平0.05下，检验假设

H

0

:







0

,

H

1

:







0

，拒绝域是________。

1、

N(0，)

； 2、0.01； 3、

t



(n1)

2

1

2

S

n

2

； 4、



2





0

； 5、

zz

0.05

。

二、选择题（本题15分，每题3分）

1、设

X

1

,X

2

,X

3

是取自总体

X

的一个样本，



是未知参数，以下函数是统计量的为（

）。

1

3

（A）



(X

1

X

2

X

3

)

（B）

X

1

X

2

X

3

（C）

X

1

X

2

X

3

（D）



(X

i





)

2

3

i1



1

n

2





(X

i

X)

2

，2、设

X

1

,X

2

,...,X

n

为取自总体

X~N(



,



2

)

的样本，

X

为样本均值，

S

n

n

i1

1

则服从自由度为

n1

的

t

分布的统计量为（ ）。

（A）

n(X



)

n1(X



)

n1(X



）

n(X



）

（B） （C） （D）

S

n

S

n





3、设

X

1

,X

2

,,X

n

是来自总体的样本，

D(X)



2

存在，

S

2



则（ ）。

1

n

(X

i

X)

2

,



n1

i1

（A）

S

2

是



2

的矩估计 （B）

S

2

是



2

的极大似然估计

（D）

S

2

作为



2

的估计其优良性与分布有关 （C）

S

2

是



2

的无偏估计和相合估计

2

)

相互独立，样本容量分别为

n

1

,n

2

，样本方差分别4、设总体

X~N(



1

,



1

2

),Y~N(



2

,



2

222

,H

1

:



1

2





2

为

S

1

2

,S

2

，在显著性水平



下，检验

H

0

:



1

2





2

的拒绝域为（ ）。

（A）

2

s

2

s

1

2

2

s

2

F



(n

2

1,n

1

1)

（B）

2

s

2

s

1

2

2

s

2

F

1



2

(n

2

1,n

1

1)

（C）

s

1

2

F



(n

1

1,n

2

1)

（D）

s

1

2

F

1



2

(n

1

1,n

2

1)

2

5、设总体

X~N(



,



2

)

，



已知，



未知，

x

1

,x

2

,,x

n

是来自总体的样本观察值，已

知



的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平



0.05

时，检验假

设

H

0

:



5.0,H

1

:



5.0

的结果是（ ）。

（A）不能确定 （B）接受

H

0

（C）拒绝

H

0

（D）条件不足无法检验

1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B.



2x

0x





,

三、（本题14分） 设随机变量

X

的概率密度为：

f(x)





2

，其中未知

其他





0,

参数



0

，

X

1

,,X

n

是来自

X

的样本，求（1）



的矩估计；（2）



的极大似然估计。

解：(1)

E(X)





xf(x)dx



0





2x2

dx



，

2

3



2

ˆ



ˆ

)X



，得



令

E(X

(2)似然函数为：

L(x

i

,



)



i1

n

2

3

3

X

为参数



的矩估计量。

2



2

n

2x

i



2



2n

0x

i





,(i1,2,,n)

，



x

i

，

i1

n

ˆ

max{X,X,,X}

。 而

L(



)

是



的单调减少函数，所以



的极大似然估计量为



12n

四、（本题14分）设总体

X~N(0,



2

)

，且

x

1

,x

2

x

10

是样本观察值，样本方差

s

2

2

，

（1）求



的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知

Y

2

X

2



2



X

2





~



(1)

，求

D







3



的置信



2

22

水平为0.95的置信区间；（



0

。

.975

(9)2.70

，



0.025

(9)19.023

）

解：



1818





，即为（0.9462，6.6667）（1）



2

的置信水平为0.95的置信区间为



2

；

,

2









0.025

(9)



0.975

(9)





X

2



1



X

2



12

2



=





（2）

D



；

DD[



(1)]

2





3





2





2





2







22





X

2



2

2



，







由于

D



是的单调减少函数，置信区间为

,





3





2





2



2







即为（0.3000，2.1137）。

五、（本题10分）设总体

X

服从参数为



的指数分布，其中



0

未知，

X

1

,,X

n

为取自

总体

X

的样本， 若已知

UX

i

~



2

(2n)

，求：





i1

2

n

（1）



的置信水平为

1



的单侧置信下限；

（2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得

样本均值为5010（h），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。

22

(



0.05

(31)44.985,



0.10

(32)42.585)

。





2nX



2nX





2

解：(1)

P









(2n)



1



,P







2



1



,







(2n)







即



的单侧置信下限为





2nX

2165010

；（2）



3764.706

。

2

42.585





(2n)

六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度

X~N(10,1)

，今阶段

性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L），标准差为1.2（mg/L），问该工厂生产是

22

否正常？（



0.05,t

0.025

(9)2.2622,



0.025

(9)19.023,



0.975

(9)2.700

）

解：

（1）检验假设

H

0

：



=1，

H

1

：



≠1； 取统计量：





22

2

(n1)s

2

2



0

；

拒绝域为：



≤



2

2

1



2

2

222

(n1)



0.975

(9)

=2.70或



≥





(n1)



0.025

=19.023，

2

经计算：





2

(n1)s

2

2



0

91.2

2

12.96

，由于



2

12.96(2.700,19.023)

2

，

1

2

故接受

H

0

，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为



=1。



：



10，H

1



：



10

； 取统计量：

t

（2）检验假设

H

0

X10

S/10

~

t



(9)

；

2

拒绝域为

tt

0.025

(9)2.2622

；

t

10.810

1.2/10



，

2.1028

<2.2622 ，所以接受

H

0

即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。

综上，认为工厂生产正常。

七、（本题10分）设

X

1

,X

2

,X

3

,X

4

为取自总体

X~N(



,4

2

)

的样本，对假设检验问题

（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；（2）若



=6，求上述检验所犯

H

0

:



5,H

1

:



5

，

的第二类错误的概率



。

解：(1) 拒绝域为

z

x5

4/4



x5

z

0.025

1.96

;

2

（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当



=6时，接受

H

0

的概率为



P{1.08X8.92}





8.926



1.086









0.921

。

22



八、（本题8分）设随机变量

X

服从自由度为

(m,n)

的

F

分布，(1)证明：随机变量

自由度为

(n,m)

的

F

分布；(2)若

mn

，且

P{X



}0.05

，求

P{X

证明：因为

X~F(m,n)

,由

F

分布的定义可令

X

与

V

相互独立，所以

1

服从

X

1



}

的值。

U/m

，其中

U~



2

(m),V~



2

(n)

，

U

V/n

1V/n

~F(n,m)

。

XU/m

11

当

mn

时，

X

与服从自由度为

(n,n)

的

F

分布，故有

P{X



}

P{X}

，

X



111

从而

P{X}P{



}1P{



}1P{X



}10.050.95

。



XX