2024年4月3日发(作者：)

数学什么是复数

复数x被定义为二元有序实数对a,b[1] ，记为z=a+bi,这里a和b是实数，i是虚数

单位。在复数a+bi中，a=Rez称为实部，b=Imz称为虚部。当虚部等于零时，这个复

数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实

数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者

卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐

为数学家所接受。

复数的四则运算规定为：加法法则：a+bi+c+di=a+c+b+di;减法法则：a+bi-

c+di=a-c+b-di;乘法法则：a+bi·c+di=ac-bd+bc+adi;除法法则：

a+bi÷c+di=[ac+bd/c²+d²]+[bc-ad/c²+d²]i.

例如：[a+bi+c+di]-[a+c+b+di]=0，最终结果还是0，也就在数字中没有复数的存

在。

[a+bi+c+di]-[a+c+b+di]=Z是一个函数。

主要内容

定义

数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行，比如对负数开偶数次方，为了使方程

有解，我们将数集再次扩充。

在实数域上定义二元有序对z=a,b，并规定有序对之间有运算"+","x" 记

z1=a,b,z2=c,d：

z1 + z2=a+c,b+d

z1 x z2=ac-bd,bc+ad

容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复

数z，我们有

z=a,b=a.0+0,1 x b,0

令f是从实数域到复数域的映射，fa=a,0，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，

因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。

记0,1=i,则根据我们定义的运算，a,b=a.0+0,1 x b,0:=a+bi，i x i=0,1 x 0,1=-

1,0=-1，这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

形如 的数称为复数complex number，其中规定i为虚数单位，且 a，b是任意实数

我们将复数 中的实数a称为复数z的实部real part记作Rez=a

实数b称为复数z的虚部imaginary part记作 Imz=b.

当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。

复数的模

将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣.

即对于复数 ，它的模

复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。

复数集是无序集，不能建立大小顺序。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。