2023年7月24日发(作者：)

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不定积分解题方法总结

摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。

关键词：不定积分；总结；解题方法

不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。

1.利用基本公式。（这就不多说了~）

2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

其中(x)可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：

例1：ln(x1)lnxdx

x(x1)111

x1xx(x1)【解】(ln(x1)lnx)'ln(x1)lnx1dx(ln(x1)lnx)d(ln(x1)lnx)(ln(x1)lnx)2Cx(x1)21lnx(xlnx)2dx

例2：【解】(xlnx)'1lnx

3.第二类换元法：

设x(t)是单调、可导的函数，并且'(t)0.又设f[(t)]'(t)具有原函数，则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。

但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。

但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

4.分部积分法.

公式：dd

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑：

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（1）降低多项式部分的系数

（2）简化被积函数的类型

举两个例子吧~！

例3：x3arccosx1x2dx

【解】观察被积函数，选取变换tarccosx,则

例4：arcsin2xdx

【解】22arcsinxdxxsinxx2arcsinx11x2dx

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在dd中，、的选取有下面简单的规律：

将以上规律化成一个图就是：

（a^x

sinx)

（lnarcsinx）

Pm(x

lnx，arcsinx)

x时，是无法求解的。 但是，当μ

对于（3）情况，有两个通用公式：

（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）

5 不定积分中三角函数的处理

1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。

ν被积函数1dx上下同乘sinx变形为

22sinxcosx令ucosx，则为

2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意sin2xcos2x1的使用。

三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。

3. 函数的降次

①形如sinmxcosnxdx的积分（m，n为非负整数）

当m为奇数时，可令ucosx，于是

sinxcosxdxsinsinmmnm1xcosxdcosx1un2m12undu，

转化为多项式的积分

当n为奇数时，可令usinx，于是

xcosxdxnsinmxcosn1xdsinxu1um2u12du，

同样转化为多项式的积分。

当m，n均为偶数时，可反复利用下列三角公式：

不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。

② 形如tannxdx和cotnxdx的积分（n为正整数） 欢迎阅读

令utanxdx，则xarctanu，dx 已转化成有理函数的积分。

类似地，cotnxdx可通过代换ucotx转为成有理函数的积分。

③形如secnxdx和cscmxdx的积分（n为正整数）

当n为偶数时，若令utanx，则xarctanu,dx 已转化成多项式的积分。

类似地，cscnxdx可通过代换ucotx转化成有理函数的积分。

当n为奇数时，利用分部积分法来求即可。

4.当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。

5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分

有理函数P(x)P*(x)P*(x)先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干个部分分式之和。Q(x)Q(x)Q(x)du，从而

21udu，于是

21u（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现InInx2n3In1）

222n122a(n1)(xa)2a(n1)dx时，记得用递推公式：(a2x2)n1.有理真分式化为部分分式之和求解

①简单的有理真分式的拆分

②注意分子和分母在形式上的联系

此类题目一般还有另外一种题型：

2.注意分母（分子）有理化的使用

dx2x32x12x342x133112x322x32C1212例5：x6x44x22x3(x21)2dx

x6x44x22x6x44x22x4x2232【解】

x3(x21)2x(x1)2x3(x21)2x21x3(x21)2故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分 欢迎阅读

x2tan2sinxx1tan22 万能公式：x1tan22cosx2x1tan2P(sinx,cosx)xdx可用变换ttan化为有理函数的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。

Q(sinx,cosx)2对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成sinxcosx。再用待定系数

或cosxsinxA(acosxbsinx)B(acos'xbsin'x)来做。（注：没举例题并不代表不重要~）

acosxbsinx（3）简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x和1x时，可令xtan2t；同时出现x和1x时，可令xsin2t；同时出现1x2和arcsinx时，可令x=sint；同时出现1x2和arccosx时，可令x=cost等等。

（4）善于利用ex，因为其求导后不变。

这道题目中首先会注意到xex，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为exxex与分母差ex，另外因为ex求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以ex。

（5）某些题正的不行倒着来

这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用usinx，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当usinx这类一般的换元法行不通时尝试下1usinx。这种思路类似于证明题中的反证法。

（6）注意复杂部分求导后的导数

注意到:

t2dtt12t2et3tlnt2tet3lntc16t2et2t3etdtt2t3ett2t3et12t2ett2t3etdt3t12t2etdtlnlnx2lnxelnxlnx3lnlnxc3本题把被积函数拆为三部分：y1,y2,y3，y1的分子为分母的导数，y2的值为1，y3的分子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。

2dx(a（7）对于R(x,ax2bxc)0)型积分，考虑b4ac的符号来确定取不同的变欢迎阅读

换。

如果0，设方程ax2bxc0两个实根为,，令

ax2bxctx，

可使上述积分有理化。

如果0，则方程ax2bxc0没有实根，令

ax2bxcaxt，

可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设

ax2bxcxtc，

至于采用哪种替换，具体问题具体分析。