2024年5月17日发(作者：ipad mini7最新消息)

浅谈数学解题中联想能力的培养

数学教育家波利亚指出:“中学数学教学的首要任务就是加强解

题训练。”通过解题训练来培养解题能力,提高数学素养。学习数学

离不开解题,而解题与联想是紧密相连的,成功有效的解题过程中

必然伴随着一系列的探索和联想,这些由此及彼、由表及里、由浅

入深的联想,沟通了问题中的已知条件和待求的结论,从而引导我

们克服困难,直达胜利彼岸。

一、相似联想

不少数学知识在内容和形式上都有相似之处,当面对一个较为复

杂的数学题时,就该题型的内容、结构特点去联想一个可类比的简

单问题,从中受到启发。激发思维,往往能收到很好的效果。

例1、化简+++

此题看来较为复杂,然而仔细观察题目的结构特征,可以联想到

一道简单的类比题:计算++……+,教师应引导学生分析这两题的共

同特征,进行类比,再根据恒等式=-,用此规律来解答原题,无疑能

达到化繁为简、变难为易之功效。

例2、已知(b-c)2=4(a-b)(c-a)且a≠0,求证:=2。

此题可以把已知条件展开,运用配方法进行说明,但过程复杂。仔

细观察条件可以发现其形式与一元二次方程根的判别式很像,因此

可以联想运用相关知识来作答。

设关于x的方程x2+(b-c)x+(a-b)(c-a)=0

∵(b-c)2=4(a-b)(c-a)

∴(b-c)2-4(a-b)(c-a)=0

∵方程有两个相等的实数根。

[x-(a-b)][x-(c-a)]=0

∴x1=a-bx2=c-a

∴a-b=c-a

2a=c+b

∵a≠0

∴=2

二、数形联想

数与形两者本没有不可逾越的鸿沟,著名数学家华罗庚说过:“数

缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分开万事

非”。这说明,以形助数,可使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、

形象化、简单化;而用数解形,借助数量的计算和分析,可使问题的

解决严谨化。如能注意运用形数结合,相互补充,往往会收到事半功

倍之效果。

例3、计算+++++

分析:此题采用一般思路,先通分再相加,则显然计算量大,较为

繁琐。如果联想到一种图形分割的特殊情形,结合图形可以找到简

捷的解法,如右图1:

故原式=1-=

例4、已知a、b、c、x、y、z、k均为正数,且a+x=b+y=c+z=k,

求证ay+bz+cx

观察待证的结论,使我们联想到矩形和正方形的面积公式,所以

可尝试通过构造图形来获证。如图,构造以k为边长的正方形abcd,

由右图2可知正方形的面积大于阴影部分的面积,即ay+bz+cx

原题得证。

三、逆向联想

任何事物均有其正反两个方面,解数学题也是如此。许多问题进

行正面推导或计算能够较快得到解决,但也有不少问题从正面考虑

存在一定的困难,有时甚至无法解决,此时应及时调整思路,从问题

的反面去联想探索,常常能豁然开朗、水到渠成。

例5.已知5(a-b)+(b-c)+(c-a)=0(a≠b),求

分析:条件给出了一个含未知数a,b,c的等式,因为字母较多,并

且它们之间的关系也并不明显,从这里一时难以找到突破口。然而

等式中的两个常数5和,它们之间的关系倒是一目了然,所以我们考

虑反客为主,另辟蹊径。设=x,则5=x2,原条件可整理得

(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0

∴x1=,x2=1

x1+x2==+1

x1·x2==

∴·==·+1=5+

从以上几例可以看出,在数学教学活动中,教师要经常鼓励和引

导学生对数学问题进行多角度、多方位的联想与思考,包括外在与

内在、数与形、正面与反面等等,从各个不同的角度去分析问题,在

探索解决问题的过程中培养学生的联想能力和创新精神。