2024年3月16日发(作者：1+6t手机参数)

且喜平常度，切忌神慌乱。畅游题海后，金榜题君名。考试在即，祝你成功。

2023年考研数学二真题及答案

一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1.

yxln(e

1

x1

)

的斜渐近线为( )

A.

yxe

B.

yx

1

e

C.

yx

D.

yx

1

e

【答案】B.

【解析】由已知

yxln





e

1





x1



，则



lim

y

x

x

lim

x

ln







e

1



x1





lne1

，

lim

x

yxlim



x





xln







e

1



x1





x







lim

x

x







ln





1







e

x1





1





lim

x

x







ln







e

1





x1





lne





lim

x

xln





1





1

e(x1)





lim

x



e(x1)



1

e

，

x

所以斜渐近线为

yx

1

e

.故选B.



1

2. 函数

f(x)





1x

2

,x0

的一个原函数为（ ）.





(x1)cosx,x0



A．

F(x)





ln



1x

2

x



,x0





(x1)cosxsinx,x0



B．

F(x)





ln



1x

2

x



1,x0





(x1)cosxsinx,x0

好好学习 天天向上

1



ln1x

2

x,x0



C．

F(x)







(x1)sinxcosx,x0



ln1x

2

x1,x0



D．

F(x)







(x1)sinxcosx,x0

【答案】D.









f(x)limf(x)f(0)1

，即

f(x)

连续. 【解析】由已知

lim



x0x0

所以

F(x)

在

x0

处连续且可导，排除A，C.

又

x0

时，

[(x1)cosxsinx]



cosx(x1)sinxcosx(x1)sinx

，

排除B.

故选D.

3.设数列

{x

n

},{y

n

}

满足

x

1

y

1



A.

x

n

是

y

n

的高阶无穷小

C.

x

n

是

y

n

的等价无穷小

穷小

【答案】B.

【解析】在



0,

11

,x

n1

sinx

n

,y

n1

y

n

,当

n

时( ).

22

B.

y

n

是

x

n

的高阶无穷小

D.

x

n

是

y

n

的同阶但非等价无









122

xsinyxsinxy

n

，从而

xx

中，，从而.又

n1n1n



2





n

2



y

n1

x

n1

1

nn

yy

y





n



2

n

L



1





，

2

x

n

4x

n



4



x

1



4





所以

lim

n

y

n1

0

.故选B.

x

n1

4. 若

y



ay



by0

的通解在

(,)

上有界，这（ ）.

A.

a0,b0

C.

a0,b0

【答案】D

2

【解析】微分方程

y



ay



by0

的特征方程为

rarb0

.

B.

a0,b0

D.

a0,b0

好好学习 天天向上

2

①若

a4b0

，则通解为

y(x)e

2

a

x

2

4ba

2

4ba

2

(C

1

cosxC

2

sinx)

；

22





x





②若

a

2

4b0

，则通解为

y(x)C

1

e



a4ba

2







22



C

2

e

.



a4ba

2







22







x





；

③若

a

2

4b0

，则通解为

y(x)(C

1

C

2

x)e

由于

y(x)

在

(,)

上有界，若



a

x

2

aa

0

，则①②③中

x

时通解无界，若

0

，

22

则①②③中

x

时通解无界，故

a0

.

a0

时，若

b0

，则

r

1,2

bi

，通解为

y(x)(C

1

cosbxC

2

sinbx)

，在

(,)

上有界.

bx

a0

时，若

b0

，则

r

1,2

b

，通解为

y(x)C

1

e

综上可得

a0

，

b0

.故选D.

C

2

e

bx

，在

(,)

上无界.



x2t|t|

5. 设函数

yf(x)

由参数方程



确定，则( ).

y|t|sint



A.

f(x)

连续，

f



(0)

不存在

B.

f



(0)

存在，

f



(x)

在

x0

处不连续

D.

f



(0)

存在，

f



(x)

在

x0

处不连续 C.

f



(x)

连续，

f



(0)

不存在

【答案】C

【解析】

limylim|t|sint0y(0)

，故

f(x)

在

x0

连续.

x0t0

f



(0)lim

x0

f(x)f(0)|t|sint

lim0

.

t0

x2t|t|



sinttcost

,t0



3

y



(t)



f



(x)



0t0

x



(t)



sinttcostt0





t0

时，

x0

；

t0

时，

x0

；

t0

时，

x0

，故

f



(x)

在

x0

连续.

sinttcost

0

f



(x)f



(0)2

3

f





(0)limlim

,



x0



t0

x3t9

f



(x)f



(0)sinttcost0

f





(0)limlim2

,



x0



t0

xt

好好学习 天天向上

3

故

f



(0)

不存在.故选C.



6. 若函数

f(



)



2

1

dx

在



=



0

处取得最小值，则



0

=

( )



1

x(lnx)

A.



1

B.

ln(ln2)

ln(ln2)

1

D.

ln2

ln2

C.



【答案】A.

【解析】已知

f(a)





2



d(lnx)11

dx(lnx)

a

a1a1



2

(lnx)x(lnx)a



2



11

，则

a

a(ln2)

f



(a)

111lnln211



a

2

(ln2)

a

a(ln2)

a

a(ln2)

a



1





lnln2



，



a



令

f



(a)0

，解得

a

0



故选A.

1

.

lnln2

7.设函数

f(x)(x

2

a)e

x

.若

f(x)

没有极值点,但曲线

yf(x)

有拐点,则

a

的取值范

围是( ).

A.

[0,1)

【答案】C.

【解析】由于

f(x)

没有极值点,但曲线

yf(x)

有拐点，则

f



(x)(x

2

2xa)e

x

有两

个相等的实根或者没有实根，

f



(x)(x

2

4xa2)e

x

有两个不相等的实根.于是知

B.

[1,)

C.[1,2) D.

[2,)



44a0,

解得

1a2

.故选C.



164(a2)0,





AE



*

8.

A,B

为可逆矩阵，

E

为单位阵，

M

为

M

的伴随矩阵，则





OB





|A|B

*

B

*

A

*



A.



*



O|B|A





|B|A

*

B

*

A

*



C.



*



O|A|B



好好学习 天天向上

*



|B|A

*

A

*

B

*



B.



*



O|A|B





|A|B

*

A

*

B

*



D.



*



O|B|A



4

【答案】B

【解析】由于



*



AE





OB



AE





OB







AE



EO



OB





OE











|A||B|O





O|A||B|



，



故



*1



AE



O





OB











AE





OB









|A||B|



O|A||B|











A

1

A

1

B

1





OB

1





|A||B|O









O|A||B|







|A|A

1

|B||A|A

1

|B|B

1









OB

1

|A||B|











A

*

|B|A

*

B

*





OB

*

|A|



.



故选B.

9.

f(x

1

,x

2

,x

3

)(x

2

1

x

2

)

2

(x

1

x

3

)4(x

2

x

3

)

2

的规范形为

A.

y

2

1

y

2

2

B.

y

2

y

2

12

C.

y

2

1

y

22

2

4y

3

D.

y

2

1

y

22

2

y

3

【答案】B

【解析】

f(x

1

,x

2

,x

3

)(x

1

x

2

2

)(x

1

x

3

)

2

4(x

2

2

x

3

)

2x

2

3x

22

1



2

3x

3

2x

1

x

2

2x

1

x

3

8x

2

x

3

，



211



二次型的矩阵为

A





134





，





143





2



112



10

|A



E|13



4(



7)13



1

143



141

2



10

(



7)21



0



(



7)(



3)0

，

141



3,



2

12

7,



3

0

，故规范形为

y

2

1

y

2

，故选B.

好好学习 天天向上

5



1



2



2



1





10.已知向量组



1

2,



2

1,



1

5,



2

0

，若



既可由



1

,



2

线性表





3



1



9



1





示，又可由



1

,



2

线性表示，则





( )



3





A.

k3,kR





4







3





B.

k5,kR





10







1





D.

k5,kR





8







1





C.

k1,kR





2





【答案】D

【解析】设



k

1



1

k

2



2

k

3



1

k

4



2

，则

k

1



1

k

2



2

k

3



1

k

4



2

0

，对关于

k

1

,k

2

,k

3

,k

4

的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，



1221



1003





A(



1

,



2

,



1

,



2

)



2150







0101



，



3191



0011





TTTT

解得

(k

1

,k

2

,k

3

,k

4

)C(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33C,1C,1C,C)

，故



1C



1









k

1



1

k

2



2

(33C)



1

(C1)



2





5(1C)



k



5



,kR

.故选D.



8(1C)



8





二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

11．当

x0

时，

f(x)axbxln(1x)

与

g(x)e

x

cosx

是等价无穷小，则

2

2

ab

________.

【答案】

2

【解析】由题意可知，

1

axbx

2

xx

2

o(x

2

)

f(x)axbxln(1x)

2

lim

1limlim

2

x

x0

x0

g(x)

x0

1

ecosx

1+x

2

o(x

2

)[1x

2

o(x

2

)]

2

1

(a1)x(b)x

2

o(x

2

)

2

lim

，

x0

3

22

xo(x)

2

2

好好学习 天天向上

6

于是

a10,b

12. 曲线

y

【答案】

13



，即

a1,b2

，从而

ab2

.

22



x

3

3t

2

dt

的孤长为_________.

4



3

3

【解析】曲线

y



x

3

3t

2

dt

的孤长为

3

3



3

3

1y



2

dx



13xdx





0

2

3

3

4xdx

2





2

0

2

3

0

4x

2

dx

1cos2t

dt

2

x2sint



0

2



3

2costd2sin

t8



3

costdt

8



3





1



3

4



3

.

4



tsin2

t





3



2



0



2

z

13. 设函数

zz(x,y)

由方程

exz2xy

确定，则

2

x

z



_________.

(1,1)

【答案】



3

2

【解析】将点

(1,1)

带入原方程，得

z0

.

方程

e

z

xz2xy

两边对

x

求偏导，得

e

2

z

zz

zx2

，

xx

2

z

2

z



z



z

z

两边再对

x

求偏导，得

e



2x

2

0

，将

x1,y1,z0

代入以



e

2

xxx



x



z

z



2

z

1

，

2

上两式，得

x

(1,1)

x

(1,1)

3



.

2

14. 曲线

3xy2y

在

x1

对应点处的法线斜率为_________.

【答案】



353

11

9

【解析】当

x1

时，

y1

.

方程

3xy2y

两边对

x

求导，得

9x(5y6y)y



，将

x1

，

y1

代入，得

353

242

y



(1)

9

11

353

.于是曲线

3xy2y

在

x1

对应点处的法线斜率为



.

11

9

15. 设连续函数

f(x)

满足

f(x2)f(x)x

，

f(x)dx0

，则

0



2



3

1

f(x)dx

_________.

好好学习 天天向上

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