2024年5月25日发(作者：)
2．4 反函数·例题解析
【例1】求下列函数的反函数：
(1)y＝
3x5
2x1
(x≠－
1
2
)．
(2)y＝x
2
－2x＋3，x∈(－∞，0]．
(3)y＝
1
x
2
1
(x≤0)．
(4)y＝
x+1(－1≤x≤0)
－x(0＜x≤1)
解 (1)∵y＝
3x513
2x1
(x≠－
2
)，∴y≠
2
，
由y＝
3x5
2x1
得(2y－3)x＝－y－5，
∴x＝
y5
32y
所求反函数为y＝
y5
32y
(x≠
3
2
)．
解 (2)∵y＝(x－1)2＋2，x∈(－∞，0]其值域为y∈[2，＋∞)，
由y＝(x－1)
2
＋2(x≤0)，得x－1＝－y2，即x＝1－y2
∴反函数为f
1
(x)＝1－x2，(x≥2)．
1
解 (3)∵y＝
1
x
2
1
(x≤0)，它的值域为0＜y≤1，
由y＝
11y
x
2
1
得x＝－
y
，
∴反函数为f
1
(x)＝－
1x
x
(0＜x≤1)．
解 (4)由y＝x1(－1≤x≤0)，
得值域0≤y≤1，反函数f
1
(x)＝x
2
－1(0≤x≤1)．
由y＝－x(0＜x≤1)，
得值域－1≤y＜0，反函数f
1
(x)＝x
2
(－1≤x＜0)，
故所求反函数为y＝
x
2
－1(0≤x≤1)
x
2
(－1≤x＜0)
．
【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．
(1)y＝x1－1(2)y＝－3x
2
－2(x≤0)
解 (1)∵已知函数的定义域是x≥1，∴值域为y≥－1，
由y＝x1－1，得反函数y＝(x＋1)
2
＋1(x≥－1)．
函数y＝x1－1与它的反函数y＝(x＋1)
2
＋1的图像如图2．4－1所示．
解 (2)由y＝－3x2－2(x≤0)得值域y≤－2，
2
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