2024年4月28日发(作者：)

指数函数、对数函数、幂函数

知识要点梳理

1.根式的概念

知识点一：指数及指数幂的运算

的次方根的定义：一般地，如果

，那么叫做的次方根，其中

当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为

偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.

式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.

.

；当为

2.n次方根的性质：

(1)当为奇数时，

(2)

；当为偶数时，

3.分数指数幂的意义：

；

注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质：

(1)

(2) (3)

知识点二：指数函数及其性质

1.指数函数概念

一般地，函数

2.指数函数函数性质：

叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为

1

.

函数

名称

定义

函数

指数函数

且叫做指数函数

图象

定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

在上是增函数

图象过定点，即当

非奇非偶

时，.

在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对图

象的影响

在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向

看图象，逐渐减小.

知识点三：对数与对数运算

1.对数的定义

(1)若

叫做底数， 叫做真数.

，则叫做以为底的对数，记作，其中

(2)负数和零没有对数.

(3)对数式与指数式的互化：

2.几个重要的对数恒等式

.

，，.

2

3.常用对数与自然对数

常用对数：

4.对数的运算性质

如果

；自然对数：，即(其中…). ，即

，那么

①加法：

③数乘：

②减法：

④

⑤ ⑥换底公式

知识点四：对数函数及其性质

1.对数函数定义

函数的定义域

2.对数函数性质：

函数

名称

定义

函数

一般地，函数

.

叫做对数函数，其中是自变量，

对数函数

且叫做对数函数

图象

定义域

值域

过定点

奇偶性

图象过定点，即当

非奇非偶

时，.

3

单调性

在上是增函数 在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对图

象的影响

在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向

看图象，逐渐减小.

的函数，叫做幂函数，其中为常数.

知识点六：幂函数

1.幂函数概念形如

2.幂函数的性质

(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限

无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象

关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图

象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.

(2)过定点：所有的幂函数在

(3)单调性：如果

都有定义，并且图象都通过 点.

，则幂函数的图象过原点，并且在

，则幂函数的图象在

轴.

上为增函数.如果

上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与

(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当

(其中 互质，

为偶数时，幂函数为偶函数.当

和)，若为奇数为奇数时，

则

是奇函数，若为奇数为偶数时，则

为偶数为奇数时，则是偶函数，若

是非奇非偶函数.

(5)图象特征：幂函数

若

，当

下方，若

，其图象在直线

时，

，其图象在直线

上方，当时，若，其图象在直线上

4

方，若 ，其图象在直线下方.

5