2024年4月28日发(作者：)
最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工
具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数
y
＝log
a
x
与指数函数
y
＝
a
x
互为反函数（
a
＞0，且
a
≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形
成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.
知识点一 对数函数的概念
函数
y
＝log
a
x
（
a
＞0，且
a
≠１）叫做对数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域是（0，
＋∞）．
错误! 形如y＝２
log
２
x，y＝
log
２
错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．
知识点二 对数函数的图象与性质
图
象
a
＞１
0＜
a
＜１
定义域（0，＋∞）
性
质
值域R
过点（１,0），即当
x
＝１时，
y
＝0
在（0，＋∞）上是增函数
在（0，＋∞）上是减函数
错误! 底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函
数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．
知识点三 反函数
一般地，指数函数
y
＝
a
x
（
a
＞0，且
a
≠１）与对数函数
y
＝log
a
x
（
a
＞0，且
a
≠１）
互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
[教材解难]
１．教材P
１３0
思考
根据指数与对数的关系，由
y
＝错误!
x
5730
（
x
≥0）得到
x
＝log
5730
1
y
（0＜
y
≤１）．如
2
x
5730
图，过
y
轴正半轴上任意一点（0，
y
0
）（0＜
y
0
≤１）作
x
轴的平行线，与
y
＝错误! （
x
≥0）
的图象有且只有一个交点（
x
0
，
y
0
）．这就说明，对于任意一个
y
∈（0,１]，通过对应关系
x
＝log
5730
1
y
，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数
x
和它对应，所以
x
也是
y
的函数．也就
2
是说，函数
x
＝log
5730
1
y
，
y
∈（0,１]刻画了时间
x
随碳１４含量
y
的衰减而变化的规律．
2
２．教材P
１３２
思考
利用换底公式，可以得到
y
＝log
1
x
＝—log
２
x
.因为点（
x
，
y
）与点（
x
，—
y
）关于
x
2
轴对称，所以
y
＝log
２
x
图象上任意一点
P
（
x
，
y
）关于
x
轴的对称点
P
１
（
x
，—
y
）都在
y
＝log
1
x
的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于
x
轴
2
对称．根据这种对称性，就可以利用
y
＝log
２
x
的图象画出
y
＝log
1
x
的图象．
2
３．教材P
１３8
思考
一般地，虽然对数函数
y
＝log
a
x
（
a
＞１）与一次函数
y
＝
kx
（
k
＞0）在区间（0，＋
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