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第14章勾股定理

§14.1勾股定理

1. 直角三角形三边的关系

2. 直角三角形的判定

阅读材料 勾股定理史话

美丽的勾股树

§14.2勾股定理的应用

小结

复习题

课题学习 勾股定理的“无字证明”

- 1 -

第14章勾股定理

还记得2002年在北京召开的国际数学家大会（ＩＣＭ２００２）

吗?在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个

远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标．

那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理

的弦图．

§14.1 勾股定理

1. 直角三角形三边的关系

本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关

系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺．

试一试

测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下

表：

- 2 -

三角尺

1

2

直角边a

直角边b

斜边c

关系

根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系．

图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三

个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正方形R

的面积．即

AC

2

＋ＢＣ

2

＝ＡＢ

2

，

图14.1.1

这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜

边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于

斜边的平方呢?

试一试

观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得

到：正方形P的面积＝ 平方厘米；

正方形Q的面积＝ 平方厘米；

- 3 -

（每一小方格表示1平方厘米）

图14.1.2

正方形R的面积＝ 平方厘米．

我们发现，正方形P、 Q、 R的面积之间的关系

是 ．

由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关

系 ．

做一做

在图14.1.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、

12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系

对这个直角三角形是否成立．

- 4 -

（每一小格代表1平方厘米）

图14.1.3

概 括

数学上可以说明： 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角

边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有a

2

＋b

2

＝c

2

，这种关系我们

称为勾股定理．

勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．

例1

如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为

2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01

米）

- 5 -

图14.1.4

解

如图14.1.4，在Rt△ＡＢＣ中，

ＢＣ＝２.１６米， ＡＣ＝５.４１米，

根据勾股定理可得

ＡＢ＝

AC

2

－ＢＣ

2

＝

５４１

．

.

2

－２１６.

2

≈４.９６（米）

答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米．

练习

1. 在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b， ∠B＝90°．

（1） 已知a＝6， b＝10， 求c；

（2） 已知a＝24， c＝25， 求b．

2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这

个三角形的周长是多少厘米?

试一试

剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如

图14.1.6所示的图形．

大正方形的面积可以表示为 ，

又可以表示为 ．

对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．

图14.1.5 图14.1.6

用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图

- 6 -

14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确

的．

读一读

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，

斜边称为弦．图14.1.7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家

赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．图14.1.8是在北京召开的2002

年国际数学家大会（ICM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标

志着中国古代的数学成就．

图14.1.7 图14.1.8

例2

如图14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离，一

个观测者在点C设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角形．通过测量，

得到AC长160米，ＢＣ长128米．问从点A穿过湖到点B有多远?

图14.1.9

解

如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中，

AC＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，

根据勾股定理可得

ＡＢ＝

AC

2

BC

2

＝

160

2

128

2

＝96（米）．

答： 从点A穿过湖到点B有96米．

- 7 -

练习

1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ＡＢＣD的面积

与周长．

2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），

他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走

3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，

问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?

（第1题） （第2题）

2. 直角三角形的判定

古埃及人曾经用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的

13个结，然后如图14.1.10那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为

其中一个角便是直角．

你知道这是什么道理吗?

图14.1.10

试一试

试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么

- 8 -

样的三角形：

（1） a＝3， b＝4， c＝5；

（2） a＝4， b＝6， c＝8；

（3） a＝6， b＝8， c＝10．

可以发现，其中按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，而

按（2）所画的不是直角三角形．

在这三组数据中，（1）、（3）两组都满足a

2

＋b

2

＝c

2

，而组（2）

不满足．以后我们会证明一般的结论：

如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a

2

＋b

2

＝c

2

，那么这

个三角形是直角三角形．

古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足这样的关系，所以其中

一个角是直角．

例3

设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直

角三角形：

（1） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 9．

解

因为 25

2

＝２４

2

＋７

2

，

３７

2

＝３５

2

＋１２

2

，

１３

2

≠１１

2

＋９

2

，

所以根据前面的判定方法可知，以（1）、（2）两组数为边长的三角形

是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形．

练习

1. 设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是

直角三角形．若是，指出哪一条边所对的角是直角．

- 9 -

（1） 12， 16， 20；

（2） 8， 12， 15；

（3） 5， 6， 8．

2. 有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形?

习题14.1

1. 将图14.1.6沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯

形．利用此图的面积表示式验证勾股定理．

（第1题）

2. 已知△ＡＢＣ中，∠B＝９０°， AC＝１３cm， ＢＣ＝５cm，求

ＡＢ的长．

３. 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的周长．

４. 如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别

以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．试探索

这三个圆的面积之间的关系．

（第４题） （第5题）

5. 如图，已知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6、８、10，分别以

它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积．

- 10 -

6. 试判断以如下的a、 b、 c为边长的三角形是不是直角三角形?

如果是，那么哪一条边所对的角是直角?

（1） a＝25， b＝20， c＝15；（2） a＝1， b＝2， c＝3；

（3） a＝40， b＝9， c＝40；（4） a∶b∶c＝5∶12∶13．

阅读材料

勾股定理史话

勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史．远在公元前三千年

的巴比伦人就已经知道和应用它了．我国古代也发现了这个定理．据

《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确

的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径

隅五．”同书中还有另一位学者陈子（公元前六七世纪）与荣方（公

元前六世纪）的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高

为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（如图所示），即

邪至日＝勾２＋股２．这里陈子已不限于“三、四、五”的特殊情形，

而是推广到一般情形了．

人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特

殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理

是谁最先发明的．国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯（Pythagoras）

学派首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理．

勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的证明方法很

多．1940年卢米斯（E.S. Loomis）专门编辑了一本证明勾股定理的

小册子——《毕氏命题》，作者收集了这个著名定理的370种证明，

- 11 -

其中包括大画家达·芬奇和美国第２０任总统詹姆士·阿·加菲尔

德（James Abram Garfield， 1831～1881）的证法．

美丽的勾股树

你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你

是否见过如下的勾股树呢?

你知道这是如何画出来的吗?仔细看看，你就会发现那一个个细

小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了多么

奇妙美丽的勾股树!动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树．

§14.2 勾股定理的应用

勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学

中有着广泛的应用．

例1

如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ

- 12 -

是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，

试求出爬行的最短路程．

图14.2.1

分析

蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展

开（如图14.2.2），得到矩形 ＡＢＣD，根据“两点之间，线段最短”，

所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长．（精确到０.０

１cm）

图14.2.2

解

如图14.2.2，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０

cm，

∴ AC＝

AB

2

BC

2

＝

4

2

10

2

＝229≈１０．７７（cm）（勾股定理）．

答： 最短路程约为１０．７７cm．

例2

一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门

形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

- 13 -

图14.2.3

分析

由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门

正中间时其高度是否小于CH．如图１４.２.３所示，点D在离厂门

中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H．

解

在Rt△OCD中，由勾股定理得

ＣＤ＝

OC

2

OD

2

＝

1

2

0.8

2

＝０.６米，

CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．

因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．

做一做

图14.2.4

如图14.2.4，以直角三角形ＡＢＣ的三边为边分别向外作正方

形，其中一个正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形．试将图

中5个带色的图形拼入到大正方形中，填满整个大正方形．

练习

1. 如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面

钢缆固定点A到电杆底部B的距离．

2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，

- 14 -

两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的多少倍?

（第１题）

例3

如图14.2.5，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都

为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：

（1） 从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即

小正方形的顶点）上，且长度为22；

（2） 画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形， 使另一个顶

点在格点上，且另两边的长度都是无理数．

分析

只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．

图14.2.5 图14.2.6

解

（1） 图14.2.6中ＡＢ长度为22．

（2） 图14.2.6中△ＡＢＣ、 △ＡＢD就是所要画的等腰三角形．

例4

如图14.2.7，已知CD＝６m， AD＝８m， ∠ADC＝９０°， BC

＝２４m， ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．

- 15 -

图14.2.7

解

在Rt△ADC中，

AC

2

＝ＡＤ

2

＋ＣＤ

2

＝６

2

＋８

2

＝１００（勾股定理），

∴ AC＝１０m．

∵ ＡＣ

2

＋ＢＣ

2

＝１０

2

＋２４

2

＝６７６＝ＡＢ

2

，

∴ △ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a

2

＋b

2

＝c

2

，那么这个三角形是直角三角形），

∴ S阴影部分＝Ｓ△ACB－Ｓ△ACD

＝1/2×１０×２４－1/2×６×８＝９６（m

2

）．

练习

1. 若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x，试求出x的所有可能

值．

2. 利用勾股定理，分别画出长度为

3

和

5

厘米的线段．

习题14.2

1. 若等腰直角三角形的斜边长为2cm，试求出它的直角边和斜边上

的高的长度．

2. 下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为

1cm，求第4个直角三角形斜边长度．

（第２题） （第3题）

3. 如图，为了加固一个高2米、宽3米的大门，需在相对角的顶点

间加一块木条．求木条的长度．

- 16 -

4. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２， ＢＣ＝４， ＡＣ＝23， ∠C＝３

０°， 求∠B的大小．

5. 已知三角形的三边分别是n＋1、 n＋2、 n＋3，当n是多少时，

三角形是一个直角三角形?

6. 如图，AD⊥CD， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３，

若∠CＡＢ＝５５°，求∠B的大小．

（第6题）

小结

一、 知识结构

勾股定理

直角三角形

应用

判定直角三角形的一种方法

二、 概括

本章研究了揭示直角三角形三条边之间关系的勾股定理和由此

产生的一种判定直角三角形的方法．如果知道了直角三角形任意两边

的长度，那么应用勾股定理可以计算出第三边的长度；如果知道了一

- 17 -

个三角形的三边的长，也可以判断这个三角形是否是直角三角形．勾

股定理可以解决直角三角形中的许多问题，在现实生活中有许多重要

的应用．

复习题

A组

1. 求下列阴影部分的面积：

（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影

部分是半圆．

（第1题）

2. 如图，以Rt△ＡＢＣ的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索

三个半圆的面积之间的关系．

（第2题）

3. 试判断下列三角形是否是直角三角形：

（1） 三边长为m

2

＋n

2

、 mn、 m

2

－n

2

（m＞n＞0）；

（2） 三边长之比为 1∶1∶2；

（3） △ＡＢＣ的三边长为a、 b、 c，满足a

2

－b

2

＝c

2

．

4. 一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物

- 18 -

０.7米，如果梯子的顶部滑下０.4米，梯子的底部向外滑出多远?

5. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A、 B、 C、

D的面积和．

（第5题）

B组

6. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０， BD是AC边的高，DC＝２，

求BD的长．

（第7题）

7. 有一块四边形地ＡＢＣD（如图），∠B＝９０°， ＡＢ＝４m， Ｂ

Ｃ＝３m， CD＝１２m， DA＝１３m， 求该四边形地ＡＢＣD的面积．

8. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出

5组勾股数．

9. 已知△ＡＢＣ中，三条边长分别为a＝n

2

－１， b＝2n， c＝n

2

＋

１（n＞1）．试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一

条边所对的角是直角．

C组

- 19 -

10. 如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， CD＝３， ＤＡ

＝１， 且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度数．

（第10题） （第11题）

11. 如图，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝５cm，在边CD上适当选定一

点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，

且△ＡＢF的面积是30cm

2

．求此时AD的长．

（第12题）

12. 折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本

三尺．问折者高几何?意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵

风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原

处还有多高的竹子?

课题学习

勾股定理的“无字证明”

在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用以下图形，验证著名的

- 20 -

勾股定理：

整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边上

的４个直角三角形的面积之和，即为

(a+b)

2

=c

2

+4·（１/２ab）,

由此可以推出勾股定理

a

2

+b

2

=c

2

．

这种根据图形可以极其简单地直观推论或验证数学规律和公式

的方法，简称为“无字证明”．

对于勾股定理，我们还可以找到一些用于“无字证明”的图

形．现在请你和大家一起，查阅课本和其他有关书籍，上网查询各种

相应的资料，相信你一定能够发现更多的有趣图形，验证勾股定理．

实际上你还可以发现“无字证明”也可以用于验证数与代数、空

间与图形等领域中的许多数学公式和规律！

- 21 -