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2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷5页，23小题，总分值150分。考试用时120分钟。

考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型

〔B〕填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处〞。

2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试完毕后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合

A

={

x

|

x

<1}，

B

={

x

|

3

x

1

}，那么

A．

AB{x|x0}

B．

ABR

C．

A

B{x|x1}

D．

AB

2．如图，正方形

ABCD

内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成

中心对称.在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是

A．

1

4

B．

π

8

C．

1

2

D．

π

4

3．设有下面四个命题

1

p

1

：假设复数

z

满足

R

，那么

zR

；

z

p

2

：假设复数

z

满足

z

2

R

，那么

zR

；

p

4

：假设复数

zR

，那么

zR

.

p

3

：假设复数

z

1

,z

2

满足

z

1

z

2

R

，那么

z

1

z

2

；

其中的真命题为

A．

p

1

,p

3

B．

p

1

,p

4

C．

p

2

,p

3

D．

p

2

,p

4

4．记

S

n

为等差数列

{a

n

}

的前

n

项和．假设

a

4

a

5

24

，

S

6

48

，那么

{a

n

}

的公差为

A．1 B．2 C．4 D．8

5．函数

f(x)

在

(,)

单调递减，且为奇函数．假设

f(1)1

，那么满足

1f(x2)1

的

x

的取值范围是

A．

[2,2]

6．

(1

7．某多面体的三视图如下图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图

B．

[1,1]

C．

[0,4]

D．

[1,3]

C．30 D．35

1

)(1x)

6

展开式中

x

2

的系数为 A．15

2

x

B．20

为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有假设干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10 B．12

n

n

C．14 D．16

和两个空白框中，可以分别填入 8．右面程序框图是为了求出满足3−2>1000的最小偶数

n

，那么在

A．

A

>1 000和

n

=

n

+1 B．

A

>1 000和

n

=

n

+2 C．

A



1 000和

n

=

n

+1 D．

A



1 000和

n

=

n

+2

9．曲线

C

1

：

y

=cos

x

，

C

2

：

y

=sin (2

x

+

2π

)，那么下面结论正确的选项是

3

π

个单位长度，得到曲线

C

2

6

A．把

C

1

上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

B．把

C

1

上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

个单位长度，得到曲线

12

C

2

C．把

C

1

上各点的横坐标缩短到原来的

1

π

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

C

2

26

1

π

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

212

D．把

C

1

上各点的横坐标缩短到原来的

C

2

10．

F

为抛物线

C

：

y

=4

x

的焦点，过

F

作两条互相垂直的直线

l

1

，

l

2

，直线

l

1

与

C

交于

A

、

B

两点，直线

l

2

与

C

交于

2

D

、

E

两点，那么|

AB

|+|

DE

|的最小值为

A．16 B．14 C．12 D．10

11．设

xyz

为正数，且

2

x

3

y

5

z

，那么

A．2

x

<3

y

<5

z

B．5

z

<2

x

<3

y

C．3

y

<5

z

<2

x

D．3

y

<2

x

<5

z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题

获取软件激活码〞的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，

2，4，8，16，…，其中第一项为哪一项2，接下来的两项是2，2，再接下来的三项是2，2，2，依此类推。

求满足如下条件的最小整数

N

：

N

>100且该数列的前

N

项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是

A．440 B．330 C．220 D．110

001012

二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

13．向量

a

，

b

的夹角为60°，|

a

|=2，|

b

|=1，那么|

a

+2

b

|= .



x2y1



14．设

x

，

y

满足约束条件



2xy1

，那么

z3x2y

的最小值为 .



xy0



x

2

y

2

15．双曲线

C

：

2



2

1

〔

a

>0，

b

>0〕的右顶点为

A

，以

A

为圆心，

b

为半径做圆

A

，圆

A

与双曲线

C

的一条渐近

ab

线交于

M

、

N

两点。假设∠

MAN

=60°，那么

C

的离心率为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为

O

，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形

ABC

的中心为

O

。

D

、

E

、

F

为圆

O

上的点，△

DBC

，

△

ECA

，△

FAB

分别是以

BC

，

CA

，

AB

为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以

BC

，

CA

，

AB

为折痕折起△

DBC

，

△

ECA

，△

FAB

，使得

D

、

E

、

F

重合，得到三棱锥。当△

ABC

的边长变化时，所得三棱锥体积〔单位：cm〕的最

大值为_______。

3

三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作

答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

〔一〕必考题：共60分。

a

2

17．〔12分〕△

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，△

ABC

的面积为

3sinA

〔1〕求sin

B

sin

C

;

〔2〕假设6cos

B

cos

C

=1，

a

=3，求△

ABC

的周长.

18.〔12分〕

如图，在四棱锥

P-ABCD

中，

AB//CD

，且

BAPCDP90

.

〔1〕证明：平面

PAB

⊥平面

PAD

；

〔2〕假设

PA

=

PD

=

AB

=

DC

，

APD90

，求二面角

A

-

PB

-

C

的余弦值.

19．〔12分〕为了监控某种零件的一条消费线的消费过程，检验员每天从该消费线上随机抽取16个零件，并测量

其尺寸〔单位：cm〕．根据长期消费经历，可以认为这条消费线正常状态下消费的零件的尺寸服从正态分布

N(



,



)

．

〔1〕假设消费状态正常，记

X

表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在

(



3



,



3



)

之外的零件数，求

2

P(X1)

及

X

的数学期望；

〔2〕一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在

(



3



,



3



)

之外的零件，就认为这条消费线在这一天的消费

过程可能出现了异常情况，需对当天的消费过程进展检查．

〔ⅰ〕试说明上述监控消费过程方法的合理性；

〔ⅱ〕下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

1

16

1

16

1

16

2222

x

i

9.97

，

s

经计算得

x

(xx)(x16x)0.212

，其中

x

i

为抽取的第

i

个





ii

16

i1

16

i1

16

i1

零件的尺寸，

i1,2,,16

．

ˆ

，用样本标准差

s

作为



的估计值



ˆ

，利用估计值判断是否需对当天的消费用样本平均数

x

作为



的估计值



ˆ

3



ˆ

,



ˆ

3



ˆ

)

之外的数据，用剩下的数据估计



和



〔准确到〕． 过程进展检查？剔除

(



2

附：假设随机变量

Z

服从正态分布

N(



,



)

，那么

P(



3



Z



3



)0.997 4

，

0.997 4

16

0.959 2

，

0.0080.09

．

20.〔12分〕

33

x

2

y

2

椭圆

C

：

2



2

=1

〔

a

>

b

>0〕，四点

P

1

〔1,1〕，

P

2

〔0,1〕，

P

3

〔–1，〕，

P

4

〔1，〕中恰有三点在椭圆

C

22

ab

上.

〔1〕求

C

的方程；

〔2〕设直线

l

不经过

P

2

点且与

C

相交于

A

，

B

两点。假设直线

P

2

A

与直线

P

2

B

的斜率的和为–1，证明：

l

过定点.

21.〔12分〕

2

xx

函数

（

a

e+(

a

﹣2) e﹣

x

.

fx)

〔1〕讨论

f(x)

的单调性；

〔2〕假设

f(x)

有两个零点，求

a

的取值范围.

〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，那么按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]〔10分〕



x3cos



,

在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

的参数方程为



〔

θ

为参数〕，直线

l

的参数方程为

ysin



,





xa4t,

（t为参数）

.



y1t,



〔1〕假设

a

=−1，求

C

与

l

的交点坐标；

〔2〕假设

C

上的点到

l

的间隔 的最大值为

17

，求

a

.

23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕

函数

f

〔

x

〕=–

x

+

ax

+4，

g

(

x

)=│

x

+1│+│

x

–1│.

〔1〕当

a

=1时，求不等式

f

〔

x

〕≥

g

〔

x

〕的解集；

〔2〕假设不等式

f

〔

x

〕≥

g

〔

x

〕的解集包含[–1，1]，求

a

的取值范围.

2

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学参考答案

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. A

7．B

2．B

8．D

3．B

9．D

4．C 5．D 6．C

10．A 11．D 12．A

二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

13．

23

14．-5 15．

23

3

16．

15cm

3

三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作

答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

〔一〕必考题：共60分。

17．〔12分〕△

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，△

ABC

a

2

的面积为

3sinA

〔1〕求sin

B

sin

C

;

〔2〕假设6cos

B

cos

C

=1，

a

=3，求△

ABC

的周长.

解：〔1〕

由题意可得

S

ABC

1a

2

bcsinA

23sinA

，

化简可得

2a

2

3bcsin

2

A

，

2

根据正弦定理化简可得：

2sinA3sinBsinCsinAsinBsinC

3

。

22

〔2〕

由

2



sinBsinC



12





3

cosAcos



AB



sinBsinCcosBcosCA



23



cosBcosC

1



6



，

因此可得

B

3

C

，

31

2







2

将之代入

sinBsinC

中可得：

sin



C



sinCsinCcosCsinC0

，

322

3





3



化简可得

tanC

3

C

6

,B

6

，

a31

利用正弦定理可得

b

sinA

sinB

3



2

3

，

2

同理可得

c3

，

故而三角形的周长为

323

。

18.〔12分〕

如图，在四棱锥

P-ABCD

中，

AB//CD

，且

BAPCDP90

.

〔1〕证明：平面

PAB

⊥平面

PAD

；

〔2〕假设

PA

=

PD

=

AB

=

DC

，

APD90

，求二面角

A

-

PB

-

C

的余弦

值.

〔1〕证明：

AB//CD,CDPDABPD

,

又

ABPA,PAPDP

,

PA

、

PD

都在平面

PAD

内，

故而可得

ABPAD

。

又

AB

在平面

PAB

内，故而平面

PAB

⊥平面

PAD

。

〔2〕解：

不妨设

PAPDABCD2a

，