2024年3月31日发(作者：解压器手机版)
河南省信阳市浉河区信阳高级中学2022-2023学年高二上
学期期末数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
rr
r
r
1
．已知向量
a=
(
2,-1,3
)
，
b=
(
-4,2,x
)
，使
a
//
b
成立的
x
为（
）
A
．
-6B
．
6C
．
10
3
D
．
-
10
3
ll
l
Q(m,0)
2
．已知直线
的倾斜角为
2
p
，直线
l
1
经过
P(-2,3)
，两点，且直线与
1
垂直，
3
则实数
m
的值为（
）
A
．
-2B
．
-3C
．
-4D
．
-5
x=1
f1
+D
x
)
-
f
(
1
)
(
)3
．若函数
f
(
x
)
在处的导数为
2
，则
lim
(
=
D
x
®
0
2
D
x
1
A
．
2B
．
1C
．
2
D
．
6
4
．已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
A
．
6
5
．设
B
．
12
S
n
，若
a+a=36
a=
S
6
，则
8
（
）
=
3
且
37
S
3
C
．
27D
．
36
O
为坐标原点，直线
x=a
x
2
y
2
与双曲线
C:
2
-
2
=
1(a
>
0,b
>
0)
的两条渐近线分别交
ab
于
D,E
两点，若
VODE
的面积为
8
，则
C
的焦距的最小值为（
）
A
．
4B
．
8C
．
16D
．
32
6
．如图，在正方体
ABCD-ABCD
中，点
E
，
F
分别是棱
BB
，
B
1
C
1
的中点，点
G
是
1
1111
棱
C
1
C
的中点，则过线段
AG
且平行于平面
A
1
EF
的截而图形为（
）
试卷第11页，共33页
A
．等腰梯形
2
B
．三角形
C
．正方形
D
．矩形
7
．已知椭圆
x
+y
2
=1
，作垂直于
x
轴的垂线交椭圆于
A
、
B
两点，作垂直于
y
轴的垂
2
线交椭圆于
C
、
D
两点，且
AB
=
CD
，两垂线相交于点
P
，则点
P
的轨迹是（
）
A
．椭圆
B
．双曲线
C
．圆
D
．抛物线
8
．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件
.
为激发大家学习数学的兴
趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学
问题的答案：已知数列
1
，
1
，
2
，
1
，
2
，
4
，
1
，
2
，
4
，
8
，
1
，
2
，
4
，
8
，
16
，
¼
，其中
第一项是
2
0
，接下来的两项是
2
0
,2
1
，再接下来的三项是
2
0
,2
1
,2
2
，依此类推，求满足
如下条件的最小整数
N
：
N>100
且该数列的前
N
项和为
2
的整数幂
.
那么该款软件的激
活码是（
）
A
．
440B
．
330C
．
220D
．
110
二、多选题
9
．下面四个结论正确的是（
）
rr
rr
rrrrrr
A
．空间向量
a,b
(
a¹0,b¹0
)
，若
a^b
，则
a×b=0
P,A,B,C
uuur
1
uuur
3
uuur
A,B,C
，
PC=PA+PB
，则三点共线
44
B
．若空间四个点
C
．已知向量
rr
a=
(
1,1,x
)
,b=
(
-3,x,9
)
rr
3
，若
x<
，则
a,b
为钝角
10
试卷第21页，共33页
rrr
rrrrrr
a,b,c
a
D
．任意向量
满足
×b×c=a×b×c
()()
10
．已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a=1
，
a=3
，
b=2
2a
n
，
{b}
的前
n
项和为
12
n
n
T
n
则下列说法正确的是（
）
A
．数列
{a
n
}
的公差为
2
C
．数列
{b
n
}
是公比为
4
的等比数列
B
．
s=n
2
n
n
D
．
T
=
4(1
-
16)
n
1
-
4
11
．已知
ABCD-ABCD
为正四棱柱，底面边长为
2
，高为
4
，
E
，
F
分别为
AA
，
1
1111
BB
1
的中点
.
则下列说法正确的是（
）
AD
1
A
．直线
与平面
DCC
1
D
1
所成角为
π
6
B
．平面
AB
1
D
1
//
平面
BDC
1
C
．正四棱柱的外接球半径为
6
D
．以
D
为球心，
22
为半径的球与侧面
BCB
的交线长为
π
11
12
．下列不等关系中正确的是（
）
A
．
ln2
+
ln3
<
2ln
5
2
11
B
．
<
ln3
-
ln2
<
32
C
．
ln2ln3>1
D
．
ln33
>
ln22
三、填空题
13
．正弦曲线
y=sinx
上一点
P
，正弦曲线以点
P
为切点的切线为直线
l
，则直线
l
的
倾斜角的范围是
.
试卷第31页，共33页
14
．正项等比数列
{
a
}
中，存在两项
a
、
a
使得
aa=3a
，且
a=2a+3a
，则
n
765
m
n
mn1
14
+
的最小值为
mn
15
．数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感
.
莱洛
三角形是以正三角形
ABC
的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的
.
已
知
AB=2
uuuruuuruuur
»
，点为
AB
上一点，则
PA×PB+PC
的最小值为
P
()
.
22
PP
16
．在双曲线
C:
x
-
y
=
1
(
a
>
0,b
>
0
)
的右支上存在点，使得点与双曲线的左、
22
ab
右焦点
F
1
,F
2
形成的三角形的内切圆
M
的半径为
a
，若
DPF
1
F
2
的重心
G
满足
MG∥F
1
F
2
，
则双曲线
C
的离心率为
.
四、解答题
17
．已知函数f
(
x
)
=
lnx
-
x
．
1
+
2x
()
1
求
f
(
x
)
的单调递增区间；
试卷第41页，共33页
()
2
若
1
ù
f
é
x3x-2<-
()
ëû
3
，求实数
x
的取值范围．
18
．设抛物线
C
：
y
2
=2px
（
p>0
）的焦点为
F
，直线
l
与抛物线
C
交于不同的两点
A
、
B
，线段
AB
中点
M
的横坐标为
2
，且
|AF|+|BF|=6
.
(1)
求抛物线
C
的标准方程；
(2)
若直线
l
（斜率存在）经过焦点
F
，求直线
l
的方程
.
19
．设数列
{
a
}
满足
a=1
，
a
n
+
1
=
2a
n
+
1
.
1
n
（
1
）求
{
a
}
的通项公式；
n
（
2
）记
b=log
(
a+1
)
，求数列
{
b×a
}
的前
n
项和
S
n
.
n2nnn
20
．如图，四棱锥
P
-
ABCD
的底面
ABCD
是平行四边形，
PA^
底面
ABCD
，
PA=3
，
AD=2
，
AB=4
，
ÐABC=60°
.
(1)
求证：
BC
^
平面
PAC
；
(2)E
是侧棱
PB
上一点，记
l
PE
=
l
(
0
<
l
<
1
)
，是否存在实数，使平面
ADE
与平面
PB
PAD
所成的二面角为
60°
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由
.
l
试卷第51页，共33页
II
21
．若函数
f
(
x
)
是定义域
D
内的某个区间上的增函数，且
F
(
x
)
=
f
(
x
)
在上是减
x
函数，则称
y=f
(
x
)
是
I
上的“单反减函数”，已知
f
(
x
)
=
lnx,g
(
x
)
=
2x
+
2
+
alnx(a
Î
R)
x
（
1
）判断
f
(
x
)
在
(
0,1
]
上是否是“单反减函数”；
（
2
）若
g
(
x
)
是
[
1,+¥
)
上的“单反减函数”，求实数
a
的取值范围．
22
A(-2,-1)a=2b
22
．已知椭圆
C:
x
+
y
=
1
过点，且．
a
2
b
2
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程：
（Ⅱ）过点
B(-4,0)
的直线
l
交椭圆
C
于点
M,N
,
直线
MA,NA
分别交直线
x=-4
于点
P,Q
．求
|PB|
的值．
|BQ|
试卷第61页，共33页
参考答案：
1
．
A
【分析】根据向量平行的坐标表示求解
.
rr
r
r
【详解】因为
a
//
b
，则
a=
l
b
，
即
(
2,-1,3
)
=
l
(
-4,2,x
)
x=-6
ì
2
=-
4
l
.
，所以
ï
í
-
1
=
2
l
，所以
ï
3
=
l
x
î
故选：
A
2
．
D
【详解】∵
k·3·1
l
k
l
1
=-
3
．
B
m=-5
3
-
0
，∴，故选
D
．
=-
-
2
-
m
【分析】直接根据题意利用导数的定义求解即可
【详解】由函数
f
(
x
)
在
x=1
处的导数为
2
，得
f
¢
(1)
=
2
，
所以
lim
f
(
1
+D
x
)
-
f
(
1
)
2
D
x
D
x
®
0
=
f
(
1
+D
x
)
-
f
(
1
)
11
lim
=
f
¢
(1)
=
1
，
D
x
®
0
2
D
x2
故选：
B
4
．
C
【分析】列方程组解得等差数列
{
a
}
的首项与公差，即可求得
a
8
.
n
【详解】设等差数列
{
a
}
的首项
a
1
公差为
d
n
a
8
=6+7´3=27
ì
6a
1
+
15d
ì
d
=
3
=
3
则
ï
，解之得
í
a
=
6
，则
í
3a
1
+
3d
î
1
ï
a
+
2d
+
a
+
6d
=
36
î
11
故选：
C
5
．
B
x=a
x
2
y
2
b
【分析】因为
C:
2
-
2
=
1(a
>
0,b
>
0)
，可得双曲线的渐近线方程是
y
=±
x
，与直线
ab
a
答案第11页，共22页
联立方程求得
D
，
E
两点坐标，即可求得
|ED|
，根据
VODE
的面积为
8
，可得
ab
值，根据
.
2c=2a
2
+b
2
，结合均值不等式，即可求得答案
Q
x
2
y
2
-=
1(a
>
0,b
>
0)
a
2
b
2
【详解】
C:
双曲线的渐近线方程是
y
=±
b
x
a
Q
直线
x=a
DE
x
2
y
2
与双曲线
C:
2
-
2
=
1(a
>
0,b
>
0)
的两条渐近线分别交于，两点
ab
不妨设
D
为在第一象限，
E
在第四象限
ì
x
=
a
ì
x
=
a
ï
í
联立
í
b
，解得
î
y
=
b
y
=
x
ï
a
î
故
D(a,b)
ì
x
=
a
ì
x
=
a
í
联立
ï
í
b
，解得
î
y
=-
b
y
=-
x
ï
a
î
故
E(a,-b)
|ED|=2b
VODE
1
a´2b=ab=8
2
面积为：
S
△
ODE
=
Q
x
2
y
2
双曲线
C:
2
-
2
=
1(a
>
0,b
>
0)
ab
其焦距为
2c=2a
2
+b
2
³22ab=216=8
答案第21页，共22页
当且仅当
a=b=22
取等号
C
的焦距的最小值：
8
故选：
B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义
和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分
析能力和计算能力，属于中档题
.
6
．
A
【分析】利用平行作出截面图形，即可判断形状
.
【详解】取
BC
中点
H
，连接
AH
，
GH
，
AD
1
，
D
1
G
.
如下图所示：
由题意得
GH//EF
，
AH//A
1
F
.
又
GHË
平面
A
1
EF
，
EFÌ
平面
A
1
EF
，
GH//
平面
A
1
EF
，同理
AH//
平面
A
1
EF
.
又
GHIAH=H
，
GH,AHÌ
平面
AHGD
1
，
平面
AHGD
1
//
平面
A
1
EF
，故过线段
AG
且与平面
A
1
EF
平行的截面为四边形
AHGD
1
，显然
四边形
AHGD
1
为等腰梯形
.
故选：
A
7
．
B
【分析】首先根据
AB=CD
，设出
P
点坐标，再根据点在椭圆上，代入椭圆方程，求出
P
点轨迹方程即可
.
答案第31页，共22页
【详解】由题知
AB=CD
，
故设
A
(
m,t
)
，
D
(
t,n
)
，
所以
P
(
m,n
)
，
2
2
m
t
2
又因为
+t=1
，
+n
2
=1
，
2
2
消去
t
可得：
2n
2
-
m
=1
，
2
可知点
P
轨迹为双曲线
.
故选：
B.
2
【点睛】本题主要考查了判断点的轨迹方程，属于基础题
.
8
．
A
n
n
1
´
(1
-
2)
n
【分析】将数列按行排列，第行和为
a
n
==
2
-
1
，前行的和为
1
-
2
n
n(n
+
1)
2
´
(1
-
2
n
)
+
m
，则前
N
项和为
-
n
=
2
n
+
1
-
2
-
n
，把第
N
个数转化为
N=
2
1
-
2
T
N
=
2
n
+
1
-
2
-
n
+
2
m
-
1
，进而可得结果
.
【详解】将数列排成行的形式
1
1
，
2
答案第41页，共22页
1
，
2
，
4
1
，
2
，
4
，
8
第行为：
n
2
0
，，，2
1
L
2
n
-
1
n
1
´
(1
-
2)
，第行和为
a
n
==
2
n
-
1
，
1
-
2
n
n
n
n(n+1)
2
´
(1
-
2)
前行共有个数，则前行的和为
-
n
=
2
n
+
1
-
2
-
n
，
2
1
-
2
n
第
n+1
行有
m(1£m£n+1)
个数，共有
N
个数，则
N=
n(n
+
1)
+
m
，
2
则前
N
项和为
T
=
2
n
+
1
-
2
-
n
+
2
m
-
1
，若和为
2
的整数幂，则有
2+n=2
m
-1
，
N
因为
N>100
，所以
n>13
，且
n
为奇数，当
n=15,17,19,21,23,25,27
时，
m
无整数解，
当
n=29
时，
m=5
，此时
N
=
29
´
30
+
5
=
440
.
2
故选：
A
n(n
+
1)
+
m
，则前
N
项和为
2
【点睛】关键点睛：将数列按行排列，把第
N
个数转化为
N=
T
N
=2
n
+
1
-
2
-
n
+
2
m
-
1
，进而问题变得简单
.
9
．
AB
【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断
ACD
，由空间向量的基本定理与共线定
理可判断
B
rr
rrrr
rr
【详解】对于
A
：因为
a¹0,b¹0
，
a^b
，则
a×b=0
，故
A
正确；
uuuruuur
uuur
1
uuur
3
uuur
r
1
uuur
3
uuur
3
uuur
1
uuu
AC=3CB
对于
B
：因为
PC=PA+PB
，则
PC-PA=PB-PC
，即，
44
4444
uuur
uuur
又
AC
与
CB
有公共点，所以
A,B,C
三点共线，故
B
正确；
答案第51页，共22页
rr
对于
C
：
a×b=10x-3
，
rr
rr
rr
若
a,b
为钝角：则
a×b<0
，且
a
与
b
不共线，
rr
3
由
a×b<0
得
x<
，
10
rr
rr
x¹-3
x=-3
11x
ab
a//b
当时，，由与不共线得，
==
，即
-
3x9
rr
x¹-3
3
a
于是得当
x<
且
时，
,b
为钝角，故
C
错误；
10
r
rrr
r
rrr
对于
D
：
a×b×c
是
c
的共线向量，而
a×b×c
是
a
的共线向量，故
D
错误，
()()
故选：
AB
10
．
AB
【分析】因为
{a
n
}
为等差数列，
a
1
=1
，
a
2
=3
，可得
d=2
，从而可得
A
正确；
根据等差数列的求和公式，可得
s
n
=n
2
，从而可得
B
正确；
由题意可得
b
n
=
4
2n
-
1
，
b
n
+
1
=
4
2n
+
1
=
16b
n
，从而可得
C
错误；
根据等比数列的求和公式可得
D
错误
.
【详解】解：因为
{a
n
}
为等差数列，
a
1
=1
，
a
2
=3
，
所以公差
d=a
2
-a
1
=3-1=2
，故
A
正确；
所以
a
n
=a
1
+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
，
n(a
1
+
a
n
)
n(1
+
2n
-
1)
==
n
2
，故
B
正确；
22
所以
S
n
=
答案第61页，共22页
又因为
b
n
=
2
2a
n
=
(2
2
)
a
n
=
4
a
n
=
4
2n
-
1
，
b
n
+
1
=
4
2(n
+
1)
-
1
=
4
2n
+
1
=
16
´
4
2n
-
1
=
16b
n
，
所以数列
{b
n
}
是公比为
16
的等比数列，故
C
错误；
因为数列
{b
n
}
是公比为
16
的等比数列，且
b
1
=2
2a
1
=2
2
=4
，
n
4(1
-
16)
，故
D
错误
.
所以
T
n
=
1
-
16
故选：
AB.
11
．
BCD
【分析】对
A
选项找到
ÐAD
1
D
即为线面夹角，即可判断；对
B
选项证明
B
1
D
1
//BD
，则得
到
B
1
D
1
//
平面
BDC
1
，同理得到
AB
1
//
平面
BDC
1
，利用面面平行的判定定理则可证明；正四
棱柱的体对角线即为外接球的直径，即可判断
C
；对
D
选项得到轨迹为
1
圆弧，计算弧长
4
即可
.
【详解】解：对于
A
：由正四棱柱的结构特征可知，则
ÐAD
1
D
为直线
AD
1
与平面
DCC
1
D
1
所成角，
AD1
p
AD
DCC
1
D
1
所成角不等于，故
A
错误；
=
，所以直线
1
与平面
DD
1
2
6
因为
tan
Ð
AD
1
D
=
答案第71页，共22页
对于
B
：由正四棱柱的结构特征可得，
BB
1
//DD
1
，
BB
1
=DD
1
，
则四边形
BB
1
D
1
D
为平行四边形，可得
B
1
D
1
//BD
，
QBDÌ
平面
BDC
1
，
B
1
D
1
Ì
/
平面
BDC
1
，
B
1
D
1
//
平面
BDC
1
，
同理可证
AB
1
//
平面
BDC
1
，
又
AB
1
I
B
1
D
1
=B
1
，且
AB
1
，
B
1
D
1
Ì
平面
AB
1
D
1
，
平面
AB
1
D
1
//
平面
BDC
，故
B
正确；
1
对于
C
：正四棱柱
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
外接球的直径即为其体对角线，
1
2
2+2
2
+4
2
=6
，故
C
正确；
2
所以其外接球的半径
R=
对于
D
：点
D
到侧面
BCC
1
B
1
的距离为
2
，易得交线轨迹与圆相关，设
r
为球与侧面
BCC
1
B
1
交线轨迹的半径，
r=
(
22
)
2
-2
2
=2
，立体图如下图所示：
答案第81页，共22页
球与侧面
BCC
1
B
1
的交线轨迹是以
C
2
1
为圆心，为半径的圆弧，平面图如下图所示：
4
故交线长为
p
，故
D
正确；
故选：
BCD
【点睛】本题为立体几何综合题，考察了线面角，面面平行的判定，空间几何体的表面积
与体积等知识，需要有一定的空间想象能力，对于一些常见的外接球模型要记住
.
12
．
ABD
【分析】对于
A
，作差变形，借助对数函数单调性判断；对于
C
，利用基本不等式计算即
可判断；对于
B
，
D
，根据不等式的性质及对数函数单调性判断作答
.
答案第91页，共22页
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