2024年6月3日发(作者：)
第十七章 多元函数微分学
3方向导数与梯度
定义1：设三元函数f在点P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)的某邻域U(P
0
)⊂R
3
有定义，l为从点P
0
出发的
射线，P(x,y,z)为l上且含于U(P
0
)内的任一点，以ρ表示P与P
0
两点间的距离. 若极限
ρ0
lim
f(P)-f(P
0
)f
lim
l
ρ
=
ρ0
ρ
存在，则称此极限为函数f在点P
0
沿方向l的方向导数，记作
P
0
z
l
,f
l
(P
0
)或f
l
(x
0
,y
0
,z
0
).
若f在点P
0
存在关于x的偏导数，则f在P
0
沿x轴正向的方向导数为：
z
l
z
=
x
z
；当l的方向为x轴的负方向时，则有
l
z
=-
x
P
0
P
0
P
0
P
0
.
定理17.6：若函数f在点P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)可微，则f在点P
0
沿任一方向l的方向导数都存
在，且f
l
(P
0
)=f
x
(P
0
)cosα+f
y
(P
0
)cosβ+f
z
(P
0
)cosγ，其中
cosα,cosβ,cosγ是方向l的方向余弦.
证：设P(x,y,z)为l上任一点，于是有
x-x
0
x
ρcosα
y-y
0
y
ρcosβ
z-z
z
ρcosγ
0
，
∵f在点P
0
可微，∴f(P)-f(P
0
)=f
x
(P
0
)△x +f
y
(P
0
)△y +f
z
(P
0
)△z+
o
(ρ)，
f(P)-f(P0)
o(ρ)
ρ
两边除以ρ得：= f
x
(P
0
)cosα+f
y
(P
0
)cosβ+f
z
(P
0
)cosγ+
ρ
，
∴f
l
(P
0
)=
ρ0
lim
f(P)-f(P
0
)
ρ
=f
x
(P
0
)cosα+f
y
(P
0
)cosβ+f
z
(P
0
)cosγ.
注：二元函数f(x,y)对应的结果是：f
l
(P
0
)=f
x
(x
0
,y
0
)cosα+f
y
(x
0
,y
0
)cosβ，
其中α,β是平面向量l的方向角.
例1：设f(x,y,z)=x+y
2
+z
3
,求f在点P
0
(1,1,1)沿方向l:(2,-2,1)的方向导数.
解：∵f
x
(P
0
)=1; f
y
(P
0
)=2y|
(1,1,1)
=2; f
z
(P
0
)=3z
2
|
(1,1,1)
=3;
2
221
又cosα=
2(2)1
=
3
; cosβ=-
3
; cosγ=
3
;
222
241
∴f
l
(P
0
)=f
x
(P
0
)cosα+f
y
(P
0
)cosβ+f
z
(P
0
)cosγ=
3
-
3
+1=
3
.
1
，
当0yx
2
，-x时
例2：讨论f(x,y)=
0
，
其余部分
在原点处的方向导数.
解：f在原点不连续，所有不可微. 但在始于原点的任何射线上，
都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上，f的函数值恒为0.
f
根据方向导数的定义，在原点处沿任何方向l都有
l
(0,0)
=0.
注：例2说明：
(1)函数在一点可微是方向导数存在的充分条件，不是必要条件；
(2)函数在一点连续既不是方向导数存在的必要条件也不是充分条件.
定义2：若f(x,y,z)在点P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)存在对所有自变量的偏导数，则称向量
(f
x
(P
0
),f
y
(P
0
),f
z
(P
0
))为函数f在点P
0
的梯度，记作：gradf=(f
x
(P
0
),f
y
(P
0
),f
z
(P
0
)). 向量gradf
的长度(或模)为：|gradf|=
f
x
2
(P
0
)f
y
2
(P
0
)f
z
2
(P
0
)
. 若记l方向上的单位向量为：
l
0
=(cosα,cosβ,cosγ)，则方向导数公式可写成：f
l
(P
0
)=gradf(P
0
)·l
0
=|gradf(P
0
)|cosθ，这
里
θ是梯度向量gradf(P
0
)与l
0
的夹角. 因此当θ=0时，
f
l
(P
0
)取得最大值|gradf(P
0
)|，即当f在点P
0
可微时，
f在点P
0
的梯度方向是f的值增长最快的方向，且
沿这一方面的变化率就是梯度的模；而
当l与梯度向量反方向(θ=π)时，方向导数取得最小值-|gradf(P
0
)|.
例3：设f(x,y,z)=xy
2
+yz
3
, 求f在P
0
(2,-1,1)的梯度及它的模.
解：由f
x
(P
0
)=y
2
|
(2,-1,1)
=1; f
y
(P
0
)=2xy+z
3
|
(2,-1,1)
=-3; f
z
(P
0
)=3yz
2
|
(2,-1,1)
=-3得，
222
1(3)(3)
f在P
0
的梯度gradf=(1,-3,-3)，模为：=
19
.
习题
1、求函数u=xy
2
+z
3
-xyz在点(1,1,2)沿方向l(方向角分别为60⁰,45⁰,60⁰)的方向导数.
解：∵u
x
(1,1,2)=y
2
-yz|
(1,1,2)
=-1; u
y
(1,1,2)=2xy-xz|
(1,1,2)
=0;
2
1
u
z
(1,1,2)=3z
2
-xy|
(1,1,2)
=11; cos60⁰=
2
; cos45⁰=
2
;
11
∴f
l
(1,1,2)=(-1)×
2
+0+11×
2
=5.
2、求函数u=xyz在点A(5,1,2)沿到点B(9,4,14)的方向
AB
上的方向导数.
解：∵u
x
(5,1,2)=yz|
(5,1,2)
=2; u
y
(5,1,2)=xz|
(5,1,2)
=10; u
z
(5,1,2)=xy|
(5,1,2)
=5;
95
4312
cosα=
(95)(41)(142)
=
13
; cosβ=
13
; cosγ=
13
;
222
4312
98
∴f
l
(5,1,2)=2×
13
+10×
13
+5×
13
=
13
.
2
3、求函数u=x
2
+2y
2
+3z
2
+xy-4x+2y-4z在A(0,0,0)及B(5,-3,
3
)的梯度以及它们的
模.
2
解：∵u
x
(0,0,0)=2x+y-4|
(0,0,0)
=-4; u
x
(5,-3,
3
)=2x+y-4|
(5,-3,2/3)
=3；
2
u
y
(0,0,0)=4y+x+2|
(0,0,0)
=2; u
y
(5,-3,
3
)=4y+x+2|
(5,-3,2/3)
=-5；
2
u
z
(0,0,0)=6z-4|
(0,0,0)
=-4; u
z
(5,-3,
3
)=6z-4|
(5,-3,2/3)
=0；
222
(4)2(4)
∴gradu(0,0,0)=(-4,2,-4)，|gradu(0,0,0)|==6；
22
222
3(5)0
gradu(5,-3,
3
)=(3,-5,0)，|gradu(5,-3,
3
)|==
34
.
1
222
(x-a)(yb)(zc)
r
4、设函数u=ln, 其中r=, 求u的梯度，并指出在空间哪
些点上等式|gradu|=1成立.
dur
b-y1x-aa-x
durdur
c-z
22
2
解：u
x
=
drx
=-
rr
=
r
; u
y
=
dry
=
r
; u
z
=
drz
=
r
;
a-xb-y
c-z
22
2
∴gradu=(
r
,
r
,
r
). 当|gradu|=1时，由
222
2
a-x
b-y
c-z
(a-x)(b-y)(c-z)
r
1
2
2
2
4
r
r
r
=
r
4
=
r
=
r
=1，知
222
(x-a)
2
(yb)
2
(zc)
2
=1，即
空间以(a,b,c)为球心，以1为半径的球面上的所有点，都有|gradu|=1.
z
2
x
2
y
2
2
22
5、设函数u=
c
-
a
-
b
，求它在点(a,b,c)的梯度.
22
2x2y
22
解：∵u
x
(a,b,c)=-
a
|
(a,b,c)
=-
a
; u
y
(a,b,c)=-
b
|
(a,b,c)
= -
b
;
2222
2z
2
u
z
(a,b,c)=
c
|
(a,b,c)
=
c
; ∴gradu(a,bc)=(-
a
,-
b
,
c
).
6、证明：(1)grad(u+c)=gradu,(c为常数)；
(2)grad(αu+βv)=αgradu+βgradv；
(3)grad(uv)=ugradv+vgradu；
(4)gradf(u)=f’(u)gradu.
证：设u=u(x
1
,…,x
n
)，v=v(x
1
,…,x
n
)；则
(1)grad(u+c)=(u
x1
,…,u
xn
)=gradu.
(2)grad(αu+βv)=(αu
x1
+βv
x1
,…,αu
xn
+βv
xn
)=α(u
x1
,…,u
xn
)+β(v
x1
,…,v
xn
)
= αgradu+βgradv.
(3)grad(uv)=(vu
x1
+uv
x1
,…,vu
xn
+uv
xn
)=u(v
x1
,…,v
xn
)+v(u
x1
,…,u
xn
)
=ugradv+vgradu.
(4)gradf(u)=(f’(u)u
x1
,…,f’(u)u
xn
)=f’(u)gradu.
1
7、设r=
xyz
, 试求：(1)gradr; (2)grad
r
.
222
1
xyz
解：(1)∵r
x
=
r
; r
y
=
r
; r
z
=
r
; ∴gradr=
r
(x,y,z).
11
duxyz1
3333
(2)令u=
r
, 则u
x
=
dr
r
x
=-
r
; r
y
=-
r
; r
z
=-
r
; ∴grad
r
=-
r
(x,y,z).
8、设u=x
2
+y
2
+z
2
-3xyz, 试问在怎样的点集上gradu分别满足：
(1)垂直于x轴；(3)平行于x轴；(3)恒为零向量.
解：∵u
x
=2x-3yz; u
y
=2y-3xz; u
z
=2z-3xy; ∵gradu=(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy).
(1)当gradu垂直于x轴时，∵x轴的方向向量为(1,0,0)，
∴(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy)(1,0,0)=2x-3yz=0，即2x=3yz.
2x-3yz2y-3xz2z-3xy
(3)当gradu平行于z轴时，
1
=
0
=
0
=c(常数)，即
2x-3yz=c, 2y=3xz, 2z=3xy.
(3)当gradu恒为零向量时， (2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy)=(0,0,0)，即
4
2x=3yz, 2y=3xz, 2z=3xy；解得x
2
=y
2
=z
2
=
9
.
9、设f(x,y)可微，l是R
2
上的一个确定向量. 倘若处处有f
l
(x,y)=0，试问此函数f有
何特征？
解：若f
l
(x,y)=f
x
cosα+f
y
cosβ≡0，即(f
x
,f
y
)(cosα,cosβ)=0，说明
函数f在定义域内任一点P(x,y)的梯度向量与向量l垂直.
10、设f(x,y)可微，l
1
与l
2
是R
2
上的一组线性无关向量. 试证明：若
l
(x,y)≡0, (i=1,2)，
i
f
则f(x,y)≡常数.
证：依题意，f
l1
(x,y)=f
x
cosα
1
+f
y
cosβ
1
=0，f
l2
(x,y)=f
x
cosα
2
+f
y
cosβ
2
=0，
cosα
1
,cosβ
1
为l
1
的方向余弦; cosα
2
,cosβ
2
为l
2
的方向余弦;
cosα
1
，
cosα
2
又l
1
与l
2
性线无关，即
cosβ
1
，
cosβ
2
≠0，∴f
x
=f
y
=0，∴f(x,y)≡常数.
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