2024年5月2日发(作者：)

集合的含义及其表示

一、集合

1．集合

某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作

aA

；若b不是集

合A的元素，记作

bA

；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的

元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对

象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列

顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）

范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，

要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N

*

或N

+

；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R。

2．集合的包含关系

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B

包含A），记作A



B（或

AB

）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A



B且B



A，则称A等于B，

记作A=B；若A



B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A

（2）简单性质：1）A



A；2）





A；

（3）若A



B，B



C，则A



C；

B；

（4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2

n

个子集（其中2

n

－1个真

子集）；

3．全集与补集

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；

（2）若S是一个集合，A



S，则，

C

S

=

{x|xS且xA}

称S中子集A的补

集；

（3）简单性质：1）

C

S

(

C

S

)=A；2）

C

S

S=



，

C

S



=S。

4．交集与并集

（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合

A与B的交集。交集

AB{x|xA且xB}

。

（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为

集合A与B的并集。

并集AB{x|xA或xB}

。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，

区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常

常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语

言表达，增强数形结合的思想方法。