2024年4月30日发(作者：)

4.正态分布

(1)正态分布的定义

态变量概率密度曲线的函数表达式为

f(x)

1

2π



e



(x



)

2

2



2

，

xR

，其中



，



是参数，

且



0

，







．

式中的参数



和



分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为



、标准差为



的正态

分布通常记作

N(



,



2

)

．

(2)正态曲线的性质

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值

1

；

σ

2π

④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，

σ

越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分

布越集中；

σ

越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

①P(μ－σ

3σ

④

正态变量在

(，

在区间

(



3



，)

内的取值的概率为

1

，



3



)

之外的取值的概率

是

0.3%

，故正态变量的取值几乎都在距

x



三倍标准差之内，这就是正态分布的

3



原

则．

5.(2017·西安调研)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X

＋3)，则c＝________.

①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ).

【训练4】 (2017·常德一模)已知随机变量X～N(1，

σ

2

)，若P(0

P(X≤0)＝( )

A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2

5

8.设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝

9

，则P(Y≥1)＝

________.

7.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，50

2

)的随机变量，

记一天中从甲地去乙地的旅客人数800＜X≤900的概率为p

0

，则p

0

＝________.

【例1】

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的

54

和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：

65

⑴至少有1株成活的概率；

成活率分别为

⑴两种大树各成活1株的概率

1．(2019·广东省汕头市联考)在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名

考生的参赛成绩统计如图所示．

(1)求这4 000名考生的竞赛平均成绩

－

x(同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表)；

(2)由直方图可认为考生竞赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ

2

)，其中μ，σ

2

分别

取考生的平均成绩

－

x和考生成绩的方差s

2

，那么该区4 000名考生成绩超过84.81

分(含84.81分)的人数估计有多少？

(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生的成绩情况，现从

全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩低于84.81分的考生人数为ξ，求

P(ξ≤3)(精确到0.001)．

附：①s

2

＝204.75，204.75＝14.31；

②Z～N(μ，σ

2

)，则P(μ－σ

③0.841 35

4

＝0.501.

3.(2019·合肥一模)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4)，

现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )

(附：若X服从N(μ，σ

2

)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5)

A.4 093件

C.6 827件

B.4 772件

D.8 186件

(2017·常德一模)已知随机变量X～N(1，

σ

2

)，若P(0

( )

A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2

4.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800,50

2

)，则一天中从甲地去乙地的旅

客人数少于900的概率为( )

(参考数据：若X～N(μ，σ

2

)，有P(μ－σ

＋3σ)＝99.7%)

A.97.7%

C.99.7%

B.68.3%

D.95.4%

5.某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,10

2

)，已知P(90<ξ<100)＝0.3，

估计该班学生数学成绩不小于110分的人数为________.

10.若随机变量X～N(μ，σ

2

)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，则P(2

14.设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，

试估计落入阴影部分的点的个数.

(注：若X～N(μ，σ

2

)，则P(μ－σ

15.已知随机变量X～B(2，p)，Y～N(2，σ

2

)，若P(X≥1)＝0.64，P(04)的值.

1 某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学生实践中心积极参与，从8名学生会干

部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，

求X的分布列及均值.

20．（本小题满分10分）

在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布

N(70,100)

。已知

成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

（Ⅰ）试问此次参赛学生总数约为多少人？

（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？

在创建

“

全国文明城市

”

过程中，某市

“

创城办

”

为了调查市民对创城工作的了解情况，进

行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的

100

人的得分统计结果如表所示：

组别

频数

[30,40)

2

[40,50)

13

[50,60)

21

[60,70)

25

[70,80)

24

[80,90)

11

[90,100]

4

198)

，（

1

）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分

Z

∽

N(

μ

，

μ

近似为这

100

人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），①求

μ

的值；②利用该

．．．．

正态分布，求

P(Z88.5)

；

（

2

）在（

1

）的条件下，

“

创城办

”

为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

①得分不低于



的可以获赠

2

次随机话费，得分低于



的可以获赠

1

次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

赠送话费的金额（单元：元）

20 50

概率

3

4

1

4

现有市民甲参加此次问卷调查，记

X

（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，

求

X

的分布列与数学期望．

参考数据与公式：

X

∽

N

N



,



2

，则

P









X









0.6826

，

19814

．若

X



P





2





X



2



0.9544

，

P





3



X



3





0.9974

．