2024年4月26日发(作者：谷歌平板pixel c)

第３６卷第９期　

２０１５正　

物　理教　师　

Ｖｏｌ＿３６　Ｎｏ．９　

（２０１５）　

ＰＨＹＳＩＣＳ　ＴＥＡＣＨＥＲ　

基于质心参考系下质量不等的三星特殊运动的研究　

以２０１５年安徽高考物理第２４题和竞赛题的研究为例　

汪　飞　黄　晶　

（１．江苏省海门中学，江苏海门　２２６１００；２．浙江省杭州高级中学，浙江杭州　３１０００６）　

摘　要：２０１５年安徽省高考理综物理压轴题的命题背景是三体问题．本文溯本追源，不仅详细介绍竞赛知识背　

景还对此拓展延伸，对比总结后强调质心参考系求解的优势，并挖掘命题趋势．　

关键词：理综高考；物理竞赛；三体问题；质心系　

２０１５年安徽高考物理压轴题第２４题考查了　（３）Ｃ星体的轨道半径Ｒ　；　

三体问题中的特殊情况，属于１９８６年第二届全国　

中学生物理竞赛决赛压轴题的简化，两者的源缘　

值得我们学习研究．　

三体问题是天体力学中的基本力学模型．它　

是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的　

可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用　

（４）三星体做圆　

周运动的周期Ｔ．　

参考答案：如图２　

所示，以ＢＣ连线为ｚ　

轴，过ＢＣ中点Ｄ且　

垂直于ＢＣ方向为．ｙ　

ＦＢＡ

Ｙ　

？　

／ｏｊ　

图２　

下的运动规律问题．现在已知，三体问题不能精确　

求解，即无法预测所有三体问题的数学情景，只有　

几种特殊情况得到研究．３个质量不等的星体绕系　

统质心做圆周运动就是其中一种特殊情形，对其　

运动分析属于中学阶段知识能力范畴，在高考题　

和竞赛题中均有涉及．我们强调质心参考系中对　

三星特殊运动问题进行研究，以丰富中学阶段研　

究此类问题的方法．　

轴建立直角坐标　

系ｚＤ　．　

（１）根据刀有引　

力定律，Ａ星体所受Ｂ、Ｃ星体引力大小相等ＦＢＡ一　

Ｇ—２ｍ　２

一

，

则Ａ星体受到的合力大小为ＦＡ一　

２，ｉｇｍ　ｆＬ

．　

１试题及参考解析　

试题１．（２０１５年安　

（２）Ｂ星体所受Ａ、Ｃ星体引力大小分别为　

Ｆ　一Ｇ　，ＦｃＢ—Ｇ　，方向如图２所示；　

，　

徽高考题）由三颗星体构　

成的系统，忽略其他星体　

对他们的作用，存在着一　

种运动形式：三颗星体在　

相互之间的万有引力作　

用下，分别位于等边三角　

形的３个顶点上，绕某一　

共同的圆心０在三角形　

图１　

Ｆ出＝＝＝Ｆ邶ｃｏｓ６０。＋Ｆ∞＝２Ｇ　

ＦＢ　一Ｆ　ｓｉｎ６０。一　；　

则Ｂ星体受到的合力大小为　

一　

可可一　．　

（３）通过分析可知，圆心０在中垂线ＡＤ的中　

所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示１　

为Ａ、Ｂ、Ｃ三颗星体质量不相同时的一般情况）．　

若Ａ星体质量为２ｍ，Ｂ、Ｃ两星体的质量均为ｍ，　

三角形的边长为ｎ．求：　

√（　）。＋（　一，／　Ｙ或自ｃＯｓ￣ＯＢＤ＝　

ＥＲｒ

一面ＤＢ一　ａ／２一　２

，

得出＆＝　＝＝＝　

（１）Ａ星体所受合力大小Ｆ　；　

（２）Ｂ星体所受合力大小Ｆ　；　

（４）三星体运动周期相同，对Ｃ星体，由Ｆ　一　

一　

Ｇ＿芋一　（擎）　Ｒ　得Ｔ一兀√　．　

８９—　

Ｖｏ１．３６　ＮＯ．９　

（２０１５）　

物　理教　师　

第３６卷第９期　

２０１５矩　

ＰＨＹＳＩＣＳ　ＴＥＡＣＨＥＲ　

图４　

（２）如图４所示，以　

Ｄ表示ｍＢ和眦的质心，则丽一—　ｎ，　＝＝＝　

ＨＢ　ｒｎｋ　

ｎ。

而ｚ一丽ｚ＋丽ｚ一２　．丽ＣＯＳ６０。一　

Ｂ十７ｎｏ．　

ｍＢ　＋ｍｃ　＋　Ｂｍｃ，　

ｍＢ＋　（，　一　

以０　表示３个质点ｍ　、ｍ　、ｍ　的质心，则０　

点在ＡＤ上，且有　

ｒＡ一　＝＝：　．　一　．　

￣

／

２

ｍ

ｔ３　

＋

ｍｃ　

２＋

ｍ

ｔ３ｍｃ

￣

／

２

ｍ

；３

＋

ｒｎｃ

２＋　

ｍ；

３ｍｃ

—

————

—

口一—

—

———

～

口．　（１）　

ｍＢＴ　｝　ｍＡ＿弋Ｉ

ｒ

　ｉｎＢ　ｆ’ｌｃ　

同理可得　

一　：　

．　

（２）　

令是一　，则ｍ。对　的作用力是ｆ　一　

ｋｍＡｍｃ，ｍＢ对ｍＡ的作用力是，ＢＡ—ｋｍＡｍＢ，由于　

惫一　ｍＢｍ—　一筹，￣［３　ｆｃａ＜ｇｌｆ　的合力　的作　

用线通过质心０　，ｆａ的大小为　

｛　一　｛　｛　＋２｝Ｂ　｛　ｃｏｓ６０　一　

ｋｍＡ￣／ｍ—２　ａ＿ｍ—２＋ｍＢｍｃ

．　

（３）　

９０一　

同理可证，＾的作用线也通过质心０　，且　

ｆＢ—ｋｍＢ　ｃ　＋ｍＡ。＋ｍｃ　Ａ．　（４）　

由（１）～（４）式得　

一

直一鱼（　＋　＋ｍｃ）一　（　＋　

｝ｌＬ　Ａ　ｒ｝ｔＢ｜Ｂ　ｕ　ｕ　

Ｂ

＋　ｃ）．　（５）　

同理可证　

—　

＿ｌ一—　一　（　Ａ＋　Ｂ＋　ｃ）

．　

（６）　

１ｌＬＢ　ｒ　Ｂ　／７＂ｔＣ７　Ｃ　ａ　

（５）、（６）两式说明，ｍ　、ｍ　、　。可在３个质点的初　

始位置所决定的平面内保持相对位置不变的绕质　

心Ｏ　做匀速圆周运动．做圆周运动的角速度　亦　

可由（５）（６）两式得出为　

，　

／Ｇ（　Ａ＋ｍＢ＋ｍｃ）　

∞一＾、／———　广一‘　

３对比与启示　

通过对比以上２道试题的情境及解析，可以　

看出，　

（１）２０１５年安徽高考试题第２４题（以下简称　

高考题）的情境源于１９８６年全国物理竞赛第５题　

（以下简称竞赛题），延续了高考压轴题的命题风　

格，命题导向值得关注．　

（２）高考题将竞赛题的三星质量全部不等的　

条件（　≠ｍ　≠　）简化为三星质量不全部相等　

（，，ｚＡ一２ｍ，ｍＢ一优ｃ＝＝＝　），从而使三星运动具有了　

几何对称性，规避了质心这个高考超纲概念，避免　

了繁琐的数学运算，可谓匠心独具．　

（３）竞赛题的参考解析是基于质心定义、平面　

几何知识和三角函数对问题进行的代数运算，三　

星系统可视作孤立的质点系，考虑到质心参考系　

在研究质点系问题中有着重要的应用，为此，有必　

要在质心参考中对利用矢量运算对质量全部不等　

的三星圆周运动问题的解法进行探究．　

４质心参考系求解　

对例题１、试题２第（２）问的解析如下．　

解析：如图５所示，　

当　Ａ≠ｍＢ≠ｍｃ时，质　

心的位置为Ｏ　，３个质　

点仍需以相同的角速　

度∞　绕通过新的质心　

０　并垂直于三角形的　

轴旋转，保持３质点在　Ｂ　

运动过程中的位置连　

图５　

线仍构成等边三角形．　

质点问只存在相互引力作用，根据质心运动　

第３６卷第９期　

２０１５年　

物　理教师　

ＶＯ１．３６　Ｎｏ．９　

（２Ｏ１５）　

ＰＨＹＳＩＣＳ　ＴＥＡＣＨＥＲ　

定理，质心０　的位置不发生变化，选取质心０　为　

参考系并以０　坐标原点，质点Ａ、Ｂ、Ｃ的位置矢量　

分别为，　、ｒ月、，　，选取质点Ａ进行分析．　

Ｂ、Ｃ对Ａ的引力矢量表达式分别为　

一　ＡＢ一丁Ｇ７７￣ＡｍＢ（ｒ

Ｂ－－ｒＡ），　

，　一　Ａｃ＝＝＝　竽　（ｒｃ－－ｒＡ）．　

则质点Ａ受到的合力的矢量表达式为　

，Ａ一，ＢＡ＋　一　Ｅｍ　（　—ｒ＾）＋优ｃ（ｒｅ—　

ｒＡ）］一　［（　Ｂｒ　＋优　ｒ　）一（　＋ｍｃ）ｒＡ］一　

［（　ｒ　＋ｍＢ，。￣ｍｃｒ　）一（ｍＡ＋ｍ　＋ｍＣ）　］．　

由于（］，为质心参考系的坐标原点，有　一Ｏ，根据质　

心定义∑　一（∑ｍ　）　得　，．　＋ｍ。ｒ　＋　

ｍｃｒｃ一（ｍＡ＋ｍ　＋ｍ　）　一０，则质点Ａ受到的合　

力的矢量表达式为　

ｒ　

Ｇ　Ａ（优Ａ＋　Ｂ＋　ｃ）　

Ｊ　一————　——一　

若设矢量，　的大小为ｒ　一ｋＡａ，则质点Ａ受到合　

引力的矢量表达式为　

Ｇ　Ａ（ｍＡ＋ｍＢ＋ｍｃ）ｋＡ。　

一————　广—一ｒＡ‘　

大小为＾一　，方向由Ａ指　

向０　，由此可认为质点Ａ受到质点Ｂ、Ｃ的合引力　

等效于在质心０　处的质量为ｋ　。（ｍ　＋ｍ　＋　）　

的质点对它的引力，质点Ａ在此引力作用下绕ｏ　

做圆周运动，根据牛顿第二定律得　

Ｇ

－

ｍ

Ａ

Ａ

（

ａｒ

ｎ

￣－

ｍ

Ｂ

Ｖ

ｍ

Ｃ

）

ｋ

３

Ａ：：　Ａ叫，　

————

——

———————

．　

————

ｒＡ．　

ｒＡ　

解得　，＼／Ｇ（ｍＡ￣ｒａ

ｎ　

￣ｍｃ）ｋＡ　３

－

一　

ｒ

。

，＼／———　—一‘　

较之试题２参考解答的代数运算，在质心参　

考系中的矢量分析的运算量相对较小，但思维程　

度也相应较高，下面再举一道例题来凸显质心参　

考系中矢量分析法的巧妙性．　

例题２、在孤立的宇宙空间中，初始时，３个质　

量不等的质点Ａ、Ｂ、Ｃ（ｍ　≠ｍ。≠ｍ　）处于静止状　

态，它们的位置连线构成一边长为ｎ的等边三角　

形，只考虑质点之间的万有引力作用，求质点由静　

止开始运动至相遇的时间（将结果用ｍ，ａ以及万　

有引力常数Ｇ表示）．　

解析：如图６所示，　

当ｍＡ≠ｍＢ≠ｍｃ时，质　

心的位置变化为Ｏ　，根　

据质心运动定理，质心　

静止不动位置不变，故　

各质点在受到其他质　

点的引力的合力作用　图６　

下由静止经过相同的时间运动至质心０　处．　

选取系统的质心０　为参考系并以ｏ　为坐标　

原点，对质点Ａ进行分析，根据例题ｌ中的矢量运　

算得出的质点Ａ受到的合引力　

ｒ　

ＧｍＡ（ｍＡ＋ｍＢ＋ｍｃ）ｋＡ。　

————　—一　

大小为ｆＡ一—Ｃｒｍ

Ａ

（ｍ

Ａ

￣ｍ　Ｂ￣

ｍ

Ｃ

）ｋＡ　８

———一

，

，Ａ　

方向由Ａ指　

向ｏ　，其中１＂Ａ—ｋＡａ．　

由此可认为质点Ａ受到质点Ｂ、Ｃ的合引力　

等效于在质心０　处的质量为Ｍ。一ｋ　。（　＋　ｅ＋　

ｍ。）的质点对它的引力，质点Ａ在这个平方反比　

力作用下，在以０　为１个焦点，长半轴ｎ　一　ＲＡａ，短　

半轴６一Ｏ的椭圆极化轨道上运动，初始位置Ａ为　

“远力心点”，经半个周期，到达“近力心点”０　．　

由开普勒第三定律知质点沿椭圆极化轨道（ａ　一　

，　

ｏ）Ｎ￣ＮＮＮ　Ｔ等于沿半径，．一　一　绕　

质心　处质量为Ｍｏ—　。（ｍＡ＋ｍＢ＋巩）的质点做的　

圆周运动的周期．由牛顿第二定律ＧＭ

ｏ　ｍ

—　

，　

，

“ｌ　』　

厂—————＿＝丁————一　

得Ｔ一２７ｃ√　，质点相遇经历的时间　

力　

、，

Ｔ厂——　—一　

一　一兀＾、／－ＳＧ（ｍＡ￣ｒｎ￣￣ｍｃ）’　

５感悟索寻。展望高考　

首先，通过对比分析２０１５年安徽高考理综压　

轴题与１９８６年第二届物理竞赛决赛第５题，体现　

了高考压轴题与竞赛题的渊源，高考压轴题肩负　

着选拔优秀学生的功能，竞赛题具有应用型和能　

力型相结合的特点，对学生理解能力、分析综合能　

力以及应用数学处理物理问题的能力要求较高，　

因此，在历年高考中，一些知识点属于高考范畴的　

情境新颖的竞赛题通过改编出现在高考压轴题中　

也实属正常．　

Ｖｏｌ＿３６　ＮＯ．９　

物　理　教　师　

第３６卷第９期　

（２Ｏ１５）　

ＰＨＹＳＩＣＳ　ＴＥＡＣＨＥＲ　

２０１５拄　

・

复习与考试・　

用“画圆追迹法”巧作折射光路　

陈丹燕　

（绍兴市第一中学，浙江绍兴３１２０００）　

已知入射光，求作折射光线时，可以利用折射　

证明：由图２可知，　

定律．但若遇到非特殊角，笔算和直接作图均有难　

ｉ一　ＯＣＥ，　ｒ一　０ＤＥ，　

度．为此本文介绍一种折射光线的作图法——画　

ｓｉｎ／

ｓｉｎ　ＯＣＥ

—

ＯＥ／ｎ１

ｎ　２　

圆追迹法，作图简单，方便有用，尤其是在高中物　

ｓｉｎｒ—ｓｉｎ／ＯＤＥ—ＯＥ／ｎ２一　ｌ。　

理竞赛中对解题有很大的辅助作用．　

且由图可知，ｓｊｎ，一一　，任意角度的三角函数　

１界面为平面时的画圆追迹法　

例１．如图１所示，ＡＢ　２　；　

值，也就可简化为长度的测量值之比．　

为两种介质的分界面，折　

Ｄ　

１．２　再设　１＞　２　

射率分别为Ｔ／　和７／＂　，一光　

作图过程与１．１　

线从折射率为ｎ　的介质　

情况类似．　

ｎ２　

入射，试作出折射光线．　

第１步：如图３，以　

１．１考虑到全反射的问题　

入射点０为圆心，分别　

以ｎ　和　为半径作两　

１　

第１步：如图２，以　

入射点０为圆心，分别　

个圆；　

以　和ｎ　为半径作两　

第２步：延长入射　

，ｌ２　

图３　

个圆；　

光线，与ｎ　圆相交于　

第２步：延长入射　

Ｃ点：　

光线，与　圆相交于　

第３步：过Ｃ点作法线的平行线（辅助法线），　

１　

Ｃ点；　

交　圆于Ｄ点；　

第３步：过Ｃ点作　

第４步：连接Ｄ０，即为折射光线．　

图２　

法线的平行线（辅助法　

证明：由图３可知，　

＝＝：　

线），交　圆于Ｄ点；　

０ＣＥ，　ｒ一　０ＤＥ，　

第４步：连接ＯＤ，即为折射光线．　

ｓｉｎ／

ｓｉｎ　ＯＣＥ

ＯＥ／ｎ１

一　

ｓｉｎｒ—ｓｉｎ　０ＤＥ一０Ｅ／　，一　１’　

其次，在质心参考系中对质量不等的三星　

考复习用的竞赛题，基于这些竞赛题的情境和模　

绕系统质心做圆周运动的解法的探讨，并将相　

型，进行深入挖掘和改编，使之有利于培养学生发　

应的解法迁移应用到三星相遇问题，凸显了质　现和探究问题的习惯，提升学生知识、技能的迁移　

心参考系中矢量分析法在分析质量不等的三星　

能力．　

特殊运动问题中具有巧妙便捷的优点，也体现　

参考文献：　

了竞赛题具有灵活多变、思维深刻以及解法丰　

１　王百庆，黄晶．磁聚焦与磁扩散——２ｏ０９年浙江省高考　

富的特点．　

理综物理压轴题的背景透视ＥＪ；．物理教师，２００９（１２）：　

最后，我国著名物理教育专家雷树人先生曾　

５３～５４．　

经指出“要重视培养学生把所学到的知识运用到　

２黄晶．高考新题剖析及面对新课程的教学分析与思考　

不熟悉的地方去的能力．”高考题和竞赛题都是命　

［Ｊ］．物理教学，２０１３，３５（７）：７３—７８．　

题专家智慧的结晶，高考压轴题的功能及命题导　

（收稿日期：２Ｏ１５—０６—１２）　

向启发我们在教学过程中有必要研究一些适合高　

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