2024年3月28日发(作者：酷派8190q)
习题二
1. 零矩阵是否都相等？为什么？
答：不一定，因为只有同型零矩阵才相等，不同型则不相等。
356
356
2.
214
与
214
一样吗？为什么？
73
5
73
5
答：不一样，前者是一个矩阵，是一个数表，后者是行列式，可以按一定的运算规则计算，
结果是一个数。
y
1
1
x
1
y
x
222
的系数矩阵。
3.写出线性变换
y
n
n
x
n
1
0
0
2
解：
A
n
00
0
0
n
a34b
2349
4.已知
2
1c4
2
134
，试求a，b，c，d的值。
013d
0137
解：由矩阵的相等的定义得a=2，b=9，c=3，d=7。
2
51
1
23
01
2
5.已知矩阵
A
,B
0
15
,C
1
11
，求3A+4B-2C。
30
4
解：
2
51
1
23
01
2
3A
4B
2C
3
4
0
15
2
1
11
30
4
6
153
4
812
0
24
0
420
22
2
90
12
3
12
4
10
2519
6
4
0
15
8
2
9
0
20
4
2
12
20
27
26
121
6.已知矩阵
A
2
10
110
010
，求
AB
BA
，和
A
T
BB
210
。
021
121
010
解：
AB
2
10210
110
021
1
1
2
1
1
21
0
2
0
1
1
1
0
2
2
1
0
2
0
（
1
）
2
0
02
1
（
1
）
1
0
22
0
（
1
）
0
0
1
1
1
1
1
0
21
0
1
0
0
1
1
0
1
2
0
0
451
210
220
010
121
2
10
BA
210
021
110
（
1
）
0
10
1
1
0
0
0
0
1
1
2
0
10
2
1
2
1
1
2
0
12
2
1
（
1
）
0
12
1
1
0
0
0
（
1
）
1
10
1
2
0
1
0
0
1
2
2
1
10
2
2
2
10
432
5
10
451
2
10
261
432
6
2
2
AB
BA
210
220
5
10
330
121
010
210
A
T
B
2
11
100
021
1
1
2
1
1
21
0
2
0
1
1
1
0
2
2
1
0
2
0
（
1
）
2
1
02
1
（
1
）
1
1
22
0
（
1
）
0
1
1
1
1
0
1
0
21
0
0
0
0
1
1
0
0
2
0
0
451
231
010
7. 计算下列乘积：
1
0
（1）
1234
2
3
解：
1
0
1
（
1
）
2
0
3
2
4
3
17
1234
2
3
2
（2）
3
1
1
2
（
1
）
2
2
12
2
2
3
3
3
（
1
）
解：
3
1
1
3
1
（
1
）
2
2
1
2
22
231
4
（3）
1
432
560
1
解：
231
4
2
4
3
2
1
1
15
1
43
2
1
4
1
（
4
）
2
3
1
560
1
5
4
6
2
0
1
32
12
2146
10
（4）
10
14
31
4
2
解：
1
2
1
0
12
2146
10
10
14
31
4
2
1
2
1
0
（
1
）
4
（
3
）
6
42
2
1
0
4
1
6
（
2
）
2
1
1
2
4
1
6
0
2
1
1
1
1
0
（
1
）（
1
）（
3
）
4
41
2
0
0
（
1
）
1
4
（
2
）
1
1
0
2
（
1
）
1
4
0
13
48
20
70
（5）
x
1
解：
a
11
a
12
x
1
x
2
x
aa
2122
2
x
a
12
x
1
a
22
x
2
1
x
2
x
1
a
x
a
x
2
1112
1
a
11
x
1
a
21
x
2
a
21
a
22
x
2
2
111
2
（
a
11
x
1
a
21
x
2
）
x
1
（
a
12
x
1
a
22
x
2
）
x
2
ax
（
a
12
a
21
）
x
1
x
2
a
22
x
2
8.设线性变换
y
1
3z
1
z
2
x
y
3y
1
12
，
y
2
2z
1
z
2
3z
3
x
2y
2y
3y
123
2
y
z
2z
13
3
解：
y
1
y
1
310
z
1
x
1
130
z
y
，
y
213
x
22
3
2
2
2
y
y
102
z
2
3
3
3
310
z
1
x
1
130
z
213
x
22
3
2
2
102
z
3
z
1
1
（
3
）
3
2
0
（
1
）
1
1
3
1
0
01
0
3
3
0
2
z
2
（（
3
）
2
2
（
3
）（
1
）（
2
）
1
2
1
1
0
（
2
）
0
2
3
（
3
）
2
2
）
z
3
z
1
349
z
2
1300
z
3
x
1
3z
1
4z
2
9z
3
即
x
13z
21
=AY,A≠0，问能否确定X=Y？为什么？
解：不能，因为AX=AY，则A（X-Y）=0，即使A≠0，X-Y也不一定为0，即X不一定等
于Y。例如：
24
24
0
A
，X=，Y=
1
2
0
3
6
24
24
0
A
（
X
Y
）
3
6
1
2
0
10.求a，b，c，d的值，使下式成立：
0
24
X
Y
1
2
0
0
0
ab
a6
4
3
12d
c
dcd
解：
由
3
a
b
3
a
b
3a3b
a
4
得
1
c
d3
3c3d
6
a
b
2d
3
ab
a6
4
12d
c
dcd
3a
a
4a
2
3b
6
a
bb
4
由矩阵的相等得：
3d
2d
3d
3
3c
1
c
dc
1
所以a=2，b=4，c=1，d=3。
11.设矩阵
A
解：（1）
121
TT
，求（1）
AA
，（2）
AA
。
2
13
12
121
AA
T
2
1
2
13
13
1
2
2
（
1
）
1
3
63
1
1
2
2
1
1
（
1
）
2
3
12
2
（
1
）（
1
）
3
3
314
2
1
12
121
T
（2）
AA
2
1
2
13
13
1
2
2
（
1
）
1
1
2
3
507
1
1
2
2
05
1
2
1
（
1
）
22
2
（
1
）（
1
）
2
1
（
1
）
3
1
2
3
（
1
）
1
1
3
3
1
1
3
2
7
110
12.设A，B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明：
BAB
也是对称矩阵。
证明：
因为A为对称矩阵，所以AA
TTTT
（B
T
AB）[B（AB）]
T
（AB）（B
T
）B
T
A
T
BB
T
AB
T
T
T
所以
BAB
是对称矩阵。
13.证明：对于任意矩阵A，
AA
恒有意义，且为对称矩阵。
证明：设A是m×n阶矩阵，则
A
是n×m阶矩阵,则
AA
恒有意义，且是一个m阶方阵。
TT
T
TTT
（AA
T
）（A
T
）AAA
T
所以
AA
T
为对称矩阵。
故对于任意矩阵A，
AA
T
恒有意义，且为对称矩阵。
1
14.设矩阵A为3阶方阵，且|A|=3，求
A
2
1
1
解：
A
A
2
2
2
2
1
3
1
6
2
19
1
22
A
（
[
）
A]
（）
A
3
226464
2
k
15.设矩阵A=[1，2，3]，B=[1，1，1]，求
（A
T
B）
解：
1
111
111
222
A
T
B
2
3
333
111
111
222
(A
T
B)
2
222
333
333
1
1
1
2
1
31
1
1
2
1
31
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
32
1
2
2
2
32
1
2
2
2
3
3
1
3
2
3
33
1
3
2
3
33
1
3
2
3
3
666
111
6
222
121212
181818
333
111
111
111
222
6
2
222
(A
T
B)
3
(A
T
B)
2
(A
T
B)
6
222
333
333
333
111
(A
T
B)
k
6
k
222
333
10
,
求
A
2
，
A
3
，，
A
k
16.设矩阵
A
21
解：
A
2
10
10
10
21
21
41
A
3
A
2
A
10
10
10
21
41
61
A
4
A
3
A
10
61
10
10
21
81
A
k
10
k1
2
10
3
17.计算
0
1
00
解：
10
2
10
10
2
2
1
0
1
0
1
0
1
0
2
2
00
0
00
0
00
2
10
3
10
2
2
1
3
3
2
3
0
1
0
1
2
2
0
3
3
2
0
00
00
00
2
00
3
18.求下列矩阵的逆矩阵：
（1）
11
14
解：
11
14
3
0
，所以
11
可逆，
11
4
14
14
的伴随矩阵为
1
4
所以
11
1
4
1
1
14
的逆矩阵为
33
3
11
11
33
（2）
cos
sin
sin
cos
解：
cos
sin
sin
1
0
cos
sin
cos
，所以
sin
cos
可逆，
cos
sin
sin
sin
cos
的伴随矩阵为
cos
sin
cos
1
1
所以
cos
sin
sin
cos
的逆矩阵为
sin
cos
sin
cos
010
（3）
100
001
10
0
01
0
A0
,A
10
E,B
1
解：将矩阵分块
01
0B
00
1
10
A
1
E,B
1
1
，
01
010
1
A
1
A0
所以
100
0B
0
001
1
010
0
100
B
1
001
21
1
0
（4）
21
1
11
2
解：
2
1
1
0
3
0
，所以矩阵可逆
1
1
1
1
A
11
10
11
1,A
12
20
11
2,A
13
21
1
1
3
A
21
1
12
121
0,A
22
3,A
23
3
11111
1
1
12221
A
31
1,A
32
2,A
33
0
10
1021
101
所以其伴随矩阵为
23
2
330
1
1
0
3
3
101
1
22
23
21
所求逆矩阵为
33
3
330
110
0
1
2
,(
0)
（5）
n
12
0
n
1
解：
0
2
0
1
2
n
0
所以矩阵可逆。
n
将矩阵分块，对角线上的每个元素为一块，即
A
i
i
1
(
i
1,2,
,
n
)
A
i
1
i
0
A
1
1
2
n
0
0
1
A
2
0
A
n
1
1
0
1
A
n
0
0
1
n
0
A
1
1
1
2
0
n
0
A
2
1
1
2
19. 设A，B为n阶方阵，且满足AB=0，证明必有|A|=0，或|B|=0
证明：因为AB=0，所以|AB|=|A||B|=|0|=0
所以有|A|=0，或|B|=0
20.设n阶方阵A≠E，且A=A，证明A不可逆。
证明：用反证法：
假设A可逆，因为A
=A，则AA=AA，即A=E这与已知A≠E矛盾。
所以A不可逆。
A
21.设n阶方阵A可逆，证明A
※
也可逆，且
1
2-12-1
2
A
|A|
证明：
1
A
A
,
所以
A
|A|A
1
，|
A
|
|A|
n
|A
1
|A|
|
A
可逆，则|A|0，|
A
1
|0，所以|
A
|
|A|
n
|A
1
|
0
故
A
可逆。
因为
A
|A|
A
A
|A|
|A|A
1
E
，所以
A
1
A
|A|
100
22.设矩阵
A
220
，求
A
1
。
345
100
解：由上题的结论
220
10
0
，A可逆，
A
也可逆。
345
1
00
100
10
1
A
A1
|A|
1
10
220
1
345
55
0
321
1052
23.解矩阵方程
X
3
2
12
5
4
56
解：
3
2
5
4
对应的行列式的值为-2≠0，
3
2
1
4
5
4
可逆，其可逆矩阵为
2
5
1
X
12
3
2
12
56
5
4
（
56
1
2
）
42
53
1
12
42
2
56
53
1
64
3
2
2
108
5
4
123
24.矩阵
A
145
分成2阶方阵，共有几种分法？
012
答：共有
C
22
3
C
3
9
种分法。
2
3
1
1
25.设矩阵
A
0
0
2
1
0
0
0
0
2
1
0
0
，求
A
4
和
|A|
0
3
解：将矩阵进行分块
B0
12
20
A
，
B
11
，
C
13
0C
B0
B
4
4
A
0C
0
4
0
C
4
12
1
B
2
11
1
1
422
B
BB
2
20
2
C
13
1
4
C
4
C
2
C
2
5
2
2
14
1
2
1
4
14
7
8
2
1
4
7
1
0
40
3
59
0
40
160
59
6581
9
7
800
4
700
4
A
00160
006581
1220
|A||B||C|3618
1113
1
1
26.求矩阵
A
1
0
解：将矩阵分块
2
3
0
1
0
0
2
1
0
0
的逆矩阵。
3
2
B0
12
23
10
A
，
B
，
C
，
E
EC
13
12
01
3
2
2
3
1
不难判断B，C可逆，且
B
，
C
12
11
1
由教材第51面例17的结论
B
1
0
B
1
0
B0
1
A
1
1
C
1
C
1
B
1
C
1
EC
CEB
2
3
3
2
9
7
97
C
1
B
1
11
54
5
4
12
1
3
200
1100
。
A
1
972
3
5
4
12
27.求下列矩阵的行列式和逆矩阵：
100
（1）
042
0
13
解：将矩阵分块为
100
042
A0
，其中
A
1
，
B
42
13
0B
0
13
1
3
1
3
2
147
1
1
A
1
，
B
12
14
14
147
100
042
|A||B|=1
14
13
0
13
42
4
1
（2）
0
0
4
1
0
0
00
20
03
0
2
0
0
1
0
解：将矩阵分块为
00
20
03
0
2
0
0
B0
，
B
40
，
C
31
12
20
1
0C
0
4
1
0
0
00
20
03
0
2
0
04031
|B||C|=
8
2
16
112
20
0
1
0
0
1
0
1
2
1
C
1
3
2
23
1
2
2
1
1
20
4
1
B
8
14
1
8
4
1
0
0
0
2
0
0
1
4
1
00
1
00
8
31
0
20
0
0
1
00
2
1
00
2
3
01
2
00
1
28.设矩阵A，B均可逆，证明：
A
1
AC
AC
分块矩阵
可逆，且
0B
0B
0
证明：因为A，B均可逆，有|A|≠0，|B|≠0，又
A
1
CB
1
1
B
AC
|AB|
|A||B|
0
0B
AC
所以
可逆
。
0B
AC
A
1
A
1
CB
1
E0
E
因为
1
B
0B
0
0E
A
1
AC
所以
0B
0
1
A
1
CB
1
1
B
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