2024年5月2日发(作者：)

第四章 分数的意义和性质-约分

【知识梳理】

1.公因数和最大公因数的意义。

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公

因数。

重点提示：

每个数的因数的个数是有限的，因此两个数或多个数的公因数的个数也是有限的。

2. 求两个数最大公因数的方法。

（1）列举法：先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出公因数中最大的一个。

（2）筛选法：先找出两个数中较小数的因数，从中圈出较大数的因数，再看哪一个因数

最大。

（3）分解质因数法：先将这两个数分别分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数

公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数。

（4）短除法：先把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续去除这两

个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是

这两个数的最大公因数。

方法提示：

用列举法和筛选法求两个数的最大公因数，一般适合较小的数，而分解质因数法

和短除法适合任意的数。

3.最大公因数的表示方法。

例.20和12的最大公因数是4，可记作：（20，12）=4。即用小括号将两个数括起来，中

间用逗号隔开，小括号后面是等号，将它们的最大公因数写在等号的后面。

4.求两个数最大公因数的特殊情况。

（1）当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。

（2）当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是1。

5.互质数的意义和判断方法。

公因数只有1的两个数叫做互质数。

判断两个数是不是互质数，要看它们是不是只有公因数1。

易错提示：互质的两个数不一定都是质数。

6.互质数的特殊情况。

（1）1和任意非0的自然数都是互质数。

（2）2和任何奇数都是互质数。

（3）相邻的两个非0自然数是互质数。

（4）相邻的两个奇数是互质数。

（5）不相同的两个质数是互质数。

7.互质数和质数的区别。

质数是一类数，是只有1和它本身两个因数的数；互质数是对于两个数的关系而言

的，公因数只有1的两个数是互质数。

8.用求公因数的方法解决实际问题。

当所求量分别与两个（或几个）已知量的因数有关时，可以用公因数或最大公因数

的知识解决。

9.约分的概念和方法。

（1）把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

（2）约分的方法有两种：①逐次约分法：用分数的分子和分母的公因数逐次去除分子和

分母，直到约成最简分数；②一次约分法：用分数的分子和分母的最大公因数去除

分子和分母，能直接约成最简分数。

（3）分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。

（4）约分的书写格式。约分的书写形式是从中间开始，向上、下两端展开。因此，约分

前要在分数的上、下方留出约分空。

重点提示：

因为约分的依据是分数的基本性质，所以约分前后分数的大小不变。

10.拓展提高。

（1）两个数的公因数是它们最大公因数的因数，最大公因数是公因数的倍数。

（2）若干个连续自然数的公因数只有1，则它们的最大公因数也是1。

【诊断自测】

1.填空。

（1）8的因数有（ ）；24的因数有（ ）；

8和24的公因数有（ ），它们的最大公因数是（ ）。

（2）4和8的最大公因数是（ ）。

（3）8和9的最大公因数是（ ）。

（4）一个分数约分后，分数的大小（ ）。

（5）

6

的分子和分母的最大公因数是（ ），化成最简分数是（ ）。

24

2.选择。

（1）12、16和18的最大公因数是（ ）

A.2 B.3 C.4 D.6

（2）16厘米=（ ）米

844

B. C. D.1600

52515

3530

（3）（ ）

6072

A.

A.> B.< C.= D.无法确定

3.求出下面各组数的最大公因数。

（1）12和10 （2）22和11 （3）7和8

4.把下面的分数约分。

5.解决问题。

有两条彩带，分别长12厘米和8厘米，若把它们剪成同样长的小段，每小段都要求

是整厘米数，而且没有剩余。每小段彩带最长是多少厘米？

241221

301628

【考点突破】

类型一：求最大公因数。

例1.写出下面各分数分子和分母的最大公因数。

52124

（ ） （ ） （ ）

4236

9

201533

（ ） （ ） （ ）

302444

答案： 1 21 12 10 3 11

解析：（1）因为5和9互质，互质的两个数的最大公因数是1，所以5和9的最大公

因数是1。

（2）因为42是21的2倍，当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公

因数，所以21是42和21的最大公因数。

（3）用短除法：2 24 36

2 12 18

3 6 9

2 3

所以24和36的最大公因数是2×2×3=12。

（4）用短除法：2 20 30

5 10 15

2 3

所以20和30的最大公因数是2×5=10。

（5）用短除法：3 15 24

5 8

所以15和24的最大公因数是3。

（6）用短除法：11 33 44

3 4

所以33和44的最大公因数是11。

例2.选择。

（1）已知m=4n（m，n均不为0），那么m和n的最大公因数是（ ）。

A.m B.n C.4

（2）a和b是两个相邻的非零自然数，它们的最大公因数是（ ）。

A.1 B. a C.b

（3）如果a=2×3×5，b=2×3×7×11，那么a和b的最大公因数是（ ）。

A.2×3 B. 2×3×5×7×11 C.5×7×11

答案：（1）B （2）A （3）A

解析：（1）根据m=4n（m，n均不为0）可知，m是n的4倍。当两个数成倍数关系时，

较小数就是它们的最大公因数。故选B。

（2）两个相邻的非零自然数是互质数，当两个数是互质数时，它们的最大公因数

是1。故选A。

（3）此题考查用分解质因数法求最大公因数的方法。从分解的质因数中找出这两

个数公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数。

例3.按要求写数，使它们的最大公因数是1。

（1）质数（ ）和合数（ ）。

（2）奇数（ ）和奇数（ ）。

（3）偶数（ ）和奇数（ ）。

（4）合数（ ）和合数（ ）。

（5）质数（ ）和质数（ ）。

答案：答案不唯一。

（1）质数（ 2 ）和合数（ 9 ）。

（2）奇数（ 3 ）和奇数（ 5 ）。

（3）偶数（ 2 ）和奇数（ 3 ）。

（4）合数（ 4 ）和合数（ 9 ）。

（5）质数（ 2 ）和质数（ 3 ）。

解析：当两个数互质时，它们的最大公因数就是1。所以可在所要求的数的范围内找到公

因数只有1的两个数，这两个数的最大公因数就是1。

类型二：用求两个数的最大公因数解决实际问题。

例4.五年级三个班分别有24人、36人和42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小

组，每组最多有多少人？每班各分成几组？

答案： 2 24 36 42

3 12 18 21

4 6 7

（24，36，42）=2×3=6（人）

24÷6=4（组）

36÷6=6（组）

42÷6=7（组）

答：每组最多有6人，三个班分别分成了4组、6组、7组。

解析：把24人、36人、42人分成人数相等的小组，即小组人数是24、36、42的公因数，

求每组里最多有多少人，就是求24、36、42的最大公因数。最后根据“每班总人

数÷每组人数=组数”分别求出各分成几组。

例5.幼儿园阿姨把49块水果糖和29块奶糖分别平均分给小班的小朋友，结果水果糖多出

4块，奶糖少了1块，小班最多有多少名小朋友？

答案：49-4=45（块）

29+1=30（块）

（45，30）=15（名）

答：小班最多有15名小朋友。

解析：实际需要水果糖49-4=45（块），需要奶糖29+1=30（块），45和30的最大公

因数15就是小班的最多的人数。

例6.张老师给全班同学带来一些糖果。如果把110块糖果平均分给全班同学，则多5块；

如果把210块糖果平均分给全班同学，则正好分完；如果把240块糖果平均分给全班

同学，则少5块。张老师的班级最多有多少名同学？

答案：110-5=105（块）

240+5=245（块）

（105，210，245）=35（名）

答：张老师的班级最多有35名同学。

解析：题目中的糖果数量有两种情况不能正好分完，可对数量进行调整，使其转化成求

最大分因数的问题。根据 “如果把110块糖果平均分给全班同学，则多5块。”

可知，110-5=105块糖果正好能平均分给全班同学；根据“如果把240块糖果平

均分给全班同学，则少5块。”可知，240+5=245块糖果正好能平均分给全班同

学。所求的问题也就是105、210和245的最大公因数。

例7.有一块木料长3.2米，宽1.44米，高0.96米，现在将这块木料锯成体积相同而且最

大的正方体，总共可锯成多少块？（木料不浪费）

答案：3.2米=320厘米 1.44米=144厘米 0.96米=96厘米

（320，144，96）=16

320÷16=20（块）

144÷16=9（排）

96÷16=6（层）

20×9×6=1080（块）

答：总共可锯成1080块。

解析：题中要求锯成体积相同而且最大的正方体，那么正方体的棱长就是原木料长、宽、

高的最大公因数，由于原木料的长、宽、高都是小数，要转化成整数。

类型三：约分。

例8.先把下面的分数约分，再按从小到大的顺序排列。

24235849

1628569624

3

1 6 5 7 3

答案：

23

= = = = =

8248

8 4 8 8 8

2

因为

42

<<<<，所以<<<<。

888821624569628

解析：先根据分数的基本性质，分子、分母同除以它们的公因数或最大公因数，将分数

约分成最简分数；再比较约分后最简分数的大小，进而比较原分数的大小。

例9.在下面的括号里填上适当的分数。

（1）120千克=（ ）吨 （2）160分=（ ）小时

（3）1280米=（ ）千米 （4）60厘米=（ ）米

答案：（1）

3273

（2）2 （3）1 （4）

253255

1203

=；

100025

16082

（2）低级单位（分）化高级单位（小时），除以进率60，即160÷60===2；

6033

解析：（1）低级单位（千克）化高级单位（吨），除以进率1000，即120÷1000=

（3）低级单位（米）化高级单位（千米），除以进率1000，即

1280÷1000=

1280327

==1；

10002525

（4）低级单位（厘米）化高级单位（米），除以进率100，即60÷100=

类型四：运用抓不变量法解决分子、分母同时加（减）一个数的问题。

例10.分数

答案： 13-5=8 2-1=1

8÷1=8

603

=。

1005

51

的分子、分母同时加上一个数，约分后得，同时加上的这个数是多少？

132

1188

==

22816

8-5=3或16-13=3

答：同时加上的这个数是3。

解析：分数的分子、分母同时加上一个数，分子、分母的差不变。

5

的分母比分子多8，

13

1

的分母比分子多1，分子与分母的差从8变到1，可知分了、分母都缩小到原来

2

11

的，也就是应将的分子和分母同时扩大到原来的8倍，分子和分母的差才能

82

18

是8。的分子、分母同时扩大到原来的8倍是。用8减5（或16-13）就能求

216

5

出的分子、分母同时加上的数是多少。

13

【易错精选】

1.判断。

（1）两个合数的最大公因数不可能是1。（ ）

（2）两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（ ）

（3）把一个分数约分后，得到的分数比原分数小。（ ）

（4）最简分数的分子和分母没有公因数。（ ）

（5）两个数的最大公因数一定是它们的公因数的倍数。（ ）

2.填空。

（1）一张长方形纸的长是75厘米，宽是60厘米。现在要把它裁成若干块相同的正方形，

并且正方形的边长是整厘米数，有（ ）种裁法。

（2）1和任意非0自然数的最大公因数都是（ ）。

（3）最小的质数和最小的合数的最大公因数是（ ）。

【精华提炼】

1.互质的两个数不一定都是质数。例如8和9都是合数，但8和9是互质数。

2.相邻的两个非0自然数互质。

3.当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。

4.当两个数互质时，它们的最大公因数就是1。

5.约分的依据是分数的基本性质，约分前后分数的大小不变。

6.最简分数的分子、分母是互质数。

【本节训练】

训练【1】

1. 把一张长36厘米、宽24厘米的长方形纸裁成同样大的正方形，且纸没有剩余，最少可

以裁多少个正方形？

训练【2】

2.把38个苹果和31个梨分给若干个小朋友，使每个小朋友分得的苹果的个数相同，分得

的梨的个数也相同。结果苹果多2个，梨多3个，最多有多少个小朋友？每个小朋友分

得几个苹果和几个梨？

训练【3】

3.在 里填上“>”“<”或“=”。

（1）

272334429

2 （2） （3）

93916515

训练【4】

4.一个分数的分子和分母的和是72，约分后得最简分数是

2

。原来的分数是多少？

7

基础巩固

一、填空。

1.在下面的括号里填上适当的最简分数。

45分=（ ）时 80千克=（ ）吨

2.已知a=2×2×3，b=2×3×5，则a和b的最大公因数是（ ）×（ ）=（

3.分母是10的所有最简真分数的和是 （ ）。

4.一个最简真分数，分子和分母的积是8，这个分数是（ ） 。

5.按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1。

（1）两个数都是合数：（ ）和（ ）。

（2）两个数都是奇数：（ ）和（ ）。

（3）一个偶数和一个奇数：（ ）和（ ）。

二、选择题。

1. 在下面的分数中，（ ）不是最简分数。

A.

4

21

B.

1531

6

C.

34

2.一个最简真分数，分子和分母的和是9，这样的最简真分数有（ ）个。

A.3 B.4 C. 5

3.18时=（ ）日。

A.

93

50

B.

10

C.

3

4

三、判断。

1.如果A、B是两个整数（B≠0），且A÷B=2，那么A和B的最大公因数是1。（

）。

）