2024年5月2日发(作者：)

19.1.1变量与函数

知识技能目标

1.掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念；

2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.

过程性目标

1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；

2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函

数关系式.

教学过程

一、创设情境

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．

问题1 如图是某地一天内的气温变化图．

看图回答：

(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时

刻的气温．

(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？

解 (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；

(2)这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；

(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降

低．

从图中我们可以看到，随着时间

t

（时）的变化，相应地气温

T

(℃)也随之变化．那么在

生活中是否还有其它类似的数量关系呢？

二、探究归纳

问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行

为“整存整取”的存款方式规定的年利率：

观察上表，说说随着存期

x

的增长，相应的年利率

y

是如何变化的．

解 随着存期

x

的增长，相应的年利率

y

也随着增长．

问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些

对应的数值：

观察上表回答：

(1)波长

l

和频率

f

数值之间有什么关系?

(2)波长

l

越大，频率

f

就________．

解 (1)

l

与

f

的乘积是一个定值，即

lf

＝300 000，

300000

或者说

f

．

l

(2)波长

l

越大，频率

f

就 越小 ．

问题4 圆的面积随着半径的增大而增大．如果用

r

表示圆的半径，

S

表示圆的面积则

S

与

r

之间满足下列关系：

S

＝_________．

利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结

果填入下表：

由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________．

解

S

＝π

r

2

．

圆的半径越大，它的面积就越大．

在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了

各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气

温变化规律的量是时间

t

和气温

T

，气温

T

随着时间

t

的变化而变化，它们都会取不同的数

值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(

variable

)．

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个

变化过程中，有两个变量，例如

x

和

y

，对于

x

的每一个值，

y

都有惟一的值与之对应，我们

就说

x

是自变量(

independent variable

)，

y

是因变量(

dependent variable

)，此时也称

y

是

x

的函数(

function

)．表示函数关系的方法通常有三种：

300000

(1)解析法，如问题3中的

f

，问题4中的

S

＝π

r

2

，这些表达式称为函数的关系

l

式．

(2)列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表．

(3)图象法，如问题1中的气温曲线．

问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(

constant

)，

如问题3中的300 000，问题4中的π等．

三、实践应用

例1 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.

(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?

(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?

(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?

解 (1)平均身高是146.1cm；

(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；

(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平

均身高是因变量．

例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：

(1)圆的周长

C

与半径

r

的关系式；

(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程

s

（千米）和所用时间

t

（时）的关系式；

(3)

n

边形的内角和

S

与边数

n

的关系式．

解 (1)

C

＝2π

r

，2π是常量，

r

、

C

是变量；

(2)

s

＝60

t

，60是常量，

t

、

s

是变量；

(3)

S

＝(

n

－2)×180，2、180是常量，

n

、

S

是变量．

四、交流反思

1.函数概念包含：

(1)两个变量；

(2)两个变量之间的对应关系．

2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例

如

x

和

y

，对于

x

的每一个值，

y

都有惟一的值与之对应，我们就说

x

是自变量，

y

是因变量．

3.函数关系三种表示方法：

(1)解析法；

(2)列表法；

(3)图象法．

五、检测反馈

1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．

2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：

5

(1)三角形的一边长5cm，它的面积

S

(cm

2

)与这边上的高

h

(cm)的关系式是

Sh

；

2

(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β

＝90－α ；

(3)若某种报纸的单价为

a

元，

x

表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价

y

（元）与

x

间的关系是：

y

＝

ax

．

3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：

(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额

Y

（元）与学生数

n

（个）的

关系；

(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数

n

（个）与单价

a

（元）的关系．

4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．若用

x

表示涂黑的格子横向的乘

数，

y

表示纵向的乘数，试写出

y

关于

x

的函数关系式．