2024年5月1日发(作者：)

二维拉普拉斯极坐标推导

二维拉普拉斯极坐标推导

导语：

拉普拉斯方程是数学物理中十分重要的一个方程，它在很多领域都有

广泛的应用，如电场、磁场、热传导等。在解决一些二维问题时，使

用极坐标及其拉普拉斯方程可以简化计算，提高效率。本文将介绍二

维拉普拉斯极坐标推导的基本原理，帮助读者更好地理解和应用该方

程。本文将按照从简到繁的方式，由浅入深地探讨这个主题。

一、什么是拉普拉斯方程及其极坐标形式

拉普拉斯方程是描述物理量在空间中的分布的一个偏微分方程。在二

维情况下，设函数 u(x, y) 的二阶偏导数存在，拉普拉斯方程可以表示

为：

Δu = ∂²u / ∂x² + ∂²u / ∂y² = 0

其中，Δ表示拉普拉斯算子。在极坐标中，坐标变换关系为：

x = r*cos(θ)

y = r*sin(θ)

由此可得，拉普拉斯算子在极坐标中的表达式为：

Δ = (∂² / ∂r²) + (1/r)*(∂/∂r) + (1/r²)*(∂²/∂θ²)

二、二维拉普拉斯方程极坐标推导

为了推导二维拉普拉斯方程的极坐标形式，我们使用链式法则将偏导

数从直角坐标系转换到极坐标系。根据链式法则，对u进行偏导数的

展开形式为：

(∂u/∂r) = (∂u/∂x)*(∂x/∂r) + (∂u/∂y)*(∂y/∂r)

(∂u/∂θ) = (∂u/∂x)*(∂x/∂θ) + (∂u/∂y)*(∂y/∂θ)

通过对 x 和 y 的偏导数进行计算，可以得到：

(∂u/∂r) = cos(θ)*(∂u/∂x) + sin(θ)*(∂u/∂y)

(∂u/∂θ) = -r*sin(θ)*(∂u/∂x) + r*cos(θ)*(∂u/∂y)

接下来，对上述两个式子再次分别对 r 和 θ 进行偏导数的计算，可以

得到：

(∂²u/∂r²) = (∂/∂r)*(cos(θ)*(∂u/∂x) + sin(θ)*(∂u/∂y))

= cos(θ)*(∂²u/∂x²) + sin(θ)*(∂²u/∂x∂y) + sin(θ)*(∂²u/∂y²)

+ cos(θ)*(∂²u/∂x∂y)

(∂²u/∂θ²) = (∂/∂θ)*(-r*sin(θ)*(∂u/∂x) + r*cos(θ)*(∂u/∂y))

= -r*sin(θ)*(∂²u/∂x²) + r*cos(θ)*(∂²u/∂x∂y) -

r*cos(θ)*(∂²u/∂y²) + r*sin(θ)*(∂²u/∂x∂y)

将上述两个式子代入拉普拉斯算子的极坐标表达式中，可得到最后的

推导结果：

Δu = (∂²u/∂r²) + (1/r)*(∂u/∂r) + (1/r²)*(∂²u/∂θ²)

= (cos(θ)*(∂²u/∂x²) + sin(θ)*(∂²u/∂x∂y) + sin(θ)*(∂²u/∂y²) +

cos(θ)*(∂²u/∂x∂y)) +

(1/r)*(cos(θ)*(∂u/∂x) + sin(θ)*(∂u/∂y)) +

(1/r²)*(-r*sin(θ)*(∂²u/∂x²) + r*cos(θ)*(∂²u/∂x∂y) -

r*cos(θ)*(∂²u/∂y²) + r*sin(θ)*(∂²u/∂x∂y))

= (∂²u/∂r²) + (1/r)*(∂u/∂r) + (1/r²)*(∂²u/∂θ²)

至此，得到了拉普拉斯方程在极坐标中的形式。

三、总结与回顾

本文从简到繁地介绍了二维拉普拉斯极坐标推导的基本原理。我们了

解了拉普拉斯方程及其在二维中的形式。根据坐标变换关系，通过链

式法则将拉普拉斯算子从直角坐标系转换到极坐标系，推导得到了二

维拉普拉斯方程的极坐标形式。这个推导过程非常重要，它使得我们

在解决某些二维问题时，可以直接使用极坐标的形式进行计算，从而

简化了计算过程，提高了效率。

个人观点和理解：

二维拉普拉斯极坐标推导是数学物理中的一个重要工具，在解决一些

二维问题时具有十分广泛的应用。通过推导，我们可以将拉普拉斯方

程从直角坐标系转换到极坐标系，使得我们能够更方便地进行计算和

分析。这个推导过程十分有趣，不仅锻炼了我们的数学推导能力，更

加深入地理解了二维拉普拉斯方程的本质。这个推导过程还为我们开

启了更深入研究数学物理问题的大门，让我们能够更好地应用和发展

数学物理的理论和方法。