2024年5月1日发(作者：)

2．1.3 分层抽样

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(1)什么叫分层抽样？

(2)分层抽样适用于什么状况？

(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？

1．分层抽样的概念

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立地抽取肯定数量的个体，

将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

2．分层抽样的适用条件

分层抽样尽量利用事先所把握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的全都性，这对提高样本

的代表性格外重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．

1．推断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)

(1)系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样，故系统抽样就是一种特殊

的分层抽样；( )

(2)在分层抽样时，每层可以不等可能抽样；( )

(3)在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层有关．( )

解析：(1)由于分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上抽取时是按事先定好的规章进行的，

各层编号有联系，不是独立的，故系统抽样不同于分层抽样．

(2)分层抽样时，每层仍旧要等可能抽样．

(3)与层数及分层无关．

答案：(1)× (2)× (3)×

2．某地区为了解居民家庭生活状况，先把居民按所在行业分为几类，然后每个行业抽取

1

100

的居民家庭进

行调查，这种抽样是( )

A．简洁随机抽样 B．系统抽样

C．分层抽样 D．分类抽样

解析：选C.符合分层抽样的特点．

3．一个班共有54人，其中男、女比为5∶4，若抽取9人参与教改调查会，则每个男同学被抽取的可能

性为________，每个女同学被抽取的可能性为________．

解析：男、女每人被抽取的可能是相同的，由于男同学共有54×

5

9

＝30(人)，女同学共有54×

4

9

＝24(人)，

所以每个男同学被抽取的可能性为

5

30

＝

141

6

，每个女同学被抽取的可能性为

24

＝

6

.

答案：

1

6

1

6

4．分层抽样的操作步骤是什么？

解：总体分层；依据比例独立抽取．

1．分层抽样的特点

(1)适用于总体由有明显差别的几部分组成的状况．

(2)抽取的样本更好地反映了总体的状况．

(3)是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是

n

N

.

2．分层抽样的公正性

假如总体中个体的总数是N，样本容量为n，第i层中个数为N

i

，则第i层中要抽取的个体数为n

i

＝n·

N

i

N

.

每一个个体被抽取的可能性是

n

i

N

i

＝

1

N

i

·n·

N

i

N

＝

n

N

，与层数无关．所以对全部个体来说，被抽取的可能性是一样

的，与层数及分层无关，所以分层抽样是公正的．

3．分层抽样需留意的问题

(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体状况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间

的样本差异要大，且互不重叠．

(2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定．

(3)各层抽样按简洁随机抽样或系统抽样进行．

分层抽样的概念

某中学有老年老师20人，中年老师65人，青年老师95人．为了调查他们的健康状况，需从他们

中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是( )

A．抽签法 B．系统抽样

C．分层抽样 D．随机数法

[解析] 各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据．

[答案] C

方法归纳

各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是机敏的，可用简洁随机抽样，

也可接受系统抽样．分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会均等，体现了抽样的公正性．

1．(1)某市有四所重点高校，为了解该市高校生的课外书籍阅读状况，则接受下列哪种方法抽取样本最合

适(四所高校图书馆的藏书有肯定的差距)( )

A．抽签法 B．随机数表法

C．系统抽样法 D．分层抽样法

解析：选D. 由于学校图书馆的藏书对同学课外书籍阅读影响比较大，因此实行分层抽样．

(2)某校高三班级有男生800人，女生600人，为了解该班级同学的身体健康状况，从男生中任意抽取40

人，从女生中任意抽取30人进行调查．这种抽样方法是( )

A．简洁随机抽样法 B．抽签法

C．随机数表法 D．分层抽样法

解析：选D.总体中个体差异比较明显，且抽取的比例也符合分层抽样．

分层抽样的应用

(2022·高考湖北卷)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，接受分层抽样的方法从中抽取一

个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________

件．

[解析] 设乙设备生产的产品总数为x件，则甲设备生产的产品总数为(4 800－x)件．由分层抽样特点，结

合题意可得

50

80

＝

4 800－x

4 800

，解得x＝1 800.

[答案] 1 800

[互动探究] 将本例条件“若样本中有50件产品由甲设备生产”换为“已知甲、乙两套设备生产的同类

型产品数量之比为5∶3”，求样本中抽取的由甲、乙设备生产的数量分别是多少件？

解：设样本中抽取的由甲、乙设备生产的数量分别是x，y件，则x＝80×

53

5＋3

＝50，y＝80×

5＋3

＝30.

故样本中抽取的由甲、乙设备生产的数量分别是50，30件．

方法归纳

在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层

所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n

i

∶N

i

＝n∶N.

2．(1)为了调查城市PM

2.5

的状况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为

8，16，24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为( )

A．3 B．4

C．5 D．6

解析：选B.依据分层抽样的特点可知，抽样比例为

1211

48

＝

4

，则应抽取的中型城市数为16×

4

＝4.

(2)一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康

状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，则应抽取超过45岁的职工________人．

解析：抽样比为25∶200＝1∶8，而超过45岁的职工有80人，则从中应抽取的个体数为80×

1

8

＝10.

答案：10

三种抽样方法的考查

选择合适的抽样方法抽样，并写出抽样过程．

(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取10个入样；

(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；

(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；

(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样．

[解] (1)总体容量较小，用抽签法．

①将30个篮球编号，编号为00，01，…，29.

②将以上30个编号分别写在完全一样的一张小纸条上，揉成小球，制成号签．

③把号签放入一个不透亮 的袋子中，充分搅拌均匀．

④从袋子中逐个抽取10个号签，并记录上面的号码．

⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．

(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样．

①确定抽取个数．由于

10

30

＝

1

3

，所以甲厂生产的应抽取

21

3

＝7(个)，乙厂生产的应抽取

9

3

＝3(个)．

②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．

(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法．

①将300个篮球用随机方式编号，编号为001，002，…，300.

②在随机数表中随机地确定一个数作为开头，如(教材P

103

附表)第8行第29列的数“7”开头．任选一个方

向作为读数方向，比如向右读．

③从数“7”开头向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不