2024年4月28日发(作者：)

指数函数知识点专题复习

一、基础知识

1．指数函数的概念

函数y＝a

x

(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．

形如y＝ka

x

，y＝a

xk

(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．

2．指数函数y＝a

x

(a>0，且a≠1)的图象与性质

底数

a>1 0

＋

图象

定义域为R，值域为(0，＋∞)

性

质

图象过定点(0,1)

当x>0时，恒有y>1；

当x<0时，恒有0

在定义域R上为增函数

注意

当x>0时，恒有0

当x<0时，恒有y>1

在定义域R上为减函数

指数函数y=a

x

(a>0,且a≠1）的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0

研究.

二、常用结论

指数函数图象的特点

(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，



1,

x





1





，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．

a





1



(2)函数y＝a

x

与y＝



(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．



a



(3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当

0

三、考点解析

考点一 指数函数的图象及应用

例、(1)函数f(x)＝2

1

x

的大致图象为( )

－

(2)若函数y＝|3

x

－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．

变式练习

1.

[变条件]

本例(1)中的函数f(x)变为：f(x)＝2

|

x

1|

，则f(x)的大致图象为( )

－

2.

[变条件]

本例(2)变为：若函数f(x)＝|3

x

－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．

3．若函数y＝2

1

x

＋m的图象不经过第一象限，求m的取值范围．

考点二 指数函数的性质及应用

考法(一) 比较指数式的大小

例、已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )

A．b

考法(二) 解简单的指数方程或不等式

例、若偶函数f(x)满足f(x)＝2

x

－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．

[解题技法]

简单的指数方程或不等式问题的求解策略：

(1)a

f

(

x

)

＝a

g

(

x

)

⇔f(x)＝g(x)．

(2)a

f

(

x

)

>a

g

(

x

)

，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0

(3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必

要时进行分类讨论．

考法(三) 指数型函数性质的综合问题

例、已知函数f(x)＝



4

3

2

5

1

3

－



1





3



ax

2

4x3

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值．

[解题技法]

与指数函数有关的复合函数的单调性：

形如函数y＝a

f

(

x

)

的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：

(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝a

f

(

x

)

的单调增(减)区间；

(2)若0

f

(

x

)

的单调减(增)区间．即“同增异减”．

跟踪训练

1．函数y＝





1





2



x

2

2x1

的值域是( )

A．(－∞，4) B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞)

2．设a＝0.6

0.6

，b＝0.6

1.5

，c＝1.5

0.6

，则a，b，c的大小关系是( )

A．a

3．设函数f(x)＝x

2

0.1

－

a

与g(x)＝a

x

(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)

0.2

与N＝



1





的大小关系是( )



a



A．M＝N B．M≤N C．MN

x





4

，x≥0，

4．已知实数a≠1，函数f(x)＝



a

－

x

若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．



2

，x<0，



课后作业

1．函数f(x)＝1－e

|

x

|

的图象大致是( )

2．已知函数f(x)＝4＋2a

x

－

1

的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )

A．(1,6) B．(1,5) C．(0,5) D．(5,0)

3．已知a＝2

0.2

，b＝0.4

0.2

，c＝0.4

0.6

，则a，b，c的大小关系是( )

A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a

4．函数f(x)＝





1





2



x

2

x

的单调递增区间是( )

A.

(,

]

B.

[0,]

C.

[，)

D.

[，1]

5.函数f(x)＝a

x

－

b

1

2

1

2

1

2

1

2

的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )

A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0

x





1－2

，x≥0，

6．已知函数f(x)＝



x

则函数f(x)是( )



2

－1，x<0，



－

A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增 B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减

C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减



1



1



7．已知a＝



，b＝



，则a________b．(填“<”或“>”)



3



3





1



1



8．函数y＝



－



＋1在[－3,2]上的值域是________．



4



2



9．已知函数f(x)＝a

x

＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.

10．已知函数f(x)＝a

|

x

1|

(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是________．

＋

3.33.9

xx



1



11．已知函数f(x)＝



，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)．

ax



2



(1)求a的值；

(2)若g(x)＝4

－

x

－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．

xa

12．已知函数f(x)＝





2





3





.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的最大值是

9

4

，求a的值．