2024年4月28日发(作者：)
一、指数的性质
（一）
整数指数幂
n
1．整数指数幂概念：
aa
a
a
(nN)
a
0
1
a0
n个a
a
n
1
a0,nN
n
a
mnmn
m
n
2．整数指数幂的运算性质：（1）
aaa
m,nZ
（2）
a
n
nn
（3）
ab
ab
nZ
n
mn
a
mn
m,nZ
其中
aaaa
mnmn
a
a
n
a
1
n
nn
，
ab
ab
n
．
b
b
3
．
a
的
n
次方根的概念
即： 若
x
n
一般地，如果一个数的
n
次方等于
a
n1,nN
，那么这个数叫做
a
的
n
次方根，
a
，则
x
叫做
a
的
n
次方根，
n1,nN
例如：27的3次方根
3
273
，
27
的3次方根
3
273
，
32的5次方根
5
322
，
32
的5次方根
5
322
．
说明：①若
n
是奇数，则
a
的
n
次方根记作
n
a
； 若
a0
则
n
a0
，若
ao
则
n
a0
；
②若
n
是偶数，且
a0
则
a
的正的
n
次方根记作
n
a
，
a
的负的
n
次方根，记作：
n
a
；
（例如
：
8的平方根
822
16的4次方根
4
162
）
③若
n
是偶数，且
a0
则
n
a
没意义，即负数没有偶次方根；
④
00n1,nN
n
∴
n
00
；
⑤式子
a
叫根式，
n
叫根指数，
a
叫被开方数。 ∴
n
a
n
n
a
．
．
4
．
a
的
n
次方根的性质
一般地，若
n
是奇数，则
n
a
n
a
；
a
若
n
是偶数，则
aa
a
n
n
a0
a0
．
5．例题分析：
例1
．
求下列各式的值：
（1）
3
8
3
（2）
10
2
（3）
4
3
（4）
4
ab
2
ab
解：略。
例2．已知
ab0,
n1,nN
， 化简：
n
ab
n
ab
．
nn
解：当
n
是奇数时，原式
(ab)(ab)2a
当
n
是偶数时，原式
|ab||ab|(ba)(ab)2a
所以，
n
ab
n
ab
nn
2an
为奇数
．
2an
为偶数
(52)
2
(52)
2
25
例3．计算：
740740
解：
740740
例4．求值：
59
5
．
24
5945
24
2
5（52）
24
59
解：
5
24
2
552625（51）51
22442
（二）
分数指数幂
1．分数指数幂：
5
aaa
102
10
5
a0
3
aaa
124
12
3
a0
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
如果幂的运算性质（2）
a
3
k
n
a
kn
对分数指数幂也适用，
4
4
2
2
55
3
4
2
25
3
2
例如：若
a0
，则
a
3
a
3
a
，
a
4
a
4
a
， ∴
aa
3
aa
．
5
4
5
即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是
a
（2）正数的负分数指数幂的意义是
a
m
n
m
n
n
a
m
a0,m,nN
,n1
；
1
a
m
n
1
n
a
m
a0,m,nN,n1
．
2
．
分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
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