2024年4月4日发(作者：)

第40卷第5期 Vol.40 No.5 井冈山大学学报(自然科学版)

2019年9月 Sep. 2019

井冈山

Journal of Jinggangshan

大学学报(自然科学版)

University (Natural Science)

1

1

文章编号：1674-8085(2019)05-0001-05

Schwarz-Christoffel保形映射的解析和数值方法实现

颜昌元，欧阳培昌，

*

孔翠香，占小根

(井冈山大学数理学院，江西，吉安 343009)

摘 要：利用对称性和Mathematical软件，探讨了正多边形到圆盘空间的保形映射，并用双曲Hyper函数的泰勒

展开式，粗糙得到该映射的数值计算方法。鉴于上述映射存在严重的crowding缺陷，本文引入Schwarz-Christoffel

数值映射方法，借助SC保形工具箱，实现多边形到圆盘区域保形映射。该方法具有高精度、计算快捷、适应面

广的特点，在工程计算和美学领域具有良好的应用价值。

关键词：保形映射；Schwarz-Christoffel数值映射方法；双曲拼贴

中图分类号：TP391 文献标识码：A DOI:10.3969/.1674-8085.2019.05.001

ANALYTICAL AND NUMERICAL METHOD IMPLEMENTATION OF

CONFORMAL SCHWARZ-CHRISTOFFEL MAPPING

YAN Chang-yuan, OUYANG Pei-chang,

*

KONG Cui-xiang, ZHAN Xiao-gen

(School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)

Abstract: Using symmetry and Mathematical, this paper investigates the conformal mapping between circle disc

and regular polygons. The mapping is roughly realized by the Taylor expansion of Hyper function. Because this

method has serous crowing defect, we introduce numerical Schwarz-Christoffel mapping method and use SC tool

to realize it. The latter method has the characteristics of high precision, fast calculation and wide adaptability,

which has good application value in engineering calculation and aesthetics.

Key words: conformal mapping; numerical Schwarz-Christoffel mapping method; hyperbolic tiling

射作用下，图像曲线将以相同的角度相交

(

这正是

0 引言

若定义在一个开集上的映射

H

是一对一和全

纯的

(holomorphic)

，则称

H

是保形映射

(conformal

mapping)

，也称为保角映射或拱形映射

-1

[1-2]

保角映射名字的由来

)

。保形性可以用坐标变换

的雅可比导数矩阵来描述。如果变换的雅可比矩

[6]

阵处处都是标量的旋转矩阵，则变换是保形的。

[5]

直观地讲，保形映射是一个局部保留角的函

数，它保持角度和无穷小的形状，保证图形在该

映射作用前和作用后，图形的轮廓不变。保形映

射用复数来描述，会非常优美。复平面上一个区

域的保角映射是一个解析（光滑）函数，则导数

。尽管

在一个非空开集不能恒定地定义一个一对一的保

形映射，但由于逆映射

H

是全纯的，这意味着，

一个函数是保形的当且仅当它是双全纯地图

形

[3-4]

。任何一对相交于某一点的曲线，在保形映

_______________________________

收稿日期：2019-03-13；修改日期：2019-05-20

基金项目：国家自然科学基金项目(11461035，11761039)；江西省教育厅科技计划项目(GJJ160749)；吉安市科技局(吉市科计字[2014]36号12)；

井冈山大学博士科研启动项目(JZB1303)；井冈山大学校级课题(JZ1802)

作者简介：颜昌元(1980-)，男，湖北洪湖人，助教，硕士，主要从事有限群研究(E-mail:yanyuan05@);

欧阳培昌(1980-)，男，江西赣州人，副教授，博士，主要从事计算机可视化研究(E-mail: g_fcayang@);

*孔翠香(1978-)，女，陕西渭南人，讲师，硕士，主要从事计算机应用、计算机网络研究(E-mail:jxjgskcxy@);

占小根(1980-)，男，江西上饶人，讲师，硕士，主要从事时间序列研究(E-mail: xiaogenzhan@).

2

井冈山大学学报(自然科学版)

在区域内永不消失。因保角性，平面上正方形网

格在保角映射下，会生成曲线正交网格。由于一

个拉普拉斯方程的解在共形映射后，仍然是变换

后的方程的解，这使得共形映射在热传导、电磁

理论、空气动力学等领域具有重要的应用价值

[7]

。

Gauss

在

1851

年提出共形映射的思想，而

Riemann

在他的博士论文中给出了一个现称为黎

曼映射定理的著名结论：在任何两个单连通区域，

存在一个的共形映射。

Schwarz

和

Christoffel

在

1867

和

1869

年各自独立地证明一个在实用领域

具有重要意义的

Schwarz-Christoffel

保形映射：

存在一个把上半平面映射到简单多边形内部的保

形映射

[8]

。

Schwarz-Christoffel

映射是黎曼映射定

理的具体化和加强版。

一般来说，建立一个单连通区域到另一个单

连通区域的具体保形映射公式是极为困难甚至不

可能的，但

Schwarz-Christoffel

映射告诉我们，

多边形到多边形之间的保形映射一定存在解析描

述

(

见下节中定理

1)

。由于

Schwarz-Christoffel

映

射理论的重要性和广泛的实用价值，人们对其进

行持续和深入的研究，目前在数值上已经建立了

快速适定的计算方法

[9-12]

。

本文将在第一节将介绍单位圆盘到正多边形

的保形映射。第二节介绍

Schwarz-Christoffel

映

射定理，并综述目前影响力较大的计算软件，粗

略梳理

Schwarz-Christoffel

数值算法的工作要点。

关于双曲拼贴

(hyperbolic tiling)

的生成方法可以

参考文献

[13-17]

，本文将以双曲拼贴网格作为保

形映射的测试和演示案例，分别在第一节和第二

节，用图形案例演示

Schwarz-Christoffel

映射的

保形计算效果。在第三节，将简要概括本文工作

要点，介绍本文的研究意义及拟开展的工作。

1 单位圆盘到正多边形的保形映射

由于正多边形的对称性，寻找正多边形到圆

盘空间的保形映射形式，是一个很吸引人的课题，

荷兰绘画大师

Escher

曾完成一幅在正方形内部具

有无穷相似对称性的方极限

(Square Limit)

作

品

[14]

。本节将探讨最简单的正多边形到圆盘空间

的保形映射的解析形式。

令

D

＝

(z│z

＝

x+yix

2

+y

2

＜

1)

表示单位圆盘，

P

m

表示正

m

边形，我们用

Mathematical

的计算

给出单位圆盘

D

到

P

m

的保形映射为

2

F

1

(z)

=

z(1

-

z

m

)

m

(z

m

-

1)

-

2

m

´

Hyper(

1

m

,

2

m

,1

+

1

m

,z

m

)

(1)

其中

zÎP

m

,F

1

(z)ÎD

，

Hyper

是双曲函数，

Hyper(a,b,c,z)

=

å

+¥

z

n

+

1

(a

+

n)!(b

+

n)!(c

-

1)!

n

=-

1

(1

+

n)!(z

-

1)!(b

-

1)!(c

+

n)!

上面的

Hyper

函数由近似的泰勒展开式表

示，计算上存在突出

crowding

效应

[18]

，映射后的

正多边形图案存在非常明显的扭曲效应，并且随

着边数的增加，图形扭曲得更加厉害，详细结果

见图

1

及其说明。

图

1

基于方程

(1)

中映射

F

1

(z)

的保形映射计算效果示意图

Fig.1 The schematic diagram of calculation effect of

conformal mapping based on mapping

F

1

(z)

in equation (1)

图

1

中，第一排从左到右分别是双曲空间庞

加莱模型中具有

(3,4,5)

，

(5,6,7)

和

(8,4,2)

对称性的

拼贴图。第二排从左到右分别是对应上一排拼贴

图映射到正三、正五和正八边形中的结果。由于

映射

F

1

的计算方法存在病态的

crowding

问题，

可以看到，随着边数的增加保形映射后得到的图

案扭曲得更加厉害。

映射

(1)

只是近似的保形映射，且只能处理正

多边形区域，我们将在下一节给出精确实用的多

井冈山大学学报(自然科学版)

3

边形到圆盘区域的

Schwarz-Christoffel

数值方法。

2 Schwarz-Christoffel映射数值方法

Schwarz-Christoffel

映射指将上半平面空间

H

2

＝

{z│z

＝

x+yi,y

＞

0}

映射到多边形区域。由于上

半平面区域

H

2

可经由保形变换

F

x

2

+

y

2

-

1

2

(z)

=

2x

x

2

+

(y

+

1)

2

+

x

2

+

(y

+

1)

2

i

(2)

映射到单位圆盘空间

D

，因此本文等价地只给出

单位圆盘到多边形区域的

Schwarz- Christoffel

映

射方法。

设

W

是复平面上由顶点

v

1

,v

2

,

…

,v

n

(

按逆时针

方向排序

)

确定的多边形

P

的内部区域，其中

α

k

π

是顶点

v

k

的内角。我们特别要求

P

的外角和是

360

度，即

å

n

k

=

1

(1

-

a

k

)

=

2,

其中

a

k

π

Î

(0,2π)

(3)

由此有下面的

Schwarz-Christoffel

映射定理。

定理

1

设

f

是任一把单位圆盘映射到多边

形区域

P

的保形映射，则

f(z)

=

A

+

C

ò

2

Õ

n

k

=

1

(1

-

J

k

-

zk

)

a

1

d

J

,z

Î

D

(4)

其中

v

k

=k(z

k

)

，

A

和

C

是常复数。

该定理证明参阅文献

[9-10,18]

。由于无法预

知

z

k

的信息，人们无法直接使用映射

(4)

。预点

z

k

散落在单位圆盘

D

上。构造

Schwarz-Christoffel

映射的关键一步是寻找预点

z

k

的准确位置，该问

题即著名的

Schwarz-Christoffel

映射参数问题，

一旦该问题得到解决，

(4)

中的参数

A

和

C

，以及

保形映射

f

和它的逆映射都可以相应解决。

求解映射

(4)

中有两个值得注意的地方：一，

除了一些非常简单的多边形外，这个公式需要一

个没有闭合形式的积分。二，一般情况下，预点

z

k

并无解析解决办法，数值上，它涉及求解一组

非线性方程组。上述问题的解决在计算科学得到

长足发展的近期，才成为可能。

随着计算机计算进步和数值算法的研究积

累，目前人们建立了若干经济实用的软件，诸如

SCPACK

，

ZIPPER

，

SC

等等。本文将应用

SC

实

现保形映射

(4)

的求解。

SC

是基于

MATLAB

语言，

用于求解

Schwarz-Christoffel

映射的一个交互式

数值分析和科学计算软件，它的交互性和强大图

形功能，使得计算比以往更容易和更灵活。

本文求解映射

(4)

所调用的函数共涉及

SC

工具箱中的

polygon

，

diskmap

和

evalinv

这三个

函数，它们的具体使用方法请参阅

SC

的帮助文

献

[18]

。

图

2

和图

3

是本文的计算效果示意图。图

2

中，考虑的是正多边形到单位圆盘的

Schwarz-Christoffel

映射结果。第一排给出的是庞

加莱空间中具有

(3,4,3)

，

(4,4,4)

，

(8,5,3)

和

(12,2,3)

对称性的拼贴图，第二排是对应拼贴网格图映射

到正三，正四和正八和正十二边形区域中的结果。

可以看到图

2

中映射结果不存在像图

1

中的

crowding

扭曲现象，不管是最简单正三边形还是

较为复杂的正十二边形，映射结果都非常理想

(

本

文的计算结果精确到小数点后八位数，足以满足

大多数工程场合需求

)

。

图

2

基于方程

(4)

中

Schwarz-Christoffel

数值映射

方法的计算效果示意图

Fig.2 The schematic diagram of calculation effect based

on the numerical Schwarz-Christoffel mapping method in

equation (4)

图

2

中，第一排从左到右分别是双曲空间庞

加莱模型中具有

(3,4,3)

，

(4,4,4)

，

(8,5,3)

和

(12,2,3)

对称性的拼贴图。第二排从左到右分别是对应上

一排拼贴图映射到正三、正四和正八和正十二边

形区域中的结果。

4

井冈山大学学报(自然科学版)

图

3

基于方程

(4)

中

Schwarz-Christoffel

数值映射

方法的计算效果示意图

Fig.3 The schematic diagram of calculation effect based on

the numerical Schwarz-Christoffel mapping method in

equation (4)

图

3

中，第一排从左到右分别是双曲空间庞

加莱模型中具有

(6,4,2)

，

(5,15,2)

和

(9,2,3)

对称性

的拼贴图。第二排从左到右分别是对应上一排拼

贴图映射到双等边三角形叠加、五角星和钻石区

域中的结果。

在图

3

中，我们测试了

Schwarz-Christoffel

映射

(4)

在更复杂区域的效果图。第一排给出的是

分别具有

(6,4,2)

，

(5,15,2)

和

(9,2,3)

对称性的拼贴

图，再把上述拼贴分别映射到双等边三角形叠加、

五角星和钻石区域中，可以看到映射结果非常理

想

(

特别是对于复杂的五角星案例

)

。

3 小结

利用正多边形对称性，本文用

Mathematical

求解正多边形到单位圆盘的解析型保形映射，并

利用泰勒展开式和双曲函数

Hyper

给出该映射的

计算方法。计算结果如图

1

显示，该方法存在突

出的

crowding

效应。针对上述缺陷，本文给出数

值

Schwarz-Christoffel

映射方法，并借用现有的

SC

工具箱，实现其计算细节。计算结果显示从图

2

和图

3

，本文方法精确快速好用，即便是对于复

杂如五角星或钻石型区域，也能理想地避免

crowding

效应。

数值

Schwarz-Christoffel

映射方法在空气动

力学、电磁理论和热传导等领域具有重要的实用

价值。本文给出

Schwarz-Christoffel

映射方法的

实现细节，对非数学专业的工程领域学者具有一

定参考价值。另外，从计算结果可以看到，数值

保形映射具有良好的美学意义，我们将在今后挖

掘

Schwarz-Christoffel

保形映射的美学价值。

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