2023年7月27日发(作者：)

广义相对论的爱因斯坦引力场方程推导过程和几个解的天体物理意义

看到一篇报道，“哈密尔顿-田”、“偏零阶估计”。。。唔，好的，带有原文链接，我觉得就没必要打开了。相比于这个没听过名字的数学猜想，我们来看看比较著名的数学表达式吧。今天不看麦克斯韦方程组，看《时间简史》等科普著作都会有一句“为了通俗介绍概念，本文不会出现任何数学公式”，然后书里突然冒出一句，科学家由广义相对论方程得到一个解，从而发现………………好，我们来看看广义相对论的爱因斯坦引力场方程。下面这个就是了：

====================以下是推导过程和部分解和天体物理学意义=================================

第一节：广义相对论场方程

广义相对论是一个关于引力的理论。早在十七世纪牛顿就已经提出了一个引力理论。在牛顿的理论框架下，两个有质量的质点之间存在着引力，其大小正比于两个质点的质量乘积，反比于质点之间距离的平方，并且方向通过两个质点之间的连线。牛顿当时已经觉察到，对地球上的物体，地球对所有不同材质的物体吸引程度都是一样的，如果用物体受到的引力除以物体的质量，得到的比值始终都是一个常数，物理学家们称这个常数为重力加速度。牛顿用了不同的材料做实验，得到对于不同的材料，这个常数都在某个范围之间波动，波动范围不超过千分之一。到了十九世纪，随着实验精度的提高，这个误差被进一步缩小。爱因斯坦在广义相对论中把这作为一条基本原则，也就是引力对所有同样质量的物体有着同样的吸引强度。进一步，爱因斯坦假想了旋转圆盘实验和升降机实验，并且得出结论说，在无穷小空间区域里，引力和惯性力无法区分，而由于引力的存在，时空不能再用欧式几何来描述，而应该用黎曼几何来描述。爱因斯坦用时空的度规张量代替了牛顿-泊松理论框架下的引力势。有了时空的度规张量，就可以构建出时空的黎曼联络系数，再根据黎曼联络系数就可以构建出黎曼曲率张量和Ricci曲率张量。有了这些曲率张量，爱因斯坦断言，引力强度正比于时空曲率。于是到了爱因斯坦这里，一个从古希腊传承到牛顿的传统被复活，那就是用几何学的语言描述宇宙。古希腊对几何学赋予了极为崇高的地位，欧几里得的《几何原本》及这本著作创立的公理化体系开创了西方世界科学的先河。牛顿显然对这个体系赞叹不已，并且在牛顿的《自然哲学的数学原理》里面，几何学和公理化体系同样占据了主导地位。随着后来分析学的进一步发展，牛顿《原理》里面的几何化的证明方式被抛弃，数学家们开始更加关心方程，到了1788年《分析力学》发表的时候，拉格朗日充满自豪地宣称他的书里面一个几何图形也没有。但是到了爱因斯坦的理论框架下，物理学家们重新开始用几何的语言的来描述宇宙，尽管这种几何语言已经不是牛顿所使用的那种几何了。

A. Bianchi恒等式

为了简单地推导出引力场方程，首先我们需要导出第二Bianchi恒等式。根据Cartan方程，我们知道，曲率2-form可以用联络1-form来构造出来，那就是

.

因为

,这里

是一个矩阵，所以就有

于是曲率2-from就是

其中，

如果写出矩阵指标，我们就可以得到熟悉的黎曼曲率张量

对Cartan方程求一次外微分，得到

代入

, 就有

.

代入

, 因为

,

,

,

另外定义曲率张量的协变微分为

.

根据

, 将

的指标全部展开，代入曲率张量的协变微分，最终得到第二类Bianchi 恒等式为

.

B. Ricci曲率张量

定义Ricci曲率张量为黎曼曲率的缩并，

.

可以证明

. 为了证明这个关系，我们唯一需要证明的就是缩并后的黎曼曲率的第一项两个下标对称，就是

. 根据黎曼联络系数的定义，我们知道

. 已知如果一个矩阵

可以对角化，那么可以把这个矩阵写作

. 记

. 矩阵

的行列式为

. 所以

.

求微分，得到

.

记度规张量的行列式为

, 我们就可以得到

.

因此，

.

曲率张量的两个下标对称这个结论。

C. 爱因斯坦场方程

对Bianchi恒等式做缩并，得到

其余三项很容易看出来是关于两个下标对称的，所以就得到Ricci联想到广义相对论中的能量动量张量

及能量动量守恒条件

，可以猜测 .

爱因斯坦根据牛顿弱引力场近似，确定出来比例常数为

. 所以爱因斯坦场方程为

.

如果加上宇宙学常数，方程变为

.

式子中

代表黎曼曲率张量缩并后的里奇（Ricci）张量，

代表曲率标量，

为能量动量张量。

这个方程用来描述引力场的具体情况，由于它是一个二阶非线性偏微分方程组，所以很难得到精确解，

另外一种推导爱因斯坦引力场方程方法是变分法。定义作用量为

, 对作用量求关于度规张量

的变分，令变分为零，同样可以得到爱因斯坦场方程。这个推导过于繁琐，这里就不再列举。

第二节：球对称静态引力场中爱因斯坦场方程的解

爱因斯坦最早在1915年11月推导出引力场方程之后就把他的理论应用在太阳系，并且成功地算出来了困扰天文学界数百年的水星的近日点进动问题。天文学家的观测发现，哪怕已经扣除了其他大行星的摄动影响，水星的轨道仍然不是一个封闭的椭圆，这就与牛顿的理论预测相违背。事实上，水星的轨道是一个进动的椭圆。经过很大的夸张之后，水星的轨道如图所示：

爱因斯坦用他的理论计算了水星的轨道，发现他的理论刚好可以解释为什么水星的轨道不是一个严格的椭圆，而且他的计算结果与天文观测吻合地非常好。爱因斯坦当时用的是微扰理论，因为那时他还不知道球对称引力场中场方程的精确解。球对称引力场中场方程的精

确解是1916年施瓦兹希尔德在一战的战壕里算出来的，而且得到结果后没多久施瓦兹希尔德就去世了。在这一节，我将展示如何推导出球对称引力场中场方程的精确解。球对称星体不仅有质量，还可以带有电荷，或者有自旋角动量。当星体有质量和电荷时，也可以算出此时引力场方程的精确解。如果星体没有电荷，但是有角动量，那么也可以得到场方程的精确解，这个解称作Kerr解。Kerr解比没有角动量时的场方程精确解要复杂得多。这里我们只考虑星体有质量的情况。一旦有了引力场的精确解，我们就可以进一步计算出在这个引力场中有质量粒子和无质量粒子的运动轨道。这也就意味着，当知道了球对称引力场的精确解之后，我们就可以算出太阳系中水星的轨道和光线的引力偏折。这是下一节的内容。

根据Birkhoff's theorem (relativity), 我们可以把球对称引力场的度规写作

.

真空中能量动量张量为零，所以场方程变为

.

缩并指标后很容易得到

, 所以场方程可以进一步简化为

.

根据上一节内容，我们已经知道Ricci曲率张量可以通过黎曼联络系数算出来，那就是

为了计算Ricci曲率张量，我们需要先知道黎曼联络系数。黎曼联络系数可以用度规张量直接算出为

也可以根据测地线方程直接写出联络系数。测地线方程为

测地线方程可以通过欧拉-拉格朗日方程得到。定义拉格朗日量为

欧拉-拉格朗日方程为

.

因为有四个坐标，所以有四个测地线方程，分别为

由此得到所有非零的黎曼联络系数为

Ricci曲率张量的各个非零分量为

I:

II:

III:

IV:

所有非对角的Ricci曲率分量都为零。

于是真空中球对称引力场的求解就归结为解下面的三个独立方程：

进一步化简得到

等价于

解之得到

这里

为积分常数。当

时，我们应该得到一个平直的时空，所以

.

可以根据弱引力场近似算出来，为

.

第三节：水星的近日点进动和光线的引力偏折

A. 水星的轨道

可以把水星简化为一个质点。质点在引力场中运动的轨迹遵循测地线方程，测地线方程可以用欧拉-拉格朗日方程得到。上一节已经得到球对称引力场的精确解。仍然沿用上一节的记号，记拉格朗日量为

其中，

,

.

利用欧拉-拉格朗日方程， 我们可以得到四个方程，为

显然，

是一个解。这个解表示粒子的运动被限制在赤道平面上。这时测地线方程简化为

因为

所以，

代入

, 得到

消掉

,

将上面的式子重新写成为

弱引力场极限下，上面的式子可以简化为

如果令光速为无穷大，则式子简化为

此时广义相对论退化为牛顿引力理论。这时，方程的解为

将上面得到的最低阶近似代入到微分方程的右边，得到

继续化简，

解方程，得到

这个解里面有一项正比于

.这一项随着角度的增加可以无限增长，在天体力学里面称作久期项。更多的解释在 Section C. Section C 里面重新求解水星的运动轨道。与这一节不同的是，C 里面没有用关于

坐标的测地线方程，而是直接从度规归一化条件出发求解。这是通常教科书的解法，跟直接用测地线解出的结果不完全一样。不知道为什么会这样。

B. 光线的引力偏折

光子的情况跟水星不一样，因为光子是没有静止质量的。因此，我们不能再用proper time作为参数，而应该选取一个affine参数

. 用这个参数，写出零质量粒子的度规条件为

其中

.

测地线方程为

是一个解。代入到原始方程中去，利用

, 得到

对这个方程求关于

的微分，得到

最低阶近似得到

可以令

, 得到

, 这表示是一条垂直于

轴的直线，直线与坐标原点的距离为

. 这个最低阶近似解可以理解为如果光子不受引力影响，那么一束经过太阳的光将会走一条直线，而

为太阳的半径。将最低阶近似代入到方程的右边，得到一个微分方程为

求解得到包含了一阶微扰的近似解为

这里的解里面不含久期项，所以可以直接从这个解出发去计算光线的引力偏折。

无量纲化处理上面的式子，得到 该函数图像为

太阳在坐标原点。可以看出，一束光从无穷远处传来，经过太阳附近时，由于太阳的引力效应，光线的传播方向发生了偏折。光线远离太阳之后，重新沿着一条直线传播。入射直线与出射直线之间的夹角就是太阳引力造成的光线的偏折角。因为

,

所对应的两个角度就是入射角度和出射角度。解

,

得到

因为角度一定是实数，所以

当

,

. 得到

. 两角相差

, 所以光线没有发生偏折。当

为一个小量（对应了弱引力场）时，

于是入射角度为

, 出射角度为

.

. 于是光线的引力偏折角为

.

这里，

为太阳质量，

为太阳半径。这个结果用量纲分析也很容易得到。

C. 再谈水星的轨道

前面已经用测地线方程算过了水星的轨道，这里用一个更简单的方法计算一下水星的轨道。这两种方法计算得到的水星的轨道应该一样才对。

根据前面的内容已经知道，水星在这样的一个度规场中沿着一条 测地线运动：

两边同时除以

, 得到

根据欧拉-拉格朗日方程，我们知道这个运动有两个守恒量：

将水星的轨道限制在赤道平面上，就有

. 将这些条件代入到度规归一化条件里面，得到

利用

，代入

, 令

, 得到

将上式对

求一次微分，得到一个微分方程

当光速为无穷大的时候，方程退化为牛顿理论，即

解得

这是一个封闭的椭圆。所以如果牛顿引力理论是精确成立的，那么如果不考虑其他大行星的摄动，水星的运行轨道就不会出现近日点进动。这个解称作是广义相对论的最低阶近似。为了计算相对论修正，

将解写作

，代入到原方程得到

解得

这里，微扰解里面出现了一项

. 这一项随着角度的增加会无限制地增长。在天体力学里面，这一项被称作久期项 (secular term). 如果我们保留了这一项，那么我们可以得到一个非常不可思议的结论，就是随着水星绕太阳圈数的增加，水星的轨道会变得越来越奇怪，直至跟牛顿理论的预言完全不同。但是天文观测显示，水星的轨道与牛顿理论预言的相差非常小，也就是广义相对论修正应该是一个非常小的效应。所以微扰解出的久期项是不符合物理的，应该消除。消除久期项有一个方法是Poincaré-Lindstedt method.

为此，我们令

， 然后把原始的微分方程写作

为了可以使用微扰理论，把方程重新写作

令

, 代入到上面的方程，得到

代入

，保留一阶项，得到

系数对应相等，对

，得到微分方程为

解之得到

对

，得到微分方程为

把

代入， 得到

久期项是由方程右边第二项，也就是共振项，产生的。要想消除久期项，只需令共振项为零，也就是令

. 由此解得一阶微扰。所以精确到一阶微扰，原始方程的解为

其中，

. 所以，当引力场足够微弱的时候，水星的轨道为

经过很大的夸张后，该函数图像如下图所示：

这是一个进动的椭圆。水星每绕太阳运行一周，近日点就进动了

.

所以当考虑了相对论修正后，水星的轨道进动就可以被解释。

D. 测地线微分方程与度规条件

在推导水星的运行轨道和光线的引力偏折的时候，我们可以直接求解四个测地线方程，也可以从测地线方程（确切地说，是从欧拉-拉格朗日方程）中提取出守恒量，然后代入到度规条件里面求解粒子的轨道。这两种方法应该是等价的。而且，很明显可以看出来，提取守恒量然后代入度规条件要比直接求解测地线微分方程简单。这里要证明这两种方法是等价的，并且要指出度规条件其实就是对应了能量守恒。

球对称引力场的度规为

拉格朗日量为

欧拉-拉格朗日方程为

根据欧拉-拉格朗日方程可以导出测地线方程为

其中黎曼联络系数为

这里，注意到拉格朗日量不显含

. 于是就可以根据欧拉-拉格朗日方程导出雅克比首次积分为

很容易就可以得到

是个守恒量，因为，

因为在这里拉格朗日量是关于

的二次齐次函数，所以根据欧拉的齐次函数定理，我们不必计算就可以直接写出

于是，雅克比首次积分就是

根据前面的结论已经知道

, 所以这就意味着

. 这就跟度规条件等价了。所以在计算粒子轨道的时候，我们不必非得直接求解四个耦合的二阶测地线微分方程，因为这样计算量明显太大。我们可以根据欧拉-拉格朗日方程找出循环坐标，然后代入到度规条件 (也就是雅克比首次积分) 里面去，这样得到的微分方程要简单很多。这就是在充分利用系统的对称性，因为对称性意味着守恒量的存在。根据经典力学的内容，雅克比首次积分对应着系统的总能量。

只要拉格朗日量里面不显含

，我们就有雅克比首次积分，这与度规张量具体的形式无关。设有一个度规场为

对应的拉格朗日量为

.

雅克比首次积分为

. 只要拉格朗日量对于广义速度

是个二次函数，那么根据欧拉的齐次函数定理，就一定有这个结论。这与度规张量具体的形式无关。所以度规条件本质上就是能量守恒。在物理学中，通过守恒量来解方程比直接求解运动方程要容易。

史瓦西解

第一个获得该方程精确解的是史瓦西，他在默认引力场是静态球对称的情况下，利用含未知数的度规分量表出克氏符及其偏导数，代入真空场方程

中得到二阶常微分方程组，求解得度规分量的具体表达形式，史瓦西解在球坐标下的具体形式如下

上面的度规中采取几何单位制（

)，其中

代表引力源的质量。

利用上述的度规可以得出引力对时间的影响。

实验检验

水星近日点进动

1859年，天文学家勒威耶（Le Verrier）发现水星近日点进动的观测值，比根据牛顿定律计算的理论值每百年快38角秒。他猜想可能在水星以内还有一颗小行星，这颗小行星对水星的引力导致两者的偏差。可是经过多年的搜索，始终没有找到这颗小行星。1882年，纽康姆（b）

经过重新计算，得出水星近日点的多余进动值为每百年43角秒。他提出，有可能是水星因发出黄道光的弥漫物质使水星的运动受到阻力。但这又不能解释为什么其他几颗行星也有类似的多余进动。纽康姆于是怀疑引力是否服从平方反比定律。后来还有人用电磁理论来解释水星近日点进动的反常现象，都未获成功。

1915年，爱因斯坦根据广义相对论把行星的绕日运动看成是它在太阳引力场中的运动，由于太阳的质量造成周围空间发生弯曲，使行星每公转一周近日点进动为：

其中a为行星轨道的长半轴，c为光速，以cm/s表示，e为偏心率，T为公转周期。对于水星，计算出ε=43″/百年，正好与纽康姆的结果相符，一举解决了牛顿引力理论多年未解决的悬案。这个结果当时成了广义相对论最有力的一个证据。水星是最接近太阳的内行星。离中心天体越近，引力场越强，时空弯曲的曲率就越大。再加上水星运动轨道的偏心率较大，所以进动的修正值也比其他行星为大。后来测到的金星，地球和小行星伊卡鲁斯的多余进动跟理论计算也都基本相符。

光线在引力场中的弯曲

1911年爱因斯坦在《引力对光传播的影响》一文中讨论了光线经过太阳附近时由于太阳引力的作用会产生弯曲。他推算出偏角为0.83″，并且指出这一现象可以在日全食进行观测。1914年德国天文学家弗劳德（lich）领队去克里木半岛准备对当年八月间的日全食进行观测，正遇上第一次世界大战爆发，观测未能进行。幸亏这样，因为爱因斯坦当时只考虑到等价原理，计算结果小了一半。1916年爱因斯坦根据完整的广义相对论对光线在引力场中的弯曲重新作了计算。他不仅考虑到太阳引力的作用，还考虑到太阳质量导致空间几何形变，光线的偏角为：α=1″.75R0/r，其中R0为太阳半径，r为光线到太阳中心的距离。

1919年日全食期间，英国皇家学会和英国皇家天文学会派出了由爱丁顿（ton）等人率领的两支观测队分赴西非几内亚湾的普林西比岛（Principe）和巴西的索布腊儿尔（Sobral）两地观测。经过比较，两地的观测结果分别为1″.61±0″.30和1″.98±0″.12。把当时测到的偏角数据跟爱因斯坦的理论预期比较，基本相符。这种观测精度太低，而且还会受到其他因素的干扰。人们一直在找日全食以外的可能。20世纪60年代发展起来的射电天文学带来了希望。用射电望远镜发现了类星射电源。1974年和1975年对类星体观测的结果，理论和观测值的偏差不超过百分之一。

光谱线的引力红移

广义相对论指出，在强引力场中时钟要走得慢些，因此从巨大质量的星体表面发射到地球上的光线，会向光谱的红端移动。爱因斯坦1911年在《引力对光传播的影响》一文中就讨论了这个问题。他以Φ表示太阳表面与地球之间的引力势差，ν0、ν分别表示光线在太阳表面和到达地球时的频率，得：

（ν0 -ν）/ν=-Φ/c2=2×10－6.

爱因斯坦指出，这一结果与法布里（）等人的观

行星绕恒星作公转的比较(1张)

测相符，而法布里当时原来还以为是其它原因的影响。

1925年，美国威尔逊山天文台的亚当斯（）观测了天狼星的伴星天狼A。这颗伴星是所谓的白矮星，其密度比铂大二千倍。观测它发出的谱线，得到的频移与广义相对论的预期基本相符。

1958年，穆斯堡尔效应得到发现。用这个效应可以测到分辨率极高的r射线共振吸收。1959年，庞德（）和雷布卡（）首先提出了运用穆斯堡尔效应检测引力频移的方案。接着，他们成功地进行了实验，得到的结果与理论值相差约百分之五。

用原子钟测引力频移也能得到很好的结果。1971年，海菲勒（）和凯丁（g）用几台铯原子钟比较不同高度的计时率，其中有一台置于地面作为参考钟，另外几台由民航机携带登空，在1万米高空沿赤道环绕地球飞行。实验结果与理论预期值在10%内相符。1980年魏索特（）等人用氢原子钟做实验。他们把氢原子钟用火箭发射至一万公里太空，得到的结果与理论值相差只有±7×10^-5。

雷达回波延迟

光线经过大质量物体附近的弯曲现象可以看成是一种折射，相当于光速减慢，因此从空间某一点发出的信号，如果途经太阳附近，到达地球的时间将有所延迟。1964年，夏皮罗（o）首先提出这个建议。他的小组先后对水星、金星与火星进行了雷达实验，证明雷达回波确有延迟现象。开始有人用人造天体作为反射靶，实验精度有所改善。这类实验所得结果与广义相对论理论值比较，相差大约1%。用天文学观测检验广义相对论的事例还有许多。例如：引力波的观测和双星观测，有关宇宙膨胀的哈勃定律，黑洞的发现，中子星的发现，微波背景辐射的发现等等。通过各种实验检验，广义相对论越来越令人信服。然而，有一点应该特别强调：我们可以用一个实验否定某个理论，却不能用有限数量的实验最终证明一个理论；一个精确度并不很高的实验也许就可以推翻某个理论，却无法用精确度很高的一系列实验最终肯定一个理论。对于广义相对论的是否正确，人们必须采取非常谨慎的态度，严格而小心地作出合理的结论。