2023年7月27日发(作者：)

6、广义相对论的奇点问题

霍金(g)和彭罗斯(e)于1970年证明了“宇宙奇性定理”：在极一般的条件下，按照广义相对论，宇宙大爆炸必然从一个奇点开始。由此，他们共同获得1988年的沃尔夫物理奖。然而宇宙在大爆炸奇点处，一切科学定律包括广义相对论本身都失效了，连时空概念也失效了。所以奇点是不可能真实存在的，是非物理的。这就构成宇宙学最大的疑难：奇性疑难。因此，奇性定理也表明，广义相对论是不完备的，它无法告诉我们宇宙是如何开始的。霍金说：“广义相对论导致了自身的失效：它预言它不能预言宇宙。”1973年，霍金和埃利斯出版了《时空的大尺度结构》一书，在这本书里，霍金对奇点定理做了总结，并在此基础上，提出了关于宇宙的两个预言：第一，宇宙中存在黑洞。第二，我们的过去存在奇点，它构成了宇宙的开端。霍金说：“有一次爱因斯坦问道：‘在建造宇宙时，上帝有多少选择呢？’如果无边界假设是正确的，在选取初始条件上，它就根本没有自由。它只有选择宇宙要服从的定律的自由。”

大家知道， 广义相对论中的场方程 (即 Einstein 场方程)：Rμν - (1/2)gμνR =

8πGTμν ，是一组有关时空度规的二阶非线性偏微分方程， 求解这样的方程组是极其困难的。 在二十世纪六十年代初以前， 物理学家们对 Einstein 场方程的很大一类研究局限于在各种简化条件 (比如特定的对称性) 下求解场方程。 在这方面最著名的成果是 K.

Schwarzschild (1873-1916) 于 1916 年得到的 Schwarzschild 解， 其度规为 (m 为质量参数)： ds = (1-2m/r)dt - (1-2m/r)-1dr - rdΩ以及 A. Friedmann (1888-1925) 于

1922 年得到的 Friedmann 解， 其度规为 (R 为标度因子， 取值为 0、 -1 或 1， 分别对应于平直、 负常曲率及正常曲率空间)： ds = dt - R(t) [dr/(1-kr) + rdΩ] ，这两个度规分别是广义相对论在天体物理及宇宙学上应用最为广泛的度规。 但这两个解的发现也带来了一个共同的问题， 那就是它们所对应的度规均具有奇异性。 Schwarzschild

度规是一个静态度规， 它的奇异性 (由上面的表达式中可以很容易地看到) 出现在 r=0 及

r=2m 处。 这其中 r=2m 处的奇异性 (一度被称为 Schwarzschild 奇点) 后来被证明只是坐标选择所导致的表观奇异性， 可以通过坐标变换予以消除； 而 r=0 处的奇异性则是真正的物理奇点， 时空曲率在趋近这一点时趋于发散。 这个奇点被称为曲率奇点。

222222222222 Robertson-Walker 度规由于是一个动态度规， 其情形稍微复杂些。 当 k=1 (即空间具有正曲率) 时这一度规在 r=1 处似乎具有奇异性， 但这也是坐标选择所导致的表观奇异性 。 除去这一表观奇异性， 从形式上看 Robertson-Walker 度规似乎没有其它显而易见的奇异性。 但把这一度规代入到场方程中， 研究它的动力学演化就会发现， 对于我们观测到的膨胀宇宙来说， 只要宇宙当前的物质分布满足一个很宽泛的条件，

Robertson-Walker 度规中的标度因子 R(t) 在过去某个有限时刻就必定等于零。 在那个时刻 (通常定义为 t=0) 宇宙的空间线度为零， 物质密度则发散， 因此那是一个物理奇点，

被称为宇宙学奇点， 或大爆炸 (The Big Bang)。

很明显， 这些奇点的出现是物理学家们所不乐见的， 因为物理世界中并不存在真正意义上的无穷大。 对于一个物理理论来说， 出现无穷大往往意味着它的失效。 因此奇点的出现对广义相对论是一种危机。 不过当时物理学家们所知道的 Einstein 场方程的解十分有限， 而且这些解大都具有很高的对称性 (因为只有这种情形下的场方程才容易求解)， 比如 Schwarzschild 解具有球对称性， Friedmann 解则是均匀及各向同性的。 这就给物理学家们提出了这样一个问题： 由这几个特殊解所引发的危机究竟有多大的普遍性？ 或者说奇点会不会只是那几个解所具有的特殊对称性导致的特殊效应 (如果是的话那危机就不算太严重， 因为那些对称性在现实世界里是不可能绝对严格实现的)？ 在二十世纪六十年代，

物理学家们对这一问题有两种不同的看法。 一种看法认为奇点的出现只是对称性所导致的特殊效应， 如果考虑一般 (即没有严格对称性) 的情形， 奇点将不会出现。 持这种观点的代表人物是前苏联的 E. Lifshitz (1915-1985)、 I. M. Khalatnikov、 V. A. Belinsky

等。 与之相反的一种看法则认为奇点在广义相对论中的出现是具有普遍性的。 持这种观点的代表人物是英国的 R. Penrose (1931-) 与 S. W. Hawking (1942-) 等。

这两组物理学家在奇点问题上不仅观点迥异， 而且研究中所用的具体方法也很不相同。

Lifshitz 等人主要把精力放在求解一般情形 (即没有严格对称性) 下的场方程， 以便探讨在这种情形下理论是否不存在奇点； 而 Penrose 与 Hawking 等人则大量运用微分几何手段， 通过所谓的全局方法 (Global Techniques)， 在不直接求解场方程的情况下对奇点及奇点产生的条件进行系统分析。 如果说 Lifshitz 等人的方法是正面强攻， 那么 Penrose

与 Hawking 等人的方法则属于旁敲侧击。 结果 Lifshitz 等人的正面强攻收效不大。

Einstein 场方程委实太过复杂， 虽然 Lifshitz 等人的胃口并不贪婪， 他们只研究宇宙学奇点 t=0 附近的解而非全局性解， 同时不奢望精确求解而采用近似手段， 但在不具有对称性的情况下， 他们的努力依然遭到了巨大的困难。 另一方面， Penrose 与 Hawking 等人的旁敲侧击却获得了极大的成功， 他们证明了一系列著名的奇点定理， 成为经典广义相对论中登峰造极的成就之一。

“奇点定理”是彭若斯和霍金证明的一个与时间有关的数学定理。该定理可以粗略地表述为：只要广义相对论成立，因果性良好，有物质存在，就至少有一个物理过程，其时间存在开始或存在结束，或既有开始又有结束。该定理的实质内容是：在因果性成立、广义相对论正确，而且有物质存在的时空中，至少有一个可实现的物理过程，它在有限的时间之前开始，或在有限的时间之后终结。也就是说，至少有一个物理过程，它的时间有开始，或有终结，或者既有开始又有终结。换句话说，至少有一个时间过程，它的一头或两头是有限的。

该定理的证明过程可以简述为：如果有一根类光或类时测地线，在未来或过去方向上，在有限的仿射距离内断掉，不能再继续延伸，那么，这根测地线就被认为是碰到了时空的“洞”。如果这个洞补不上，那么它就是奇点。彭若斯和霍金证明：只要广义相对论正确，并且因果性成立，那么，任何有物质的时空，都至少存在一个奇点。

有奇点的时空称为奇异时空。奇异时空中，即使把奇点挖掉，也不会改变奇异时空的性质。但是，挖掉奇点以后会留下空洞，这样时空中任何一条线经过此空洞时都会在此断掉。于是，彭若斯和霍金建议，干脆把奇点从时空中“去掉”，认为它不属于时空，或者干脆把奇点看作时空中的“空洞”（此空洞是不能修补的）。据此，彭若斯和霍金证明了，时空中至少存在一条具有如下性质的类光或类时曲线：它在有限的距离内会断掉，而且断掉的地方不能用任何手段修补，以使这条曲线可以延伸过去。

按照广义相对论，因为时空中亚光速曲线（即类时测地线）的长度可以看作是沿此线运动的物质所经历的固有时间，所以此曲线碰到空洞（即奇点）断掉，就可以看作是此时间过程断掉。据此，彭若斯和霍金认为“奇点”就是时间过程断掉的地方，并且由此来证明他们的奇点定理。

他们证明：在强因果时空中，不一定有最长线，如果有，则一定是无共轭点的测地线；

在整体双曲时空中，一定有最长线，并且一定是无共轭点的测地线；

在广义相对论正确，强能量条件成立，并且时空中至少有一个存在物质的时空点时，则测地线在有限的仿射距离内必定存在共轭点。

按照他们证明的结论，就是说因果条件（包括双曲时空）要求要有最长测地线，并且一定是无共轭点的测地线；而能量条件、广义相对论和物质的存在又要求此测地线上一定要有共轭点，并且在有限的仿射距离内就出现共轭点。 显然，此测地线不能同时满足既要有共轭点，又要无共轭点这个条件，这是一个矛盾的条件。解决这个矛盾条件的唯一方法只有：让此测地线不要无限延伸，让它在出现共轭点之前，在有限的仿射距离内就碰到奇点（即空洞）而断掉。换句话说就是，此测地线一定会遇到奇点（即空洞）而断掉，时间过程一定会断掉，时间一定有限（时间有开始与终结），时空一定存在奇异性。这样，他们就证明了奇点定理。

早已知道在广义相对论中存在奇性。例如，史瓦西度规在ｒ=2MG/C以及ｒ＝0处是奇异的。直到1959年才发现,只要引入两个坐标系来覆盖时空,就可以避免ｒ=2MG/ C处的奇点。但是ｒ＝0处的奇点却不是这种由于坐标选取不当而带来的虚假的奇异。又如,弗里德曼－罗伯孙-沃耳克宇宙度规在宇宙时ｔ=0处奇异，这也不是由于坐标选取不当带来的。在时空等于零时,广义相对论的引力方程就出现一个奇点，在奇点处包括相对论在内的一切物理定律都失效。

一般认为，出现这种运动起始或终止于奇性的现象反映了广义相对论理论上的某种不完善，并不一定是客观世界所固有的。当前，有关奇性的深入研究以及如何避免这类奇性的问题，是一个很活跃的领域，克服广义相对论的这个重大疑难，将会使物理学对于时间、空间和引力的认识达到更高的境地。

22在奇点处，曲率和密度无限大、一切物理规律都已失效。对于这样一种只在数学定义中出现却威胁到物理学的东西，是不受物理学家欢迎的。人们普遍相信，考虑到引力场在微观尺度上的量子效应，奇点应该是可以避免的，就像当年用量子论来解释黑体辐射从而避免了紫外发散一样。

按照等效原理，如果宇宙中时时处处都存在局部洛伦兹参考系的话，就不应该出现这类病态的奇性。奇性的不可避免暗示着广义相对论作为一个理论体系，内部存在某些不自洽。著名学者夏玛指出：“我们面临着理论物理的危机。或者经典广义相对论要破坏，或者存在着等效的负能密度，或者因果性不再成立，或者在自然界中存在奇性。”爱因斯坦的追随者、著名学者伯格曼也指出：“膨胀宇宙极早期存在奇性，这是现有理论观念并不适合于极高密度物质的一个信号。”