2023年7月24日发(作者：)

摘要:

定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。

关键词:定积分 性质 计算方法

定积分的定义

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1],

(x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点i（1,2,...,n），作和式f()xi。设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是i1n最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为:

f(x)dx。

ab其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

对于定积分，有这样一个重要问题：函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件：

定理1： 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2： 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

例：利用定义计算定积分0x2dx.

解：因为被积函数f(x)x2在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i的取法无关。因此，为了便于计算，不妨把区间[0,1]分成n等份，分点为xii，i1,2,,n1;这样，n11每个小区间[xi1,xi]的长度xi,i1,2,,n;取xi，i1,2,,n。于是，得n合式

i1nf(xini1n2xii1nxi2xii1i21(nn1n3i2i1n11.n(n1)(2n1)3n6111(1)(2)6nn

当0即n时，取上式右端的极限.由定积分的定义，即得所要计算的

积分为

1111xilim(1)(2)0xdxlim0i1x6nn312n2

定积分的性质

1、

2、,ab

3、常数可以提到积分号前.

4、代数和的积分等于积分的代数和.

5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有

又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件.

6、如果在区间[a,b]上f(x)1，则

1dxdxba

aabb7、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则

8、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点 t 在（a，b)内使 9、设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则

m(ba)f(x)dxM(ba)

ab

微积分基本公式

定理1：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数

(x)f(t)dt

ax在[a,b]上可导，并且它的导数

dx(x)f(t)dtf(x),(axb)

dxa'这个定理指出了一个重要结论：连续函数f(x)去变上限x的定积分然后求导，其结果还原为f(x)本身.联想到原函数的定义，就可以从定理1推知(x)是连续函数f(x)的一个原函数.

定理2：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数

(x)f(t)dt

ax就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.

这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.

定理3:如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

baf(x)dxF(b)F(a)

这也是牛顿（Newton）- 莱布尼茨（Leibniz）公式，它进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数在区间[a,b]上的增量.这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续. 例：计算上述用定义求的定积分x2dx.

01x3解：由于是x2的一个原函数，所以按牛顿- 莱布尼茨公式，有

333x10112xdx03333

030131

定积分的计算方法

一、几何意义法

利用定积分的几何意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出.

x2例：求定积分1dx的值.

242x2解：124212dx224xdx，而2224x2dx表示圆x2y24在第一、二象限的上半圆的面积.

x2 因为S半圆=2，又在x轴上方，所以1242dx.

注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出.

二、换元法

定理：假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x(t)满足条件：

1、()a,()b;

2、(t)在[,]（或[,]）上具有连续导数，且其值域R[a,b]，则有

例：计算40baf(x)dxf[(t)]'(t)dt

x2dx.

2x1t21,dxtdt,且 解：设2x1t，则x2 当x0时，t1；当x4时，t3.

于是

40x2dx12x123t122tdt

t132(t3)dt1231t33t231

127122932333注意：在应用时必须注意变换x(t)应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分.

三、性质法(奇偶性)

1、若f(x)在[a,a]上连续且为偶函数，则

aaf(x)dx2f(x)dx

0a2、若f(x)在[a,a]上连续且为奇函数，则

aaf(x)dx0

4 例：求定积分4tanxdx.

解：由被积函数tanx是奇函数，所以在对称区间的积分值为零.

即

4tanxdx=0.

4四、分部积分法

设u=u(x),vv(x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式 例：计算arcsinxdx.

120解：120arcsinxdxxarcsinx0121212x1x20dx

132.1x1

012226结论

1、 计算f(x)dx的关键是迅速找到满足F'(x)f(x)的函数F(x)；

ab2、 求导数时有现成的计算公式可用，求定积分是也可用其性质使计算简单；

3、 如果被积函数比较复杂，一定要先化简后积分.

参考文献

【1】 同济大学数学系编《高等数学》

【2】 百度文库

【3】 中国知网

【4】 道客巴巴