2023年6月29日发(作者：)

有序有重复、有序⽆重复、⽆序⽆重复、⽆序有重复区别详解及Python实现这⼏个概念理解起来有点困难，然⽽他们是整个概率论的基础。理解了他们的四个的区别，对于理解⾼阶概率论很有帮助。本⽂是在学习 基础上得到的。概率论的基础⼤数定律（伯努利）证明随机事件的频率可以近似于它的概率。以此，使概率称为⼀门可以确定研究的学问。这是概率论的确定性基⽯。等概率假设：在⼀个事件中，每种结果出现的可能是等概率的。分步：将复杂过程解析为多个步骤，在每⼀个步骤内部等概率。重复与有序重复：在等概率假设这⼀层世界起作⽤，如果是重复抽样，每次可能结果的数量相同，每个可能结果的概率也就相同；如果是⾮重复抽样，每次的可能结果数量不同，导致概率不同。有序：在分步这⼀层世界起作⽤，如果N次抽样是有序的，那就是分为N步，如果N次抽样是⽆序的，可以视N次抽样为⼀次，只是⼀次抽取结果中有N个元素。单纯将N次抽取结果由有序变为⽆序就是将可能性去除这N个结果的N!种可能。重复与有序在不同位⾯的婚姻有序有重复的从N个总数中抽取M个样本1. 有序。将M个样本分为M步。2. 有重复。M步中每⼀步的可能等概率的为N。有序⽆重复1. 有序。将M个样本分为M步。2. ⽆重复。M步中每⼀步的可能等概率不相同，每⾛⼀步，可能减少⼀个种类⽆序⽆重复1. ⽆序。将M个样本作为⼀步来看。相当于对M步那个世界的⼀种⾼级封装，将M个样本内部的顺序作为⼀个低级维度封装成⼀种可能，就是说，对N个总体种类世界⾥的可能性降低M!倍。（我也不知道这么说能否让⼈看明⽩，暂时想不到更简介的表述）。⽆序⽆重复被称为分组就在这⾥。2. ⽆重复。因为⽆序，所以看作只有⼀次操作，就相当于将总体的N分成2组，带⾛了其中数量为M的⼀组。同样因为⽆序，剩下⼀组（数量为N−M）也看作低纬度的封装，需要去除组内部的(N−M)!种可能。所以，可能性有：N!(N−M)!(M)!⽆序有重复1. ⽆序，等同于上⾯。还是看作分组。2. 有重复。虽然还是分组，但不同于直观意义上的分组。因为**“有重复”**的存在，本质上是扩充了总量N。有重复的选取M本质是向原来的N中新加⼊了M−1个元素。此时的总数是N+M−1分成的两组的内部数量分别是：原来的N，以及新加⼊的M−1。此时，套⽤公式（1）结果就是：(N+M−1)!N!(M−1)!Python实现事件有序有重复有序⽆重复⽆序⽆重复⽆序有重复本质函数t()排列组合（内部）组合（外部）ations()ations()